23
1 1,1
. 1
2
T
Df
Jadi, matrik Jacobian dari sistem tersebut adalah
1 1,1
. 1
2
T
Df
F. Bilangan Reproduksi Dasar
R
Adapun definisi mengenai bilangan reproduksi dasar adalah sebagai berikut:
Definisi 2.7. Diekmann Heesterbeek, 2000
Bilangan reproduksi dasar
R merupakan jumlah rata-rata kasus individu
terinfeksi yang disebabkan oleh satu individu terinfeksi selama masa terinfeksinya dalam keseluruhan populasi rentan.
Jika 1
R maka penyakit hanya menginfeksi kurang dari satu individu
rentan sehingga kemungkinan penyakit akan hilang dari populasi. Jika 1
R
maka individu yang terinfeksi akan menginfeksi lebih dari satu individu yang rentan, sehingga individu yang terinfeksi dalam suatu populasi akan menularkan
penyakit tersebut dan penyakit akan menyebar dalam populasi dan jika 1
R
maka individu yang terinfeksi akan menularkan tepat kepada satu individu. Misalkan ada n kelas terinfeksi dan m kelas yang tidak terinfeksi rentan
serta
n
x
dan
m
y
adalah subpopulasi dari masing-masing kelas dan untuk
, n m
, sehingga:
x ,
,
i i
x y x y
, dengan
1, 2,..., i
n
24
y ,
j
x y
, dengan
1, 2,..., j
m
dengan
i
adalah laju individu baru yang terinfeksi yang menambah pada kelas terinfeksi, sedangkan
i
adalah laju perkembangan penyakit kematian, dan atau kesembuhan yang mengurangi populasi dari suatu kelas.
Perhitungan bilangan reproduksi dasar
R berdasarkan linierisasi dari
sistem persamaan diferensial yang didekati pada titik ekuilibrium bebas penyakit. Persamaan kompartemen terinfeksi yang telah dilinearisasi dapat dituliskan
sebagai berikut:
x x
F V
dengan F dan V adalah matriks berukuran n x n, dan
0,
i j
F y
u
dan
0,
i j
V y
u
.
Selanjutnya didefinisikan matriks K sebagai berikut:
1
K FV
dengan K disebut sebagai next generation matrix. Nilai harapan dari infeksi sekunder pada populasi rentan adalah eigen terbesar dari matriks K Driessche
Watmough, 2002 sehingga
1
. R
K FV
25
Contoh 2.12
Diberikan sistem persamaan diferensial berikut: dS
SI S
dt dI
SI I
I dt
dR I
R dt
2.12
dengan S menyatakan populasi individu sehat dan rentan pasa saat t, I menyatakan populasi terinfeksi pada saat t, dan R menyatakan yang sembuh pada saat t.
Sistem 2.12 mempunyai titik ekuilibrium bebas penyakit
1, 0, 0 E
.
Pada Sistem 2.12 kelas terinfeksi adalah I , sehingga diperoleh Next generation matrix dapat diperoleh dari kelas I, maka dapat dituliskan sebagai
berikut:
, ,
, ,
I S R I
S R I
dengan
SI
dan
, I
I
maka hasil linearisasi dari dan
masing-masing adalah
F S
dan
V
. Sehingga diperoleh Next generation matrix berikut:
1
1 .
S K
FV S
2.13
26
Kemudian substitusikan nilai titik ekuilibrium bebas penyakit
1, 0, 0 E
ke Persamaan 2.13 diperoleh:
K
maka diperoleh nilai R dari sistem 2.12 adalah
. R
G. Nilai Eigen