13
Sistem persamaan diferensial dibagi menjadi 2, yaitu:
1. Sistem Persamaan Diferensial Linear
Sistem persamaan diferensial linear orde satu dengan variabel tak bebas
1 2
3
, ,
,...,
n
x x x x dan variabel bebas t dinyatakan sebagai berikut:
1 11 1
12 2
13 3 1
1 2
21 1 22
2 23 3
2 2
3 31 1
32 2
33 3 3
3
1 1 2
2 3 3
.
n n
n n
n n
n n
n n
nn n
n
dx a x
a x a x
a x H t
dt dx
a x a x
a x a x
H t
dt dx
a x a x
a x a x
H t
dt
dx a x
a x a x
a x H
t dt
2.2
Jika
i
H t dengan
1, 2,3,..., i
n
bernilai nol, maka Sistem 2.2 disebut sistem persamaan diferensial linear homogen, sedangkan jika ada
i
H t benilai taknol, maka Sistem 2.2 disebut sistem persamaan diferensial nonhomogen.
Sistem Persamaan 2.2 dapat dinyatakan dalam suatu bentuk persamaan sebagai berikut:
x Ax
H t
2.3
dengan A adalah suatu matriks n x n yang merupakan suatu matriks koefisien dari variabel tak bebas
,
n
x
dengan
, 1, 2,3,..., ,
ij
a i
n
1, 2,3,...,
j n
dan
14
H t adalah matriks ukuran n x 1 yang merupakan fungsi dari t. Berikut Persamaan 2.2 yang dituliskan dalam bentuk matriks:
11 12
1 1
1 21
22 2
2 2
1 2
3
.
n n
n n
n nn
n n
a a
a x
H t a
a a
x H
t dy
dt a
a a
a x
H t
2.4
Contoh 2.5
Diberikan sistem persamaan diferensial linear sebagai berikut:
2 3
6 dx
x y
dt dy
x y
dt
2.5
Sistem Persamaan 2.5 merupakan persamaan diferensial linear homogen.
2. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear
Definisi 2.5. Ross, 1984
Persamaan diferensial nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tidak linear.
Persamaan diferensial dapat dikatakan sebagai persamaan diferensial nonlinear apabila memenuhi setidaknya satu dari kriteria berikut Ross, 1984,
i. Memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu.
ii. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas danatau turunan-turunannya.
iii. Terdapat fungsi transedental dari variabel tak bebas dan turunan-turunannya.
15
Contoh 2.6
Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut:
1 1
2 2
2
1 dx
x x
dt dx
x dt
2.6
Penyelesaian:
2 2
dx x
dt
2 2
1 dx
dt x
Integralkan kedua ruas, diperoleh
2
2
1 d x
dt x
2 1
2
ln x c
t c
2
ln x t
c
2 t c
x e
2
.
t
x ke
1 1
2
1 dx
x x
dt
1 2
1
1 1
dx x dt
x
16
1 1
1 1
t
dx ke dt
x
Integralkan kedua ruas, diperoleh
1 1
1 1
t
dx ke dt
x
1 3
4
ln
t
x c
t ke
c
1 5
ln
t
x t
ke c
5
1
t
t ke c
x e
1 1
t
t ke
x k e e
misalkan
1 2
k k k
maka
1 2
t
t ke
x k ke e
2
1 2 2
.
x
x k x e
Sehingga diperoleh penyelesaiannya adalah
2 t
x ke
2
1 2 2
x
x k x e
Sistem Persamaan 2.6 merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear dengan variabel bebas t dan variabel tak bebas
1
x dan
2
x . Sistem tersebut dikatakan sistem persamaan nonlinear karena terdapat perkalian antara variabel
tak bebasnya pada persamaan yang pertama, kemudian pada persamaan yang kedua terdapat kuadrat dari variabel tak bebasnya.
17
Contoh 2.7
Persamaan diferensial yang memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu:
3
3 4.
dy x
dt
Contoh 2.8
Persamaan diferensial yang memuat perkalian dari variabel tak bebas danatau turunan-turunannya:
1 1 2
1
3 . dx
x x x
dt
Contoh 2.9
Persamaan diferensial yang memuat fungsi transedental daari variabel tak bebas dan turunan-turunannya:
2
3 4.
x
dy e
dt
D. Titik Ekuilibrium
Kategori