1 4
¿ ¿
3 4
¿ ¿
p y =P Y = y = ¿
Jadi, p 0= 3
4
p 0= 1
4 Distribusi peluang dari
Y
adalah:
y
1
p y
3 4
1 4
Fungsi distribusi dari Y adalah:
Untuk y 0 :
F y =0
Untuk
0 ≤ y 1 :
F y =
∑
t ≤ y
p t =
∑
t ≤0
p t = p 0 F y =
3 4
Untuk
y ≥ 1 :
F y =
∑
t ≤ y
p t =
∑
t ≤1
p t
¿ p
+ p 1
¿ 3
4 +
1 4
F y =1 Sehingga:
F y
= 0; y 0
¿ 3
4 ;0 ≤ y 1
¿ 1; y ≥ 1
2. DISTRIBUSI BINOMIAL
Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa,
seperti peristiwa sukses S dan peristiwa gagal G.
Peluang terjadinya peristiwa S, PS, sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa G, PG, sebesar 1 – p.
Kemudian itu diulang sampai n kali secara bebas. Dari n kali pengulangan itu, peristiwa S terjadi sebanyak x kali dan sisanya n – x kali terjadi peristiwa G. Kita akan
menghitung besar peluang bahwa banyak eksperimen itu sebanyak x kali. Dalam hal ini, sdalah satu susunan dari pengulangan eksperimen sampai n kali itu
adalah: S S S. . . .S G G G. . . .G
x kali n – x kali Karena setiap pengulangan bersifat bebas, PS = p dan PG = 1 – p berharga tetap
untuk setiap pengulangan percobaan, maka besar peluang dari peristiwa susunan diatas adalah:
PS S S. . .S G G G. . .G = PS . PS . PS. . .PS . PG . PG . PG. . .PG
= p p p. . .p 1 – p 1 – p 1 – p . . .1 – p
= p
x
1−p
n− x
Karena banyak keseluruhan peristiwa Sterjadi ada
n x
cara, maka peluang bahwa peristiwa
Sterjadi dalam xkali adalah: P X=x =
n x
p
x
1− p
n−x
Berdasarkan uraian di atas, kita peroleh definisi distribusi binomial berikut.
DEFINISI 4.4.2: FUNGSI PELUANG BINOMIAL Peubah acak X dikatakan berdistribusi binomial, jika dan hanya jika fungsi
peluangnya berbentuk:
p x =P X=x = n
x p
x
1−p
n− x
; x=0, 1, 2,3, … .. ,n Peubah acak X yang berdistribusi binomial dikatakan juga peubah acak binomial.
Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi binomial adalah Bx; n, p, artinya peubah acak X berdistribusi binomial dengan banyak pengulangan eksperimen n
kali, peluang terjadi peristiwa sukses sebesar p, dan banyak peristiwa sukses terjadi ada x. Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi binomial, jika eksperimen itu
memenuhi sifat-sifat sebagai berikut. 1. Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal.
2. Eksperimennya diulang beberapa kali dan ditentukan banyak pengulangannya. 3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan eksperimen
bersifat tetap. 4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas.
Grafik dari fungsi peluang distribusi binomial bisa dilihat dalam Gambar berikut
Pemahaman uraian tentang distribusi binomial diperjelas melalui contoh-contoh berikut,
Contoh 1:
Apakah artinya Y B y ;6, 1
4 ? Kemudian tuliskan bentuk fungsi peluangnya.
Penyelesaiain:
Y B y ;6, 1
4 artinya peubah acak Y mengikuti distribusi binomial dengan banyak
pengukangan eksperimennya 6 kali, peluang terjadinya peristiwa sukses sebesar 1
4 dan
banyak peristiwa sukses y. Fungsi peluang dari Y adalah :
p y = 6
y 1
4
y
3 4
6 − y
; y=0,1, 2,3, 4,5, 6
Contoh 2:
Misalnya kita mengundi sebuah dadu yang seimbang sebanyak 8 kali.
Hitung peluang bahwa munculnya mata dadu 5 paling sedikit 6 kali.
Penyelesaian:
Misalnya X menyatakan banyak mata dadu 5 yang muncul. Dalam hal ini,
n=8
dan p= 1
6 Fungsi peluang dari X adalah :
p x = 8
x 1
6
x
5 6
8−x
; x=0, 1,2, 3, ….. , 8 Jadi :
X=6, 7, 8 P X ≥ 6 =P
¿ ¿
P X=6 +P X =7+P X=8 ¿
8 6
1 6
6
5 6
2
+ 8
7 1
6
7
5 6
+ 8
8 1
6
8
5 6
¿ 700
1.679 .616 +
40 1.679 .616
+ 1
1.679.616 P X ≥ 6 =
741 1.679 .616
= 0,00044
DISTRIBUSI POISSON
Distribusi poisson ini diperoleh dari distribusi binomial, apabila dalam distribusi binomial berlaku syarat-syarat sebagai berikut,
a. Banyak pengulangan eksperimennya sangat besar
n → ∞
. b. Peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan mendekati nol p→ 0 .
c. Perkalian n . p=λ , sehingga p= λ
n .
Berikut ini akan diberikan penurunan fungsi peluang distribusi Poisson berdasarkan fungsi peluang distribusi binomial dengan menggunakan persyaratan di atas.
p x = n
x p
x
1− p
n−x
¿ n
x n−x λ
n
x
1− λ
n
n−x
¿ n
n−1 n−2
… ...[n− x −1
] x
λ n
x
1− λ
n
n− x
¿ n. n
1− 1
n . n
1− 2
n . . . n
1− x−1
n x
. λ
x
n
x
. 1−
λ n
n
1− λ
n
− x
¿ n. n
x−1
n
x
. 1−
1 n
. 1−
2 n
. . . . 1−
x−1 n
x . y
x
. 1−
λ n
n
1− λ
n
− x
lim p x =lim
n → ∞
n .n
x−1
n
x
. 1−
1 n
. 1−
2 n
. . . . 1−
x−1 n
x . y
x
. 1−
λ n
n
1− λ
n
− x
¿ λ
x
x lim
n → ∞
[
1− 1
n .
1− 2
n .. . .
1− x−1
n 1−
λ n
n
1− λ
n
− x
]
Kita akan menghitung harga limitnya satu persatu. lim
n →∞
1− 1
n .
1− 2
n . .. .
1− x−1
n =
1
lim
n →∞
1− λ
n
n
= e
− λ
lim
n →∞
1− λ
n
− x
= 1
Sehingga akan diperoleh lim
n →∞
p x = λ
x
x . e
− λ
= λ
x
e
− λ
x Jadi distribusi pendekatannya adalah :
p x =P X = λ
x
. e
− λ
x ; x=0, 1,2, 3, … … .
Dalam praktiknya, distribusi Poisson akan merupakan distribusi yang baik dari distribusi binomial, jika dalam distribusi binomial berlaku:
n ≥100
dan
np ≤ 10
n ≥20
dan
p≤ 0,05
Berdasarkan uraian diatas, kita peroleh definisi distribusi Poisson berikut.
DEFINISI 4.4.4: FUNGSI PELUANG POISSON
Peubah acak X dinyatakan berdistribusi Poisson, jika dan hanya jika fungsi peluangnya berbentuk:
p x =P X = λ
x
. e
− λ
x ; x=0, 1,2, 3, … … .
Peubah acak X yang berdistribusi Poisson dikatakan juga peubah acak Poisson. Penulisan notasi dari peubah acak X berdistribusi Poisson adalah P x ; λ , artinya
peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter
λ
. Pemahaman uraian tentang distribusi Poisson diperjelas melalui contoh berikut,
Contoh 1:
Apakah artinya
Y P y ;2
? Kemudian tuliskan bentuk fungsi peluangnya.
Penyelesaian:
Y P y ;2
artiya peubah acak Y berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 2. Fungsi peluang dari Y berbentuk:
p y = 2
y
. e
− 2
y ; y=0, 1, 2,3,. . .. .
Contoh 2:
Misalnya X adalah peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Jika
P X=0
= 0,2
, maka hitung
PX =2
.
Penyelesaian:
Fungsi peluang dari distribusi Poisson adalah: p x =P X=x =
λ
x
. e
− λ
x ; x=0, 1,2, 3, … … .
P X=0 =0,2 λ
. e
− λ
= 0,2
e
− λ
= 0,2
λ=1,6
Jadi: P X=2=
1,6
2
. e
− 1,6
2 =
0,2584
Beberapa distribusi khusus kontinu
1. DISTRIBUSI SERAGAM
