Titik Ekuilibrium Linearisasi LANDASAN TEORI

17 Contoh 2.7 Persamaan diferensial yang memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu: 3 3 4. dy x dt   Contoh 2.8 Persamaan diferensial yang memuat perkalian dari variabel tak bebas danatau turunan-turunannya: 1 1 2 1 3 . dx x x x dt   Contoh 2.9 Persamaan diferensial yang memuat fungsi transedental daari variabel tak bebas dan turunan-turunannya: 2 3 4. x dy e dt  

D. Titik Ekuilibrium

Definisi 2.6. Perko, 2001 Titik ˆx disebut titik ekuilibrium dari   x f x  jika   ˆ 0. f x  18 Contoh 2.10 Akan ditentukan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan 2.6. Misalkan Sistem 2.6 dapat dituliskan dalam bentuk   x f x  dengan   1 2 2 2 1 2 . x x x f x x x          Titik ekuilibrium   1 2 ˆ ˆ ˆ , x x x  dari Sistem 2.6 dapat diperoleh jika   ˆx f  , sehingga sistem tersebut menjadi 1 2 2 ˆ ˆ ˆ x x x     2 1 ˆ ˆ 1 0 x x   2 1 ˆ ˆ 0 dan 1. x x   Untuk 2 ˆ x  , maka 2 1 2 ˆ ˆ x x   1 ˆ 0 x  sehingga diperoleh titik ekuilibrium   0, 0 T . Untuk 1 ˆ 1 x  , maka 2 1 2 ˆ ˆ x x   2 2 ˆ 1 x   2 2 ˆ 1 x  2 ˆ 1 x  sehingga diperoleh titik ekuilibrium   1,1 T . 19 Jadi Sistem 2.6 mempunyai titik ekuilibrium   0, 0 T dan   1,1 T .

E. Linearisasi

Linearisasi merupakan suatu proses untuk mengubah sistem persamaan nonlinear menjadi sistem persamaan linear. Linearisasi dilakukan pada sistem persamaan nolinear yang bertujuan untuk mengetahui perilaku sistem disekitar titik ekuilibriumnya. Adapun syarat linearisari adalah bagian real akar karakteristiknya tidak nol. Diberikan sistem persamaan nonlinear sebagai berikut:   x=f x 2.7 dengan , : , n n x L f L    fungsi nonlinear dan kontinu. Lineariasi dapat menggunakan matriks Jacobian. Berikut adalah penjelasan mengenai matriks Jacobian: Teorema 2.1. Perko, 2001 Jika : n n f  terdiferensial di x maka diferensial parsial , , 1, 2,..., , i j f i j n x    di x ada untuk semua n x  dan     1 . n j j j f Df x x x x x      20 Bukti:                     1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 n n n n n j j j n n n n n f f f x x x x x x x x x f f f x x x x x x f x x x x x x f f f x x x x x x x x x                                                                                                               1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 n n n n n n n f f f x x x x x x x f f f x x x x x x x x f f f x x x x x x                                                        . Df x x  dengan   Df x disebut sebagai matriks Jacobian dari fungsi : n n f  yang terdiferensial pada n x  dan   Df x dapat dinotasikan   Jf x . Kemudian akan ditunjukkan proses linearisasi dari suatu sistem persamaan diferensial. Misalkan   1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., T n x x x x  adalah titik ekuilibrium Sistem 2.7 maka pendekatan linear untuk Sistem 2.7 diperoleh dengan menggunakan ekspansi Taylor disekitar titik ekuilibrium tersebut, sebagai berikut             1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., T T T T n n n n n n f n f f f x x x f x x x x x x x x x x x x x R x x                        2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., T T T T n n n n n n f n f f f x x x f x x x x x x x x x x x x x R x x            21 2.8             1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., , ,..., n T T T T n n n n n n n n n n f n f f f x x x f x x x x x x x x x x x x x R x x            selanjutnya dengan pendekatan linear untuk Sistem 2.8 adalah             1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., T T T n n n n n f n f f f x x x x x x x x x x x x x x x x R x x x                           2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., T T T n n n n n f n f f f x x x x x x x x x x x x x x x x R x x x               2.9             1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., n T T T n n n n n n n n n f n f f f x x x x x x x x x x x x x x x x R x x x               dengan 1 2 , ,..., n f f f R R R disebut sebagai bagian nonlinear yang selanjutnya dapat diabaikan karena nilainya mendekati nol, sehingga Sistem 2.9 dapat ditulis dalam bentuk matriks berikut               1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., T T n n n n T T n n n n n T n n n f f f x x x x x x x x x x x x x f f f x x x x x x x x x x x x x x f f x x x x x x x                                        1 1 2 2 1 2 ˆ ˆ . ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., n n T n n n n x x x x x x f x x x x x                                          2.10 Misalkan ˆ , 1, 2,..., s s s y x x s n    maka dari Sistem 2.10 diperoleh: 22               1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., T T n n n n T T n n n n n T n n n f f f x x x x x x x x x x x x x f f f x x x x x x x x x x x x x x f f x x x x x x x                                  1 2 1 2 . ˆ ˆ ˆ , ,..., n T n n n n y y y f x x x x x                                     2.11 Sistem 2.11 merupakan linearisasi Sistem 2.18, sehingga diperoleh matriks Jacobian dari Sistem 2.7, yaitu:                   1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,..., ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ,..., , ,..., , ,. T T n n n n T T n n n n T n n n n n n f f f x x x x x x x x x x x x f f f x x x x x x x x x x x x Jf x f f f x x x x x x x x x x x                      . ˆ .., T n x                       Contoh 2.11 Diberikan   1 2 2 2 1 2 x x x f x x x          pada titik   1,1 T x  . Akan dicari matriks Jacobian dari fungsi   f x sebagai berikut: 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 f f x x x x Df x f f x x                               maka 23   1 1,1 . 1 2 T Df         Jadi, matrik Jacobian dari sistem tersebut adalah   1 1,1 . 1 2 T Df        

F. Bilangan Reproduksi Dasar