H
2
: Kejadian terambil dari kotak II A : Kejadian laci yang dibuka berisi medali emas
Kotak yang mememnuhi pertanyaan adalah kotak III sehingga yang akan kita cari adalah PH
3
A =
P H 3 . P A H 3 P H 1. P A H 1+P H 2 . P A H 2P H 3 . P A H 3
= 1
3 .
1 2
1 3
.1+ 1
3 . 0+
1 3
. 1
2
= 1
3
d. Peristiwa Independen dan Ekslusif secara Bersama.
Suatu kejadian B dikatakan independen bebas dari kejadian A jika probabilitas terjadinya B tidak terpengaruh oleh terjadi atau tidaknya kejadian A atau jika probabilitas
dari B sama dengan probabilitas bersyarat dari B dengan syarat A yaitu PB = PBA. Dari rumus probabilitas bersyarat:
PBA = PB ∩ A
P A dan PBA = PB
Maka: PB =
PB ∩ A P A
Jadi: PA
∩
B = PA . PB.
Defenisi :
Misalkan suatu kejadian A dan B dikatakan bebasindepanden, jika PA
∩
B = PA.PB.
Jika PA
∩
B
≠
PA . PB, maka A dan B dikatakan dependen saling bergantung.
Contoh :
Misalkan suatu mata uang yang setimbang dilambungkan 3 kali. Maka: S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BBM, BMB, BBM, BBB}.
Perhatikan kejadian – kejadian berikut: A = Kejadian bahwa pada lambungan I muncul sisi M
B = Kejadian bahwa pada lambungan I muncul sisi M C = Kejadian bahwa tepat muncul 2 sisi M berturut-turut.
Maka: A = {MMM, MMB, MBM, MBB}; PA =
4 8
= 1
2
B = {MMM, MMB, BBM, BMB}; PB = 4
8 =
1 2
C = {MMB, BBM} ; PC =
2 8
= 1
4
a.
A
∩
B = MMM, MMB}; PA
∩
B = 2
8 = 1
4
PA . PB = 1
2 .
1 2
= 1
4
=
PA ∩ B Karena PA ∩ B = PA . PB, maka A dan B merupakan dua kejadian yang
independen yang bebas.
b.
A
∩
C = MMB}; PA
∩
C = 1
8
PA . PC = 1
2 .
1 2
= 1
4
=
PA ∩ C Karena PA ∩ C = PA . PC, maka A dan C merupakan dua kejadian yang
bebas.
c.
B
∩
C = MMM, BBM}; PB
∩
C = 2
8 = 1
4
PB . PC = 1
2 .
1 4
= 1
8 ≠
PB ∩ C Karena PB ∩ C = PB . PC, maka B dan C merupakan dua kejadian yang
dependen atau saling bergantungan. Setelah kita menguraikan defenisi dan teorema tentang dua kejadian di S, maka
hendaknya anda dapat mebedakan antara dua kejadian bebas dan dua kejadian yang saling asing. Secara verbal harfiah, dua kejadian dikatakan bebas jika terjadinya permata
misalkan A tidak dipengaruhi oleh kejadian kedua, misalnya B. Secara probabilitas dinyatakan dengan PA ∩ B = PA . PB dua kejadian dikatakan saling asing jika dua
kejadian itu , misalkannya A dan B tidak memiliki titik persekutuan atau A ∩ B ≠ ∅
dan secara probabilitas dengan PA ∪ B = PA + PB.
Contoh :
Andaikan dua buah dadu dilemparkan satu kali. Kita meperhatikan jumlah mata dadu yang muncul. Andaikan A adalah suatu kejadian jumlah mata dadu genap dan B kejadian
“jumlah mata dadu lebih dari 10”. Periksalah apakah A dan B dua kejadian bebas atau dua kejadian saling asing atau kedua – duanya.
Misal A = Kejadian jumlah mata dadu genap; PA =
18 36
= 1
2
B = Kejadian jumlah mata dadu lebih dari 10, PB = 3
6 = 1
2
PA
∩
B = 1
36
P
A ∪ B = PA + PB – PA ∩ B = 1
2 + 1
12 = 1
36 =
20 36
Ternyata bahwa: PA ∩ B ≠ PA . PB. Jadi A dan B tidak bebas.
P
A
∪
B
≠
PA . PB.Jadi A dan B juga tidak saling duga.
Teorema
Kejadian A
1
, A
2
, ..., A
n
adalah kejadian – kejadian bebas jika probabilitas interaksi dari tiap 2, 3, ...,..., n kejadian itu sama dengan hasil perkalian probabilitas tiap kejadian yang
bersangkutan. Untuk 3 kejadian misalnya A, B dan C dikatakan kejadian bebas jika dan hanya jika:
i PA
∩
B = PA . PB PA
∩
C = PA . PB Yang pasti sepasang – sepasang bebas.
PB
∩
C = PA . PB
Contoh :
Misalkan dua mata uang yang setimbang dilambungkan satu kali. S = {MM, MB, BM, BB}
Perhatikan kejadian – kejadian: A = Kejadian bahwa sisi M muncul pada mata uang I
B = Kejadian bahwa sisi M muncul pada mata uang II C = Kejadian bahwa sisi M muncul hanya pada suatu mata uang
Maka: A = {MM, MB}; PA =
2 4
=
1 2
B = {MM, BM}; PB = 2
4
=
1 2
C = {MB, BM}; PC = 2
4
=
1 2
A ∩ B = {MM}; PA ∩ B = 2
4
=
1 2
. 1
2 = PA . PB Jadi A dan B
bebas A ∩ C = {MB}; PA ∩ C =
2 4
=
1 2
. 1
2 = PA . PC Jadi A dan C
bebas B ∩ C = {MM}; PB ∩ C =
2 4
=
1 2
. 1
2 = PB . PC Jadi A dan B
bebas Karena PA
∩
B
∩
C
≠
PA . PB . PC maka kejadian A, B, dan C tidak bebas, meskipun sepasang – sepasang kejadian tersebut bebas.
BAB IV VARIABEL RANDOM DAN PROBABILITASNYA
