S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Jika A kejadian baha muncul bahwa muncul mata genap maka A{2, 4, 6}
PA = P2 + P4 + P6 = 0,18 + 0,16 + 0,20 = 0,54 Jika B kejadian baha muncul bahwa muncul mata prima maka A{2, 3, 5}
PB = P2 + P3 + P5 = 0,18 + 0,18 + 0,15 = 0,15
c. Probabilitas Bersyarat dan Teorema Bayes
Probabilitas Bersyarat
Suatu kejadian dapat bergantung pada terjadi atau tidaknya suatu kejadian lain. Untuk kejadian yang bergantung pada kejadian lain, nilai probabilitasnya dicari dengan
menggunakan probabilitas bersyarat, sebgai berikut:
Defenisi:
Misalkan E sebarang kejadian dalam ruang sampel S, dengan PE 0. Probabilitas bersyarat dari kejadian A dengan syarat E terjadi, ditulis PAE, didefenisikan sebagai
berikut: PAE =
P A ∩ E PE
Atau misalkan S ruang sampel yang berhingga dengan kejadian A dan E, maka: PAE
= banyaknya elemen dalam A ∩ B
banyaknya elemen dalam E
Contoh 1:
Misalkan sepasang dadu yang setimbang dilambungkan satu kali. Dilihat jumlah mata yang muncul E kejadian bahwa jumlah mata yang muncul pada kedua dadu sama dengan
6. A kejadian muncul mata 2 pada paling sedikit satu dadu. Maka:
S = {1,1, 1,2, 1,3, 1,4, 1,5, 1,6, ...., 5,6}: nS = 36.
E = {1,5, 2,4, 3,3, 3,3, 4,2, 5,1}; nE = 5; PE = 5
36 A= {2,1, 2,2, 2,3, 2,4, 2,5, 2,6, 1,2, 3,2, 4,2, 5,2, 6,2}; nA = 11
A
∩
E = {2,4, 4,2}; P A
∩
E = 2
36
Jadi probabilitas bersyarat dari A dengan syarat E adalah:
PAE = P A ∩ E
PE =
2 36
5 36
= 2
5 Atau banyaknya elemen dalam A ∩ E = nA ∩ E = 2
PAE = P A ∩ E
PE =
2 5
Jadi proabibilitas terjadinya muncul mata dadu 2 pada paling sedikit satu adu jika diketahui bahwa jumlah mata dadu yang muncul pada kedua dadu sama dengan 25.
Contoh 2:
Andaikan S ruang sampel dari sekelompok orang dewasa yang telah menyelesaikan studinya. Orang tersebut dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status kerja sebagai
berikut: Bekerja
Tidak Bekerja Jumlah
Laki - laki 460
40 500
Perempuan 140
260 400
Jumlah 600
300 900
Seorang diantara orang tersebut dipilih secara acak untuk mewakili kelompo tersebut. Bila telah diketahui orang yang telah diketahui orang yang dipilih bekerja, berapakah
probabilitasnya orang tersebut laki – laki? Penyelesaiaan:
Misalkan Kejadian B: Kejadian terpilih seorang yang sudah bekerja. L: Kejadian terpilih seorang laki – laki.
Yang dinyatakan probabilitas L dengan syarat B atau PLB PL =
500 900
; PB = 600
900 ; PL ∩ B =
460 900
PLB = P L∩ B
PB
= 460
600 600
900
= 460
600 =
23 30
Perlu diperhatikan bahwa rumus: PAE =
P A ∩ E PE
Dapat dinyatakan dengan PA ∩ E = PE.PAE
Teorema:
Jika A, B dan C tiga kejadian diruang sampel S dengan PA ≠ 0, PA ∩ B ≠ 0, maka PA ∩ B ∩ C = PA PBA. PCA ∩ B
Contoh :
Sebuah kotak berisi 40 butir telur dan diketahui 5 butir diantaranya rusak. Jika 3 butir telur diambil secara berturut – turut dengan acak tanpa pengambilan, berapakah probabilitas
ketiga butir telur itu rusak? Misalkan A peristiwa I rusak maka PA =
50 40
= 1
8
Misalkan A peristiwa II rusak maka PBA = 4
39 Misalkan A peristiwa I rusak maka PCA
∩
B = 3
38 Probabilitas ketiga telur itu rusak adalah:
PA PBA PCA
∩
B = 50
40
.
4 39
.
3 38
= 1
988
Proses tokastik Berhingga Dan Theorema Bayes
Suatu deretan berhingga dari eksperimen – eksperimen dimana tiap eksperimen mempenyai sejumlah berhingga hasil yang mungkin dengan peluang yang tertentu disebut
Proses Stokasti yang berhingga. Suatu cara yang baik sekali untk menjelaskan menggambarkan suatu proses dan perhitungan peluang probabilitas dari sebarabang
kejadian adalah dengan suatu diagram pohon seperti gambar berikut:
Contoh :
Kita mempunyai 3 kotak sebagai berikut: Kotak I berisi 10 bola lampu, 4 diantaranya mati.
Kotak II berisi 6 bola lampu, 1 diantaranya mati. Kotak III berisi 8 bola lampu, 3 diantaranya mati.
Kita memilih suatu kotak secara random dan kemudian dari kotak tersebut mengambil sebuah bola lampu secara random. Berapakah peluangnya bahwa bola lampu tersebut
mati? 1
Memilih satu dari 3 kotak. 2
Mengambil satu bola lampu yang mungkin mati M atau mungkin hidup. Diagram pohon berikut menggamarkan proses proses tersebut dan menunjukkan
peluangya yang terdapat pada setiap cabang pohon. Peluang mengambil satu kotak dari 3 kotak secara random adalah
1 3 jadi peluang
yang terambil kotak I = peluang yang terambil kotak II = peluang terambil kotak III. Dari kotak I yang terisi 10 bola lampu, 4 diantaranya mati. Peluang bahwa bola lampu
terambil itu mati = 4
10 dan peluang bahwa bola lampu yang termbil itu hidup =
1 - 4
10
=
6 10
Dari kotak II, yang berisi 6 bola lampu 1 diantaranya mati. Peluang bahwa bola lampu yang terambil mati =
1 6
dan peluang bahwa bola lampu yang termbil itu hidup = 1 - 3
8
=
5 8
Dari kotak III yang terisi 8 bola lampu, 3 diantaranya mati. Peluang bahwa bola lampu terambil itu mati =
3 8
dan peluang bahwa bola lampu yang termbil itu hidup = 1 - 3
8
=
5 8 .
Peluang bahwa bola lampu lampu yang terambil dari kotak I adalah mati = 1
3 .
4 10
= 4
30 =
2 15
Peluang bahwa bola lampu lampu yang terambil dari kotak II adalah mati = 1
3 .
1 6
= 1
8
Peluang bahwa bola lampu lampu yang terambil dari kotak III adalah mati = 1
3
. 3
8 =
3 24
Jadi peluang bahwa bola lampu terampil mati = peluang bola lampu yang mati dari kotak I + peluang bola lampu yang terambil mati dari kotak III =
1 3
.
2 5
+ 1
3
3 6
+ 1
3 3
8 =
2 15
+
1 8
+
3 24
=
113 360
.
Contoh :
Sebuah dadu yang tidak setimbang dilambungkan satu kali, dengan PM = 2
3 dan PB
= 1
3 . Jika sisi M muncul, maka suatu bilangan dipilih secra random dari bilangan 1
sampai 9. Jika sisi B muncul, maka suatu bilangan dipilih secra random dari bilangan 1 sampai 5. Cari peluang bahwa yang terpilih adalah bilangan genap.
Jika muncul sisi M bilanga 1 sampai 9, yang genap ada 4 yaitu: 2, 4, 6, 8. Peluang terpilih bilangan genap =
4 9
dan peluang terpilih bilangan ganjil = 1 - 4
9 =
5 9
. Jika muncul sisi B bilangan 1 sampai dengan 5, yang genap ada 2, yaitu: 2, 4. Peluang
yang terpilih adalah bilangan genap = 2
5 dan peluang yang terpilih adalah bilangan
ganjil = 3
5 .
Jadi peluang yang terpilih adalah bilangan genap = 2
5 .
4 9
+ 1
3 .
2 5
= 8
27 +
2 15
= 58
135 .
Contoh :
Sebuah mata uang yang tidak setimbang dilambungkan satu kali, dengan PM = 2
3 dan
PB = 1
3 . Jika sisi muncul maka suatu bilangan dipilih secara random dari bilangan 1
sampai 9. Jika sisi B muncul maka suatu bilangan dipilih secara random dari bilangan 1 sampai 5.
Carilah peluang bahwa yang terpilih bilangan genap.
Jika muncul sisi M bilangan 1 sampai 9, yang genap ada 4, yaitu: 2, 4, 6, 8 terpilih bilangan genap =
4 9
dan peluang terpilihnya bilangan ganjil = 1 - 4
9 =
5 9
. Jika muncul sisi B bilangan 1 samapai dengan 5, yang genap ada 2 yaitu: 2, 4. Peluang yang
terpilihnya adalah bilangan genap = 2
5 dan peluang terpilih adalah bilangan ganjil=
3 5
. Jadi peluang yang terpilih adalah bilangan genap =
2 3
. 4
9 +
1 3
. 2
5 =
8 27
+ 2
15 =
58 135
Teorema Bayes
Timbulnya suatu kejadian sering bergantung pada keadaan yang dapat mempengaruhi timbulnya kejadian tersebut.
Contoh 1:
Dua kotak masing – masing berisi 50 batang kapur. Dalam kotak pertama diantaranya 50 batang kapur trdapat 10 batang yang rusak sedang dalam kotak kedua diantara 50 batang
terdapat 20 batang yang rusak. Jika seseorang mengambil sebuah kapur dan kebetulan rusak, berapakah probabilitas kapur itu terambil dari kotak kedua?
Misalkan: H
1
: Kejadian kapur itu terambil dari kotak I H
2
: Kejadian kapur yang terambil dari kotak II A : Kejadian kapur yang terambil rusak.
PA = PA H
1
+ A H
2
= PH
1
. PAH
1
+ PH
2
. PAH
2
= 1
2 .
1 5
+ 1
2 .
2 5
=
3 10
PH
2
A = P A ∩ H 2
P A =
P H 2 P A H 2 P A
= 1
2 .
2 5
3 10
= 2
3 Keadaan yang memoengaruhi munculnya suatu kejadian dapat lebih dari satu atau
dua faktor. Andaikan terdapat k faktor atau keadaan yang dapat mempengaruhi munculnya suatu kejadian. Ruang sampel sampel percobaan kiata bagi k daerah bagian yang saling
asing artinya tidak ada titik sampel persekutuan antar daerah itu dan kita misalkan faktor atau keadaan yang dapat mempengaruhi percobaan itu yang kita akan cari
adalahprobabilitas kejadian A yang disebabkan oleh H
1
, H
2
, ...,H
k
. Keterangan:
H
1
, H
2
, ...,H
k
adalah keadaan – keadaan dalam S yang mempengaruhi terjadinya A. PH 0 Untuk setiap i.
A = H
1
∩
A
∪
H
2
∩
A ...
∪
H
k
∩
A Oleh karena A dapat muncul bersama – sama dengan salah satu dari kejadian H
i
maka A kan muncul jika dan hanya jika salah satu dari kejadian yang saling asing H
1
∩
A + H
2
∩
A, ..., H
k
∩
A muncul atau PA = H
1
∩
A + H
2
∩
A + ... + PH
k
∩
A. PHiA
= P Hi∩ A
P A =
P Hi
P A Hi P
H i∩ A +
P H i∩ A
+ …+ PHi ∩ A
PHiA =
P Hi P A Hi
∑
P Hi . P A
Hi Formula ini dikenal dengan Formula Bayes.
Contoh 2:
Tiga kotak yang masimg – masing memiliki dua laci. Didalam laci terdapat sebuah medali. Didalam kotak I terdpat medali emas, dalam kotak kedua medali perak dan dalam laci
kotak ketiga masing – masing medali emas dan perak. Diambil sebuah kotak kemudian lacinya dibuka ternyata isinya medali emas. Berapakah probabilitasnya bahwa laci yang
lain berisi medali perak? Misalkan:
H
1
: Kejadian terambil dari kotak I
H
2
: Kejadian terambil dari kotak II A : Kejadian laci yang dibuka berisi medali emas
Kotak yang mememnuhi pertanyaan adalah kotak III sehingga yang akan kita cari adalah PH
3
A =
P H 3 . P A H 3 P H 1. P A H 1+P H 2 . P A H 2P H 3 . P A H 3
= 1
3 .
1 2
1 3
.1+ 1
3 . 0+
1 3
. 1
2
= 1
3
d. Peristiwa Independen dan Ekslusif secara Bersama.
