Das erweiterte MKT-Modell

3.3 Das erweiterte MKT-Modell

Im diesem Modell wird ein Stromterm δ(q, t) im Kern M(q, t) der Gl.(3.31) ber¨ucksichtigt, der die aktivierten Hopping-Prozesse beschreibt, die im idealisierten schematischen Modell ignoriert werden, und die zu einer Nicht-Ergodizit¨ats Brechung f¨uhren.

Statt der Gl.(3.48) im idealisierten Modell, die den K¨afigeffekt beschreibt, wird die La- placetranformierte der M(q, t) in diesem erweiterten Modell zu (G¨otze et.al. 1988 [?]):

Ω 2 q [iγ(q) + M MK (q, z)]

M(q, z) =

(1 − δ(q, z) (iγ(q) + M MK (q, z)))

wo δ(q, z) die Laplacetransformierte der generalisierten Polynomform von

X (1)

δ(q, t) =

W (q, k 1 )¨ Φ(k 1 , t) +

29 ist (G¨otze 1990 [?]). W (n) sind die nicht-negativen Kopplungskonstanten. Betrachten wir nur die zwei-Moden-N¨aherung, dann beinhaltet δ(q, t) nur den zweiten

3.3. DAS ERWEITERTE MKT-MODELL

Term der Gl(3.73),

δ(q, t) =

W (q, k 1 ,k 2 ) ˙Φ(k 1 , t) ˙Φ(k 2 , t) .

k 1 ,k 2

Als Folge dieser N¨aherung findet man, daß M(q, t) nun die Kopplung der Dichte- Fluktuationen zum aktivierten Hoppingprozeß durch den T -abh¨angigen Stromkern δ(q, t) beschreibt. Die Terme, die nicht explizit in Gl.(3.74) aufgef¨uhrt werden, beinhalten die Moden-Kopplung zu longitudinalen und transversalen Stromkorrelationsfunktionen.

Explizit wird dieser Term nach G¨otze und Sj¨ogren [?] folgendermaßen ausgedr¨uckt

δ(q, t) =

[W 1 (q, k 1 ,k 2 ) ˙Φ(k 1 , t) ˙Φ(k 2 , t) +

k 1 ,k 2

2 (q, k 1 ,k 2 ) Φ(k 1 , t) Φ L (k 2 , t) +

(3.75) wo Φ L (q, t), Φ T (q, t) die normierte longitidinale bzw. transversale Stromkorrelationsfunk-

W ′′ (q, k

1 ,k 2 ) ˙Φ(k 1 , t) Φ T (k 2 , t)] ,

tion bezeichnet. Die Ausdr¨ucke f¨ur Vertizes W ′ 1 ,W ′ 2 , und W ′′ kann man im Artikel von Sj¨ogren 1980 [?] finden.

Die Einf¨uhrung des δ(q, t)-Term beeinflußt die idealisierten Ergebnisse f¨ur T > T c nicht sehr stark, wohingegen er die Ergodizit¨at unterhalb von T c wiederherstellt, d.h, es gibt den α-Prozeß auch unterhalb von T c . Das bedeutet, wie man es f¨ur das M 13 -Modell gezeigt hat, daß Φ(t) f¨ur ausreichend langen Zeiten immer zu Null zerf¨allt [2]. Der v¨ollige strukturelle Arrest, der f¨ur ε ≥ 0 nach der Vorhersage der idealisierten Theorie stattfindet, wird durch Einschluß dieses Termes aufgehoben (Das et.al. 1986 [?]).

In dieser schematisch erweiterten MKT besitzt Φ(t) in der β-Relaxationsregion noch die Faktorisationseigenschaft der Gl.(3.54). Aber die Bewegungsgleichung f¨ur B(t) wird jetzt statt der Gl.(3.55) durch

ε − δt + λB (t) =

B(t − τ ) B(τ ) dτ

dt

30 KAPITEL 3. MODEN-KOPPLUNGS THEORIE Bisher stimmen die experimentellen Ergebnisse mit dem, den Hoppingprozeß einschlie-

ßenden, schematisch erweiterten Modell ¨uberein [?, ?]. Nach Kawasaki 1995 [?] besagt aber die Entwicklung dieser Theorie, daß die Memory-Funktion M(q, t) f¨ur eine Dichte- Fluktuation mit Wellenvektor q die Produkte der Korrelatoren von Fluktuationen f¨ur ver- schiedene q-Werte, den Diffusionskoeffizienten und den Viskosit¨atkoeffizienten einschließt.

Experimentelle Untersuchungen zeigen, daß auch in gut relaxierten Gl¨asern, insbeson- dere auch in metallischen Gl¨asern, Diffusionsprozesse stattfinden. Dies widerspricht der Annahme eines ideal arretierten Zustandes als Langzeit-Grenzwert.

Deshalb modifiziert man die Theorie, indem man die atomare Diffusion in die Memory- Funktion M(t) einbezieht, d.h., die Moden-Kopplungen zu transversalen Str¨omen ber¨uck- sichtigt. So ergibt sich f¨ur den Kern M(z) die folgende Gleichung :

M(z) = MS(z) +

M 0 (z)

MS(z) modelliert die Kopplung zu den transversalen Str¨omen. Dieses Modell f¨uhrt auch unterhalb von T c zum endg¨ultigen Zerfall der strukturellen Fluktuationen. Dies f¨uhrt zu einem der Grundprobleme in der Klassifizierung der L¨osungen, da es unter diesen Bedin- gungen f¨ur eine gegebene L¨osung der MKT-Gleichung (3.31) nicht offensichtlich ist, ob

sie zur Region oberhalb oder unterhalb der kritischen Temperatur T c geh¨ort. M 0 (t) in Gl.(3.77) beschreibt die Korrelationsfunktion der Zufallskr¨afte oder den Kern der Bewe- gungsgleichung von Φ(t) wie im schematischen idealisierten MKT-Modell (s. Gl.(3.48)). Von Teichler 1995 [?] wird die Gl.(3.48) modifiziert:

(3.78) wo h(t) einen momentanen viskosen D¨ampfungterm bezeichnet. Nach Einsetzen Gl.(3.78)

2 M MK

0 (z) = LT {h(t) + Ω M

(Φ(t))} z ,

in Gl.(3.38) gilt die folgende Gleichung

(3.79) Dabei ist M app (Φ(t)) eine scheinbare Memory-Funktion, die einen atomaren Diffusions-

h(t) + M −1

app (Φ(t)) = LT

{M(z)} t .

term enth¨alt. Hier ist LT die Laplace-Transformation, LT −1 ihre Inverse. Nach Teichler [?] kann h(t) durch die folgende Form

h(t) = a Re{exp(−bt + iΩt + iψ)}