b. Perumusan Probabilitas
Berdasarkan aksioma-aksioma tersebut dapat dibuktikan teorema-teorema berikut:
Teorema 1 :
P ϕ = 0 Bukti:
Misalkan A sebarang kejadian himpunan bagian S Maka A ∪ ϕ = A
Dengan aksioma A
3
, PA = PA ∪ϕ = PA + P ϕ Jadi PA = PA + P ϕ
Kedua ruas dikurangi dengan PA didapatkan P ϕ = 0
Teorema 2 :
PA
c
= 1- PA Bukti:
S = A ∪ A
c
; dimana A dan A
c
saling asing Dari A
2
: PS = 1 Karena S = A ∪ A
c
, maka menurut aksioma A
3
1 = PS = PA ∪ A
c
= PA + PA
c
Atau 1 = PA + PA
c
Jadi PA
c
= 1 - PA
c
Contoh :
Satu dadu yang setimbang dilambungkan satu kali, dilihat banyak mata dadu yang muncul A = kejadian bahwa muncul mta dadu prima.
Maka: A = {2, 3, 5}; PA
c
= 3
6
=
1 2
A
c
kejadian muncul mata dadu tidak prima. Maka A
c
= {1, 4, 6} dan PA
c
=
3 6
=
1 2
Teorema 3 :
Jika A
⊂
B maka PA
≤
PB
Jika A ⊂ B maka B dapat dinyatakan kedalam 2 kejadian, yaitu: A dan B – A yang saling asing.
Atau B = A ∪ B – A Jadi PB = PA + PB – A
Menurut aksioma A
1
: O ≤ P B – A ≤ 1 Maka berarti bahwa
PB ≥ PA; atau PA ≤ PB
Teorema 4 :
Jika A dan B dua kejadian, maka PA – B = PA – PA ∩ B
Ingat: A – B = A ∩ B
c
atau himpunan angota- anggota A yang bukan anggota B
Bukti: A dapat dinyatakan kedalam kedua jadian yang
saling asing yaitu dan A ∩ B Atau A = A – B ∪ A ∩ B
Dengan aksioma A
3
didapatkan: PA = PA_B + PA ∩ B atau
PA – B = PA – PA ∩ B
Teorema 5 :
Jika A dan B sebarang dua kejadian maka PA ∪ B = PA + P B – PA ∩ B
Bukti: A ∪ B dapat dinyatakan dengan dua kejadian
yang saling asing yaitu A – B dan B atau A ∪ B = A – B ∪ B.
Dengan aksioma A
3
dan teorema 4 didapatkan: PA ∪ B = PA – B + PB = PA – PA ∩ B + PB
Karena PA – B = PA – PA ∩ B Terbukti PA ∩ B = PA + PB - PA ∩ B.
Contoh :
Satu dadu dilemparkan satu kali dan dilihat banyak mata dadu yang muncul. A = Kejadian muncul mata dadu prima; A = {2, 3, 5}; PA =
3 6
B= Kejadian yang muncul mata dadu ganjil; B = {1, 3, 5}; PB = 3
6 A ∩ B = kejadian yang muncul mata dadu prima dan ganjil = {3, 5}
PA
∩
B = 2
6 A ∪ B = kejadian yang muncul mata dadu prima atau ganjil {1, 2, 3, 5}
Atau dengan teorema 5: PA
∪
B = PA – PB - PA
∩
B = 3
6
+
3 6
- 2
6
=
4 6
Teorema Akibat 6 :
Untuk sebarang tiga kejadian A, B dan C, PA ∪ B ∪ C = PA + PB + PC – PA ∩ B - PA ∩ C - PB ∩ C + PA ∩ B ∩ C
Defenisi 1 dari peluang hanya dapat digunakan untuk eksperimen dengan hasil yang banyak elemennya berhingga dan kemungkinan sama. Misalnya dalam melambungkan
sebuah dadu. Maka peluang munculnya mata dadu genap P{2, 4, 6} = 3
6 karena
keenam sisi dad berkemungkinan sama untuk tampakmuncul. Dan dalam lambungan yang berulang-ulang frekuensi relatif munculnya mata dadu genap haruslah dekat dengan
1 2
.
Tetapi untuk dadu yang tidak stimbang, yaitu dadu yang jika dilambungkan peluang munculnya tiap sisi tidak sama, maka muncullah mata dadu genap dapat berbeda cukup
jauh dari 1
2
.
Defenisi 4
Misalkan S merupakan ruang sampel S{a
1
, a
2
, ... a
n}
; dan misalkan pula bahwa p
1
, p
2
, ... p
n
adalah bilangan-bilangan tidak negatif yang jumlahnya sama dengan 1 atau p
1
+ p
2
+ ... p
n
= 1. Jika untuk kejadian A
1
Peluangnya didefenisikan sebagai PA = jumlah semua p
1
yang erkaitan dengan hasil a
1
dengan a
1
didalam A. Contoh:
Sebuah dadu yang dilemparkan yang tidak setimbang dilambungkan berulang-ulang dan didapatkan frekuensi relatif sebagai berikut:
Jumlah Mata Dadu
1 2
3 4
5 6
Frekuensi Relatif
0,13 0,18
0,18 0,16
0,15 0,20
Jika dadu itu dilambungkan satu kali dan diperhatikan banyaknya mata dadu yang muncul, maka ruang sampelnya:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jika A kejadian baha muncul bahwa muncul mata genap maka A{2, 4, 6}
PA = P2 + P4 + P6 = 0,18 + 0,16 + 0,20 = 0,54 Jika B kejadian baha muncul bahwa muncul mata prima maka A{2, 3, 5}
PB = P2 + P3 + P5 = 0,18 + 0,18 + 0,15 = 0,15
c. Probabilitas Bersyarat dan Teorema Bayes
Kategori