17
Contoh 2.7
Persamaan diferensial yang memuat variabel tak bebas dan turunan-turunannya berpangkat selain satu:
3
3 4.
dy x
dt
Contoh 2.8
Persamaan diferensial yang memuat perkalian dari variabel tak bebas danatau turunan-turunannya:
1 1 2
1
3 . dx
x x x
dt
Contoh 2.9
Persamaan diferensial yang memuat fungsi transedental daari variabel tak bebas dan turunan-turunannya:
2
3 4.
x
dy e
dt
D. Titik Ekuilibrium
Definisi 2.6. Perko, 2001
Titik ˆx disebut titik ekuilibrium dari
x f x
jika
ˆ 0.
f x
18
Contoh 2.10
Akan ditentukan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan 2.6. Misalkan Sistem 2.6 dapat dituliskan dalam bentuk
x f x
dengan
1 2 2
2 1
2
. x x
x f x
x x
Titik
ekuilibrium
1 2
ˆ ˆ ˆ
, x
x x
dari Sistem 2.6 dapat diperoleh jika
ˆx f
, sehingga sistem tersebut menjadi
1 2 2
ˆ ˆ ˆ
x x x
2 1
ˆ ˆ 1 0 x
x
2 1
ˆ ˆ
0 dan 1.
x x
Untuk
2
ˆ x
, maka
2 1
2
ˆ ˆ x
x
1
ˆ 0 x
sehingga diperoleh titik ekuilibrium
0, 0
T
. Untuk
1
ˆ 1 x
, maka
2 1
2
ˆ ˆ x
x
2 2
ˆ 1
x
2 2
ˆ 1 x
2
ˆ 1 x
sehingga diperoleh titik ekuilibrium
1,1
T
.
19
Jadi Sistem 2.6 mempunyai titik ekuilibrium
0, 0
T
dan
1,1
T
.
E. Linearisasi
Linearisasi merupakan suatu proses untuk mengubah sistem persamaan nonlinear menjadi sistem persamaan linear. Linearisasi dilakukan pada sistem
persamaan nolinear yang bertujuan untuk mengetahui perilaku sistem disekitar titik ekuilibriumnya. Adapun syarat linearisari adalah bagian real akar
karakteristiknya tidak nol. Diberikan sistem persamaan nonlinear sebagai berikut:
x=f x 2.7
dengan , :
,
n n
x L
f L
fungsi nonlinear dan kontinu.
Lineariasi dapat menggunakan matriks Jacobian. Berikut adalah penjelasan mengenai matriks Jacobian:
Teorema 2.1. Perko, 2001
Jika :
n n
f
terdiferensial di x maka diferensial parsial
, , 1, 2,..., ,
i j
f i j
n x
di x ada untuk semua
n
x
dan
1
.
n j
j j
f Df x
x x
x x
20
Bukti:
1 1
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
1 1
2 1
2 n
n n
n n
j j
j n
n n
n n
f f
f x
x x
x x
x x
x x
f f
f x
x x
x x
x f
x x
x x
x x
f f
f x
x x
x x
x x
x x
1 1
1 1
2 1
2 2
2 2
1 2
1 2
n n
n n
n n
n
f f
f x
x x
x x
x x
f f
f x
x x
x x
x x
x f
f f
x x
x x
x x
. Df x
x
dengan
Df x disebut sebagai matriks Jacobian dari fungsi
:
n n
f
yang terdiferensial pada
n
x
dan
Df x dapat dinotasikan
Jf x .
Kemudian akan ditunjukkan proses linearisasi dari suatu sistem persamaan diferensial. Misalkan
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,...,
T n
x x x
x
adalah titik ekuilibrium Sistem 2.7 maka pendekatan linear untuk Sistem 2.7 diperoleh dengan menggunakan
ekspansi Taylor disekitar titik ekuilibrium tersebut, sebagai berikut
1
1 1
1 1
2 1
1 2
1 2
1 1
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
, ,...,
T T
T T
n n
n n
n n
f n
f f
f x x x
f x x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x
2
2 2
2 1
2 2
1 2
1 2
1 1
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
, ,...,
T T
T T
n n
n n
n n
f n
f f
f x x
x f
x x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x
21
2.8
1 2
1 2
1 2
1 1
1 2
1
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
, ,...,
n
T T
T T
n n
n n
n n
n n
n n
f n
f f
f x x
x f
x x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x
selanjutnya dengan pendekatan linear untuk Sistem 2.8 adalah
1
1 1
1 1
1 2
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,..., ,
,..., ,
,...,
T T
T n
n n
n n
f n
f f
f x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x x
2
2 2
2 2
1 2
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,..., ,
,..., ,
,...,
T T
T n
n n
n n
f n
f f
f x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x x
2.9
1 2
1 1
1 2
2 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ,
,..., ,
,..., ,
,...,
n
T T
T n
n n
n n
n n
n n
f n
f f
f x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x
R x
x x
dengan
1 2
, ,...,
n
f f
f
R R
R disebut sebagai bagian nonlinear yang selanjutnya dapat diabaikan karena nilainya mendekati nol, sehingga Sistem 2.9 dapat ditulis
dalam bentuk matriks berikut
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
T T
n n
n n
T T
n n
n n
n T
n n
n
f f
f x x
x x x
x x x
x x
x x
x f
f f
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x f
f x x
x x x
x x
1 1
2 2
1 2
ˆ ˆ
. ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
n n
T n
n n
n
x x
x x
x x
f x
x x x
x
2.10
Misalkan ˆ ,
1, 2,...,
s s
s
y x
x s n
maka dari Sistem 2.10 diperoleh:
22
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
T T
n n
n n
T T
n n
n n
n T
n n
n
f f
f x x
x x x
x x x
x x
x x
x f
f f
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x f
f x x
x x x
x x
1 2
1 2
. ˆ ˆ
ˆ ,
,...,
n T
n n
n n
y y
y f
x x x
x x
2.11
Sistem 2.11 merupakan linearisasi Sistem 2.18, sehingga diperoleh matriks Jacobian dari Sistem 2.7, yaitu:
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
, ,...,
, ,...,
, ,...,
ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ,
,..., ,
,..., ,
,.
T T
n n
n n
T T
n n
n n
T n
n n
n n
n
f f
f x x
x x x
x x x
x x
x x
f f
f x x
x x x
x x x
x x
x x
Jf x f
f f
x x x
x x x
x x x
x x
. ˆ
..,
T n
x
Contoh 2.11
Diberikan
1 2 2
2 1
2
x x x
f x x
x
pada titik
1,1
T
x
. Akan dicari matriks Jacobian
dari fungsi
f x sebagai berikut:
1 1
1 2
2 2
2 2
2 1
2
1 1
2 f
f x
x x
x Df
x f
f x
x
maka
23
1 1,1
. 1
2
T
Df
Jadi, matrik Jacobian dari sistem tersebut adalah
1 1,1
. 1
2
T
Df
F. Bilangan Reproduksi Dasar