26
Kemudian substitusikan nilai titik ekuilibrium bebas penyakit
1, 0, 0 E
ke Persamaan 2.13 diperoleh:
K
maka diperoleh nilai R dari sistem 2.12 adalah
. R
G. Nilai Eigen
Nilai eigen dalam suatu matriks akan digunakan dalam menentukan kestabilan dari suatu titik kritis. Nilai eigen suatu matriks dapat didefinisikan
dalam Definisi 2.9.
Definisi 2.8. Anton, 1987
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam
n
dinamakan vektor eigen eigenvectordari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu:
Ax x
2.14
untuk suatu skalar
. Skalar
dinamakan nilai eigen eigenvalue dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan
.
Dari Persamaan 2.14 diperoleh: Ax
x
Ax
Ix
I A x
2.15
27
dengan I adalah matriks identitas. Supaya
menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari Persamaan 2.15. Persamaan 2.15 akan memiliki
pemecahan taknol jika dan hanya jika:
det 0.
I A
2.16 Persamaan 2.16 dinamakan persamaan karakteristik A dan skalar yang
memenuhi Persamaan 2.16 adalah nilai eigen dari A. Jika A adalah matriks n x n, maka polinomial karakteristik A mempunyai
bentuk:
1 1
det ...
n n
n
I A
c c
Contoh 2.13
Diketahui matriks
3 2
. 1 0
B
Tentukan nilai-nilai eigen dari matriks B Jawab:
Persamaan karakteristik dari B adalah
det I
B
3 2
1
2
3 2
28
2 1
sehingga diperoleh nilai eigen 2
dan 1.
H. Kestabilan Titik Ekuilibrium
Kestabilan titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut.
Definisi 2.9. Olsder Woude, 2004
Diberikan sistem persamaan diferensial orde satu
x f x
dengan
n
x
dan
, x t x adalah solusi persamaan tersebut pada saat t dengan kondisi awal
x x
.
i Vektor ˆx yang memenuhi
ˆ f x
dikatakan sebagai titik ekuilibrium. ii
Titik ekuilibrium ˆx dikatakan stabil jika diberikan untuk setiap
ada
sedemikian sehingga jika ˆ
x x
dan
ˆ ,
x t x x
untuk setiap
t .
iii Titik ekuilbrium ˆx dikatakan stabil asimtotik jika titik ekuilibriumnya stabil
dan terdapat
1
sedemikian sehingga
ˆ lim
,
t
x t x x
, bila
1
ˆ x
x
. iv
Titik ekuilibrium ˆx dikatakan tidak stabil jika tidak memenuhi ii. Berikut adalah simulasi titik ekuilibrium stabil dan titik ekuilibrium stabil
asimtotik.
29
Stabil Stabil asimtotik
Tidak stabil Gambar 2.2. Simulasi Kestabilan Titik Ekuilibrium
Matriks jacobian dapat dapat digunakan dalam mengidentifikasi sifat kestabilan sistem nonlinear disekitar titik ekuilbrium apabila sistem tersebut
memiliki titik ekuilibrium hiperbolik. Selanjutnya diberikan teorema mengenai sifat kestabilan suatu sistem nonlinear yang ditinjau dari nilai eigen matriks
jacobian
ˆ Jf x .
Definisi 2.10. Wiggins, 1990
Sebuah titik ekuilibrium dikatakan hiperbolik jika bagian real nilai eigen dari matriks jacobian adalah tidak nol. Jika bagian manapun nilai eigen dari matriks
jacobian adalah nol, maka titik ekuilibrium disebut nonhiperbolik.
Teorema 2.2. Olsder Woude, 2004
Diberikan sistem persamaan diferensial x
Ax
, dengan A adalah matriks berukuran n x n, mempunyai k nilai eigen yang berbeda
1 2
3
, ,
,...,
n
dengan k
n .
30
i Titik ekuilibrium ˆ 0
x dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika
1, 2,...,
i
e i
k
. ii
Titik ekuilibrium ˆ 0 x
dikatakan stabil jika dan hanya jika 1, 2,...,
i
e i
k
dan jika setiap nilai eigen
, imajiner dengan
i
e
, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus
sama. iii
Titik ekuilibrium ˆ 0 x
dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu
1
e
untuk
1, 2,..., i
k
.
Bukti: i
Bukti dari kiri ke kanan Akan ditunjukkan jika titik ekuilibrium
ˆ 0 x
stabil asimtotik maka 1, 2,...,
i
e i
k
. Berdasarkan Definisi 2.9. titik ekuilibrium
ˆ 0 x
dikatakan stabil asimtotik jika
ˆ lim
,
t
x t x x
. Hal ini berarti bahwa untuk
, ,
t x t x
akan
menuju ˆ 0
x . Karena
, x t x merupakan penyelesaian dari sistem
persamaan diferensial, sehingga
, x t x memuat
i
e t
e
. Oleh karena itu, supaya
i
e t
e
menuju ˆ 0
x , maka
harus bernilai negatif. Bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan jika 1, 2,...,
i
e i
k
maka titik ekuilibrium ˆ 0
x
stabil asimtotik.
31
, x t x merupakan penyelesaian dari sistem persamaan diferensial,
sehingga
, x t x selalu memuat
i
e t
e
. Jika
i
e
, maka untuk
, ,
t x t x
akan menuju
ˆ 0 x
. Sehingga berdasarkan Definisi 2.9. titik ekuilibrium
ˆ 0 x
stabil asimtotik. ii
Bukti dari kiri ke kanan Akan ditunjukkan bahwa jika titik ekuilibrium
ˆ 0 x
stabil, maka 1, 2,...,
i
e i
k
. Andaikan
i
e
, maka penyelesaian persamaan diferensial
, x t x yang selalu memuat
i
e t
e
akan menuju
atau menjauhi titik ekuilibrium
ˆ 0 x
untuk t , sehingga sistem tidak stabil. Hal tersebut bertentangan dengan yang diketahui. Jadi terbukti bahwa jika titik
ekuilibrium ˆ 0
x stabil, maka
1, 2,...,
i
e i
k
. Bukti lain, jika
i
e
maka saat t , berakibat
, x t x
sehingga titik ekuilibrium
ˆ 0 x
stabil. Bukti dari kanan ke kiri
Akan ditunjukkan bahwa jika 1, 2,...,
i
e i
k
maka titik ekuilibrium
ˆ 0 x
dikatakan stabil dan jika setiap nilai eigen
, imajiner dengan
i
e
, maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen
harus sama. Penyelesaian
, x t x merupakan penyelesaian dari sistem
persamaan diferensial, maka
, x t x selau memuat
i
e t
e
. Jika
i
e
,
32
maka titik ekuilibrium ˆ 0
x stabil asimtotik pasti stabil. Jika
i
e
maka berupa nilai eigen berupa bilangan kompleks murni. Multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan
dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama.
Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sembarang sistem pada
2
yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni.
1 1
2 2
, 0,
0. x
x p
p q
x x
q
2.17
Nilai eigen dari Sistem 2.17 ditentukan dengan mensubstitusikan matriks
p A
q
ke dalam persamaan
det A
I
sehingga diperoleh:
p q
. Persamaan karakteristik dari matriks A adalah
2
pq
2
pq
i pq
1
i pq
dan .
i pq
33
Berdasarkan definisi,
1 2
,
T
x x x
adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan
jika dan hanya jika x adalah penyelesaian nontrivial dari
A I x
, yaitu dari
1 2
0. x
p x
q
2.18
Jika
1
i pq
, maka Persamaan 2.18 menjadi
1 2
0. i pq
p x
x q
i pq
Matriks augmentasi dari sistem di atas, yaitu
. p
i pq q
i pq
Baris pertama matriks dikalikan
i pq pq
sehingga diperoleh 1
. i pq
q q
i pq
Kemudian baris kedua matriks
1 q
sehingga diperoleh 1
. 1
i pq q
i pq q
34
Selanjutnya baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi
1 .
i pq q
Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi tersebut diperoleh penyelesaian
1 2
i pq x
x q
1 2
i pq x
x q
misalkan
2
x t
, maka
1
i pq x
t q
, dapat ditulis sebagai berikut:
1 2
. 1
i pq x
t q
x
Jadi, vektor yang bersesuaian dengan
1
i pq
yaitu
1 2
. 1
x i pq
x
Jika
1
i pq
, maka Persamaan 2.18 menjadi
1 2
0. i pq
p x
x q
i pq
Matriks augmentasi dari sistem di atas, yaitu
. p
i pq q
i pq
35
Baris pertama matriks dikalikan
i pq pq
sehingga diperoleh 1
. i pq
q q
i pq
Kemudian baris kedua matriks
1 q
sehingga diperoleh
1 .
1 i pq
q i pq
q
Selanjutnya baris kedua dikurangi dengan baris pertama sehingga diperoleh
matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi 1
. i pq
q
Berdasarkan matriks eselon baris tereduksi tersebut diperoleh penyelesaian
1 2
i pq x
x q
1 2
i pq x
x q
misalkan
2
x t
, maka
1
i pq x
t q
, dapat ditulis sebagai berikut:
1 2
. 1
i pq x
t q
x
36
Jadi, vektor yang bersesuaian dengan
1
i pq
yaitu
1 2
. 1
x i pq
x
Sehingga terbukti bahwa banyaknya nilai eigen sama dengan vektor eigen. iii
Bukti dari kiri ke kanan Akan dibuktikan jika titik ekuilibrium
ˆ 0 x
tidak stabil, maka
i
e
untuk setiap
1, 2,..., k. i
Titik ekuilibrium ˆ 0
x dikatakan tidak stabil jika t , maka
, x t x akan menuju
. Karena
, x t x merpakan penyelesaian dari
sistem persamaan diferensial, maka
, x t x memuat
.
i
e t
e
Hal ini dapat dipenuhi bahwa
i
e
. Bukti dari kanan ke kiri
Akan dibuktikan jika
i
e
untuk setiap
1, 2,..., k i
, maka titik ekuilibrium
ˆ 0 x
tidak stabil. Jika
i
e
, maka saat nilai t
, berakibat
, x t x
sehingga titik ekilibrium tidak stabil.
Contoh 2.14
Diberikan matriks
1 3
1 2
A
Nilai eigen dari matriks A adalah
37
1 3
1 1
2 det
det 1
2 1
2 2
A I
1 2
4
2
6
2 3
1
2
dan
2
3
.
Jadi nilai eigen dari matriks A adalah
1
2
dan
2
3
.
I. Kriteria Routh-Hurwitz
Menentukan kestabilan diperlukan perhitungan untuk menentukan nilai eigen dari matriks jacobian, adapun salah satu cara untuk menentukan nilai eigen
tersebut yaitu menggunakan kriteria Routh-Hurwitz .
Definisi 2.12. Olsder Woude, 2004
Kriteria Routh-Hurwitz: Semua akar-akar dari polinomial 2.30 memiliki bagian real negatif jika dan
hanya jika tabel Routh-Hurwitz terdiri dari n+1 baris dan semua elemen kolom pertama pada tabel memiliki tanda yang sama semua elemen bertanda positif
atau negatif. Diberikan suatu persamaan karakteristik dari akar-akar persamaan matiks
nxn
A sebagai berikut:
1 2
1 2
1
...
n n
n n
n
A I
a a
a a
a
2.19
38
dengan ,
0,1, 2,...,
i
a i n
dan
a merupakan koefisien dari persamaan
karakteristik matrik A. Akar-akar dari Persamaan 2.30 dapat diketahui dengan menyusun tabel Routh sebagai berikut:
2 4
1 3
5 1
2 3
1 2
3
a a
a a
a a
b b
b c
c c
dengan , ,i 1, 2,..., n
i i
b c
didefinisikan sebagai berikut:
1 2 3
1 4 5
1 2 2
1 1
2 1
1 1
1 3 1 2
1 5 1 3
1 2 1
1 1
1 2
1 1
1
, ,
, ,
, ,
.
n n
n n
n n
a a a a
a a a a
a a a a
b b
b a
a a
b a a b
b a a b
b a a b
c c
c b
b b
2.20
Perhitungan dalam membentuk tabel Routh terus dilakukan sampai mendapatkan kolom pertama bernilai nol.
39
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis
Tuberculosis merupakan salah satu penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis. Penularan penyakit Tuberculosis paling
banyak dan paling mudah melalui udara, oleh karena itu organ yang pertama kali diserang adalah organ pernapasan. Selain menular penyakit tersebut juga bisa
menyebabkan kematian. Individu baru dapat masuk ke dalam populasi karena adanya kelahiran dan
individu dapat dikatakan keluar dari populasi karena kematian. Jumlah populasi adalah semua individu yang sehat atau rentan terhadap penyakit Tuberculosis,
individu yang terinfeksi Tuberculosis, dan individu yang telah sembuh setelah terinfeksi Tuberculosis. Individu yang rentan akan mengalami 2 kemungkinan,
yaitu akan meninggal ataupun akan terinfeksi Tuberculosis. Kemudian individu yang terinfeksi juga mengalami 2 kemungkinan, yaitu individu akan sembuh atau
individu akan meninggal. Model matematika pada penyebaran penyakit Tuberculosis, populasi
manusia terbagi menjadi 3 subpopulasi, yaitu individu yang rentan Susceptible, individu yang terinfeksi Tuberculosis Infectious, dan individu yang sembuh dari
penyakit Tuberculosis Recovered. Individu yang masuk ke dalam subpopulasi Susceptible adalah semua individu yang belum pernah menderita penyakit
Tuberculosis. Individu yang termasuk dalam subpopulasi Infectious adalah semua individu yang menderita Tuberculosis. Sedangkan individu yang termasuk dalam
