Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis Model Matematika Penyebaran Penyakit Tuberculosis

39

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN

A. Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis

Tuberculosis merupakan salah satu penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri Mycobacterium Tuberculosis. Penularan penyakit Tuberculosis paling banyak dan paling mudah melalui udara, oleh karena itu organ yang pertama kali diserang adalah organ pernapasan. Selain menular penyakit tersebut juga bisa menyebabkan kematian. Individu baru dapat masuk ke dalam populasi karena adanya kelahiran dan individu dapat dikatakan keluar dari populasi karena kematian. Jumlah populasi adalah semua individu yang sehat atau rentan terhadap penyakit Tuberculosis, individu yang terinfeksi Tuberculosis, dan individu yang telah sembuh setelah terinfeksi Tuberculosis. Individu yang rentan akan mengalami 2 kemungkinan, yaitu akan meninggal ataupun akan terinfeksi Tuberculosis. Kemudian individu yang terinfeksi juga mengalami 2 kemungkinan, yaitu individu akan sembuh atau individu akan meninggal. Model matematika pada penyebaran penyakit Tuberculosis, populasi manusia terbagi menjadi 3 subpopulasi, yaitu individu yang rentan Susceptible, individu yang terinfeksi Tuberculosis Infectious, dan individu yang sembuh dari penyakit Tuberculosis Recovered. Individu yang masuk ke dalam subpopulasi Susceptible adalah semua individu yang belum pernah menderita penyakit Tuberculosis. Individu yang termasuk dalam subpopulasi Infectious adalah semua individu yang menderita Tuberculosis. Sedangkan individu yang termasuk dalam 40 subpopulasi Recovered ialah semua individu yang benar-benar sudah sembuh dari penyakit Tuberculosis.

B. Model Matematika Penyebaran Penyakit Tuberculosis

Dalam menyederhanakan model matematika penyebaran penyakit Tuberculosis, diberikan asumsi-asumsi sebagai berikut : 1. Populasi penduduk bersifat tertutup yang artinya pertambahan atau pengurangan penduduk hanya dikarenakan oleh kelahiran dan kematian, sedangkan pertambahan dan pengurangan yang disebabkan oleh faktor lain diabaikan. 2. Populasi bersifat homogen yang artinya setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama untuk dapat terjangkit penyakit Tuberculosis. 3. Kematian yang disebabkan oleh faktor lain selain terinfeksi Tuberculosis dianggap sebagai kematian alami. 4. Individu yang belum terserang penyakit termasuk ke dalam kelas susceptible. 5. Individu pada kelas recovered tidak akan kembali lagi menjadi individu pada kelas infectious. 6. Terjadi kematian akibat terinfeksi Tuberculosis. Tabel 3.1. Variabel dan parameter yang digunakan dalam model Simbol Definisi Syarat   N t Jumlah populasi pada suatu daerah pada saat t. N  S t Banyaknya individu yang sehat dan rentan tehadap penyakit Tuberculosis pada saat t. S t  41 Susceptible I t Banyaknya individu yang terinfeksi dan dapat menularkan Tuberculosis kepada individu lain. Infectious I t  R t Banyaknya individu yang sembuh setelah terinfeksi Tuberculosis. Recovered R t   Laju kelahiran populasi.    Laju kematian alami.   t  Laju kematian yang disebabkan oleh penyakit Tuberculosis. t   b Laju penularan penyakit Tuberculosis. b  c Laju individu sembuh setelah terinfeksi Tuberculosis. c  Berdasarkan masalah-masalah yang diasumsikan dan parameter yang digunakan maka dapat dibuat skema pada penyebaran penyakit Tuberculosis seperti berikut : 42 Gambar 3.1. Diagram Alir Model Matematika Tuberculosis Berdasarkan diagram alir pada Gambar 3.1. akan dibentuk model SIR untuk penyebaran penyakit Tuberculosis adalah : a. Perubahan banyaknya individu susceptible terhadap waktu Pada populasi kelas susceptible   S terjadi pertambahan dan pengurangan jumlah individu. Pertambahan banyaknya individu pada kelas ini terjadi karena kelahiran individu    , sedangkan pengurangan banyaknya individu terjadi karena kematian alami individu per satuan waktu    . Oleh karena itu diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut : . dS I b S S dt N       3.1 b. Perubahan banyaknya individu yang terinfeksi infectious terhadap waktu Perubahan banyaknya individu kelas infectious dipengaruhi oleh bertambahnya individu yang terlular penyakit Tuberculosis dan berkurangnya individu karena kematian yang disebabkan oleh faktor lain per satuan waktu    serta kematian individu karena penyakit Tuberculosis per satuan waktu   t  . 43 Selain itu, berkurangnya individu pada kelas infectious juga dipengaruhi oleh individu yang sembuh setelah terjangkit penyakit Tuberculosis dengan laju c . Sehingga didapatkan persamaan diferensial sebagai berikut : = . t t dI I b S I I cI dt N I b S c I N            3.2 c. Perubahan banyaknya individu yang sembuh recovered terhadap waktu Individu pada kelas infectious yang telah sembuh dari penyakit Tuberculosis selanjutnya akan masuk ke dalam kelas recovered dengan laju kesembuhan c . Oleh karena itu, diperoleh persamaan diferensial sebagai berikut : . dR cI R dt    3.3 Berdasarkan deskripsi dari Persamaan 3.1, 3.2, dan 3.3 maka diperoleh sistem persamaan diferensial sebagai berikut : = t dS I b S S dt N dI I b S c I dt N dR cI R dt               3.4 dengan . N S I R    44

C. Analisis Model Penyebaran Penyakit Tuberculosis