48
.
t
b c
Substitusikan Persamaan 3.14 pada Persamaan 3.13 diperoleh :
b b
t t
t t
t
c c
c c
S c b
c c
.
t
c S
b
3.16
Berdasarkan Persamaan 3.14, 3.15, dan 3.16 diperoleh titik ekuilibrium sebagai berikut :
1
b b
, , ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
dengan syarat
t
b c
.
Jadi terbukti jika I
, maka Sistem Persamaan 3,4 memiliki titik ekuilibrium endemik :
1
b b
, , ,
, .
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
2. Bilangan Reproduksi Dasar
R
Bilangan reproduksi dasar
R adalah jumlah rata-rata dari kasus
sekunder yang disebabkan oleh individu yang terinfeksi selama masa terinfeksinya dalam suatu populasi individu rentan. Jika
1 R
penyakit tidak
49
menyerang populasi atau terbebas dari infeksi, namun jika 1
R maka setiap
penderita sangat mungkin untuk menyebarkan penyakit kepada lebih dari 1 penderita baru, sehingga dapat menyebabkan endemik.
Bilangan reproduksi dasar
R dapat ditentukan menggunakan metode next generation matrix dari Sistem Persamaan 3.4. Pada model matematika
tersebut, kelas terinfeksi adalah Infectious I sehingga persamaan diferensial yang digunakan sebagai berikut:
=
t
dI I
b S
c I dt
N
3.17
maka diperoleh:
dan = .
t
I b
S c I
N
Selanjutnya dan dilinearisasi, diperoleh hasil linierisasi sebagai berikut:
2
dan
t
bS bSI
F V
c N
N
Kemudian akan dicari
1
V
diperoleh:
1
1
t
V c
Next generation matrix diperoleh dari hasil perkalian
F
dan
1
V
sebagai berikut:
50
2 1
2
1 .
t t
bS bSI
bS bSI
N N
K FV
N N
c c
3.18
Pada awal kemunculan penyakit pada populasi, hampir semua individu rentan terhadap penyakit, sehingga
S pada Persamaan 3.18 dapat didekati dengan menggunakan titik ekuilibrium bebas penyakit. Sehingga langkah selanjutnya,
yaitu mensubstitusi
, , , 0, 0
E S I R
pada Persamaan 3.18, diperoleh:
t
b K
c
. 3.19
Dari Persamaan 3.19 diperoleh nilai eigen, yaitu
t
b c
. Sehingga bilangan
reproduksi dasar
R dari Sistem Persamaan 3.4 sebagai berikut:
t
b R
c
. 3.20
3. Analisis Kestabilan
Nilai eigen berfungsi untuk mencari kestabilan dari titik ekuilibrium pada sistem. Nilai eigen dapat ditentukan menggunakan matriks Jacobian
MJ untuk setiap titik ekuilbrium.
Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem Persamaan 3.4 disajikan dalam Teorema
3.2. dan Teorema 3.3. sebagai berikut :
51
Teorema 3.2.
a. Jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
stabil asimtotik lokal
b. Jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
tidak stabil
Bukti: Hasil linearisasi Sistem 3.4 akan diperoleh matriks Jacobian:
2 2
2 2
2 2
t
f f
f bI
bSI bs
bSI bSI
S I
R N
N N
N N
g g
g bI
bSI bs
bSI bSI
MJ c
S I
R N
N N
N N
h h
h c
S I
R
3.21
Substitusikan E
pada Persamaan 3.21 diperoleh:
1 ,0,0
t
b MJ
MJ b
c c
Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk
, yaitu:
1
det MJ
I
t
b b
c c
52
t
b c
Sehingga nilai eigen
untuk titik ekuilibrium E adalah:
1 2
3
, ,
t
b c
3.22
a. Akan ditunjukkan jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
stabil asimtotik lokal.
Jika 1
R maka :
1
t
b c
t
b c
t
b c
Oleh karena itu, Persamaan 3.22 semuanya bernilai negatif. Sehingga terbukti jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
stabil.
b. Akan ditunjukkan jika
1 R
maka titik ekuilibrium bebas penyakit
, , , 0, 0
E S I R
tidak stabil.
Jika 1
R maka :
t
b c
53
Jadi jika 1
R membuat Persamaan 3.22 tidak semuanya bernilai negatif
karena nilai
3
. Sehingga terbukti jika 1
R maka titik ekuilibrium bebas
penyakit
, , , 0, 0
E S I R
tidak stabil.
Teorema 3.3.
a. Jika
1 R
maka
titik ekuilibrium
1
b b
, , ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
tidak stabil
b. Jika
1 R
maka
titik ekuilibrium
1
b b
, , ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
stabil
asimtotik lokal.
Bukti: Substitusikan
1
E pada Persamaan 3.21 diperoleh:
2 b
b ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
b c b
c b
MJ MJ
2 2
2
, L
A MA L M
L M A
A A
L L M
L M MJ
A A
A c
54
dengan
, J
c
,
t
K b
,
t
L b
c
t
M c
,
dan
. A
b c
Selanjutnya akan dicari persamaan karakteristiknya untuk
, yaitu:
2
det MJ
I
2 2
L A
A MA L M
L M A
A A
L L M
A L M
A A
A c
.
Sehingga nilai eigen
untuk titik ekuilibrium
1
E adalah :
2
L A
L M A
L M A
A A
2
L MA
L M L M
A A
A
2
L A
L M A
L Mc
2
L MA
L M L Mc
2 3
2 2
3 2
L M
AL L
Mc AL M
2 2
2
A AL Mc
L MA
3 2
3 2
L M
L Mc
2 2
2 2
AL AL M
A
55
2
AL Mc L
MA
2 2
0. A
L L M
A L Mc
L M
Selanjutnya diperoleh:
1
3.23
dan
2 2
L L M
A L Mc
L M
2 2
2 2
L L
M L M
A A
L Mc L M
2 2
2 2
A L
L M A
L M
L Mc L
M
2
A L
L M
A L M L
c
2
A L b bJ
L M L K
L
2
A b
L J
L MK
2 t
A b
b L MK
3.24 Persamaan 3.24 dapat ditulis menjadi
2 1
2
a a
a
3.25 dengan
a A
1 t
a b
b
2
. a
L MK
56
Menurut kriteria Routh Hurwitz, semua nilai eigen Persamaan 3.25 bagian realnya bernilai negatif sehingga
0, a
1
0, a
dan
2
a . Berdasarkan
Persamaan 3.25, nilai a
A
sudah pasti bernilai positif karena
0. a
A b
c
Selanjutnya akan diselidiki
1
a dan
2
a harus bernilai positif, yaitu:
1
a
t
b b
t
b
3.26
dan
2
a
L MK
t t
t
b c
c b
t t
b c b
sehingga diperoleh
dan .
t t
b b
c
3.27 Bukti:
a. Akan dibuktikan bahwa Jika
1 R
maka titik ekuilibrium
1
b b
, , ,
,
t t
t t
t t
t
c c
c c
E S I R
b c b
c b
tidak
stabil
57
Berdasarkan Persamaan 2.20, untuk 1
R
diperoleh
1
t
b c
.
t
b c
3.28
Pada Persamaan 3.28 terlihat bahwa persamaan tersebut berlawanan dengan Persamaan 3.27, sehingga terbukti untuk
1 R
maka titik ekuilibrium
1
E tidak stabil.
b. Akan ditunjukkan bahwa titik ekuilibrium
1
E akan stabil asimtotik lokal jika
1 R
Berdasarkan Persamaan 3.20, untuk
1 R
diperoleh
1
t
b c
.
t
b c
3.29
Persamaan 3.29 sama dengan Persamaan 3.27 sehingga terbukti jika 1
R
maka titik ekuilibrium
1
E stabil asimtotik lokal.
D. Analisis Numerik Model SIR pada Penyebaran Penyakit Tuberculosis
