Titik Ekuilibrium Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis

44

C. Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis

1. Titik Ekuilibrium

Pada model matematika penyebaran penyakit Tuberculosis selanjutnya akan dicari titik ekuilibrium dengan cara membuat sistem tersebut dalam kondisi konstan terhadap waktu, yaitu kondisi dimana 0, dS dt  0, dI dt  dan 0. dR dt  Sehingga dari sistem Persamaan 3.4 diperoleh titik ekuilibrium yang disajikan dalam Teorema 3.1. sebagai berikut : Teorema 3.1. Eksistensi Titik Ekuilibrium a. Jika I  , maka Sistem Persamaan 1.4 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           . b. Jika I  , maka Sistem Persamaan 1,4 memiliki titik ekuilibrium endemik :               1 b b , , , , t t t t t t t c c c c E S I R b c b c b                                          dengan syarat . t b c      Bukti : Sistem Persamaan 3.4 akan mencapai titik ekuilibrium apabila 0, dS dt  0, dI dt  dan 0. dR dt  Sehingga Sistem 3.4 dapat ditulis : I b S S N       3.5 45 t I b S c I N       3.6 0. cI R    3.7 Berdasarkan Persamaan 3.6, diperoleh : t I b S c I N       t bS I c N             0. I  3.8 Dan jika I  t bS c N      t c S N b      t c S I R S b        t t c S c I R S b b            b t t c c I R S b b                  . b t t c I R S c                  3.9 a. Dari Persamaan 3.8 dan Persamaan 3.7 diperoleh : cI R    46 R    0. R  3.10 Dari Persamaan 3.5, 3.8 dan 3.10 diperoleh: I b S S N       S      . S    3.11 Oleh karena itu, diperoleh titik ekuilibrium , , , 0, 0 E S I R           sehingga terbukti sistem Persamaan 1.4 memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit , , , 0, 0 E S I R           . b. Untuk setiap I  artinya I  maka pada Persamaan 3.7 diperoleh : . R I c   3.12 Substitusikan Persamaan 3.12 pada Persamaan 3.9 diperoleh :     . b t t R c c S c c             3.13 Substitusikan Persamaan 3.13 pada Persamaan 3.5 diperoleh :     b t t t R c c c R b N cN b c c                                 47   1 b t t c c R c c                         b t t t c b R c c                           b . t t t c c R c b               3.14 Substitusikan Persamaan 3.14 pada Persamaan 3.12 diperoleh :      b t t t c c I c c b                     b , 0. t t t c I I c b                3.15 Supaya I  maka diperoleh :      b t t t c c b                  b t t c b           b t t c b         1 t c b       1 t c b      t b c      48 . t b c      Substitusikan Persamaan 3.14 pada Persamaan 3.13 diperoleh :          b b t t t t t c c c c S c b c c                                        . t c S b        3.16 Berdasarkan Persamaan 3.14, 3.15, dan 3.16 diperoleh titik ekuilibrium sebagai berikut :               1 b b , , , , t t t t t t t c c c c E S I R b c b c b                                          dengan syarat t b c      . Jadi terbukti jika I  , maka Sistem Persamaan 3,4 memiliki titik ekuilibrium endemik :               1 b b , , , , . t t t t t t t c c c c E S I R b c b c b                                         

2. Bilangan Reproduksi Dasar