VarX + 3 = VarX =
11 36
BAB VI FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN
a. Pengertian Fungsi Pembangkit Momen
Definisi: Jika X merupakan variabel random, maka fungsi pembangkit momen dinotasikan dengan
Mt didefinisikan sebagai berikut: Mt = E e
tx
bila Ee
tx
ada dan –h t h untuk suatu h 0 Berdasarkan definisi dari harapan matematis, maka dapat dilihat bahwa:
Mt =
∫
− ∼
∼
e
tx
. f x dx , jika X variabel random kontinu
Mt =
∑
e
tx
. f x
, jika X variabel random diskrit.
Catatan: 1. Jika dua variabel random mempunyai fungsi pembangkit yang sama, maka variabel-variabel random tersebut mempunyai distribusi yang sama.
2. Tidak setiap variabel random mempunyai fungsi pembangkit momen.
Teorema 1 Misalkan X merupakan variabel random dengan fungsi pembangkit momen terdefinisi
pada interval [ - ∼, ∼ ] , maka:
M
k
0 = m’
k
, dengan M
k
0 = turunan ke k dari M0 m’
k
= momen ke k dari X Bukti:
Telah diketahui bahwa eskpansi Taylor adalah: e
y
= 1 + y + y
2
2 + y
3
3 + . . .
atau e
y
=
∑
n=0 ∼
y
n
n Dengan menggunakan ekspansi Taylor tersebut, maka dapat dihitung fungsi pembangkit
momen. Mt = Ee
tx
= E1+ tX + t
2
X
2
2 + t
3
X
3
3 + . . .
= 1 + tEX + t
2
2 EX
2
+ t
3
3 EX
3
+ . . . Dari Mt tersebut dapat ditentukan turunan pertama, kedua, ketiga dan seterusnya, yaitu:
M’t = EX + 2 t
2 EX
2
+ 3 t
2
3 EX
3
+ . . . M’’t = EX
2
+ 3.2 . t
3 EX
3
+ 4.3 .t
2
4 EX
4
+ . . . M’’’t = EX
3
+ 4.3 .2. t
4 EX
4
+ . . . .
. .
M
k
t = EX
k
+ k +1 k … 2t
k +11 EX
k+1
+ . . . Sehingga diperoleh:
M’0 = EX
= m’
1
M’’0 = EX
2
= m’
2
M’’’0 = EX
3
= m’
3
. .
. M
k
= EX
k
= m’
k
b. Fungsi Pembangkit Momen dari Distribusi-distribusi Khusus. DALIL 4.4.1 PARAMETER DISTRIBUSI BERNOULLI
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Bernoulli adalah sebagai berikut,
1. μ= p
2. σ
2
= p 1− p
3. M
x
t=1− p+ p . e
t
;t ∈ R
Bukti :
1. Berdasarkan definisi rataan diskrit, maka:
μ=E X =
∑
x
x . p x ¿
∑
x=0 1
x . p
x
1− p
1−x
¿ 0+ p
1
1− p
1−1
μ=E X = p . terbukti 2. Berdasarkan definisi varians diskrit, maka:
σ
2
= Var X =
∑
x
x−μ
2
. p x ¿
∑
x=0 1
x− p
2
. p
x
.1−p
1−x
¿ o− p
2
p 1−p +1− p
2
p
1
1−p
¿ p
2
− p
3
+ p−2 p
2
+ p
3
¿ p− p
2
σ
2
= Var X = p1− p terbukti
3. berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka: M
x
t=
∑
x
e
tx
. px ¿
∑
x−0 1
e
tx
. p
x
1−p
1− x
e e
p
¿¿ 11− p
¿ ¿ t
¿ ¿¿
p 1− p
1
+ ¿
¿ ¿
M
x
t =
1− p +
p . e
t
terbukti
Dalil 4.4.2: PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial adalah sebagai berikut.
1. μ=np
2. σ
2
= np 1− p
3. M
x
t=
[
1− p+ p . e
t
]
;t ∈ R
Bukti :
1. berdasarkan definisi rataan diskrit, maka: μ=E X =
∑
x
x . p x =
∑
x=0 n
x . n
x p
x
1− p
n−x
¿
∑
x=1 n
n x−1 n−1
p
x
1− p
n−x
¿ np
∑
x=1 n
n−1 x−1 n−1
p
x−1
1− p
n−x
¿ np
∑
x=1 n
n−1 x−1
p
x−1
1−p
n− x
Misalnya: y = x – 1 dan m = n – 1. Batas-batas: untuk x = 1, maka y = 0
untuk x = n, maka y = n – 1 = m = np
∑
y=0 m
m y
p
y
1− p
m− y
=
np
1 μ=E X =np terbukti
2. Berdasarkan defrinisi varians, maka: X
E ¿
¿ Var X =E
X
2
− ¿
X E
¿ ¿
¿ E
[
X X−1+ X
]
− ¿
X E
¿ ¿
¿ E
[
X X−1
]
+ E
X −
¿
Berdasarkan definisi nilai ekspektasi diskrit, maka: E
[
X X−1
]
=
∑
x
x x−1 . p x ¿
∑
x=0 n
x x−1. n
x p
x
1− p
n− x
¿
∑
x=2 n
n x−2 n−x
p
x
1− p
n−x
¿ nn−1 p
2
∑
x=2 n
n−2 x −2n−x
p
x−2
1−p
n− x
Misalnya: y = x – 2 dan m = n – 2. Batas-batas: Untuk x = 2, maka y = 0
Untuk x = n, maka y = n – 2 = m E
[
X X−1
]
= nn−1 p
2
∑
y=0 m
m y m− y
p
y
1− p
m− y
¿ nn−1 p
2
∑
y=0 m
m y
p
y
1− p
m− y
¿
[
n n−1 p
2
]
1 E
[
X X−1
]
= nn−1 p
2
Jadi: Var X =n n−1 p
2
+ np−n
2
p
2
¿ n
2
p
2
− n p
2
+ np−n
2
p
2
¿ np−n p
2
Var X
= np 1− p
terbukti
3. Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen diskrit, maka: M
x
t=
∑
x
e
tx
. p x ¿
∑
x=0 n
e
tx
. n
x p
x
1− p
n−x
1− p ¿
¿ p .e
t
¿
x
¿ n
x ¿
¿
∑
x=0 n
¿ 1− p+ p . e
t
¿
n
M
x
t = ¿
terbukti
c. Sifat-sifat Fungsi Pembangkit Momen.
Kategori