Kollektive Dynamik

4.2.2 Kollektive Dynamik

Um die gesamte Information ¨uber die Dynamik des Systems zu erhalten, reicht es nicht, nur die atomare Dynamik zu betrachten. Das ist klar, da in einem N-Teilchen-System die Teilchen sich nicht unabh¨angig voneinander bewegen, sondern wegen der Wechselwir- kung der Teilchen die Bewegungen miteinander korreliert sind. Deshalb ist es wichtig, die kollektive Dynamik zu betrachten. Um diese kolletive Dynamik analysieren zu k¨onnen, definiert man Vielteilchen Korrelationsfunktion, zu denen u.a. die vollst¨andige Van-Hove- Korrelationsfunktion und die Strom-Strom Korrelationsfunktion (SSKF) geh¨oren.

4.2.2.1 Die vollst¨ andige Van Hove-Korrelationsfunktion Man definiert in Verallgemeinerung von Gleichung (4.16) die vollst¨andige Van Hove-

Korrelationsfunktion f¨ur bin¨are Legierungen

G αβ (r, t) =

hδ(− → r − |− → r i (t) − − r → j (0)|i

N α i=1 j=1 N 1 α X

hδ(− → r − |− → r i (t) − − → r i (0)|i +

N α i=1

hδ(− → r − |− → r i (t) − − → r j (0)|i . (4.30)

N α i=1 j=1,j6=i

Sie gibt die Wahrscheinlichkeit daf¨ur an, irgendein Teilchen zur Zeit t bei − → r zu finden, wenn sich zur Zeit t = 0 irgendein Teilchen im Koordinatenursprung befand.

Der erste Term von Gleichung (4.30) ist mit der fr¨uher definierten Selbstkorrelationsfunk- tion G sα (r, t) identisch. Den zweiten Term bezeichnet man mit G dαβ (r, t), wobei der Index

d f¨ur distinct steht. Dieser Fremdteil beschreibt die mittlere Umgebung der Atome. Das r¨aumliche Integral ¨uber diesen Teil hat den Wert (N − 1), da sich außer dem gew¨ahlten

54 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS Die Auswertungen aus den Trajektorien f¨ur die Funktion G dαβ (r, t)/ρ werden in den fol-

genden Abbildungen (4.23)-(4.28) gezeigt. Betrachtet man G dN i−N i (r, t)/ρ in der Abbil- dungen (4.23) und (4.24), sieht man, daß das erste Maximum, welches der Position der n¨achsten Nachbaratome entspricht, im Laufe der Zeit verschwindet. Bei T = 1200 K und t = 3 ps verkleinert sich das erste Maximum, und es erscheint ein zus¨atzliches Maximum in der N¨ahe der r = 0. Wir interpretieren dieses zus¨atzliche Maximum so, daß f¨ur den Fall der Ni-Ni-Korrelationen die Hoppingprozesse bei diesen Temperaturen von Bedeutung sind. Bei niedrigeren Temperaturen finden die Hoppingprozesse erst nach l¨angeren Zeiten statt. Dies deutet an, daß die Hoppingprozesse f¨ur die Langzeit-Dynamik der Ni-Atome wichtig sind.

Betrachtet man nun G d−Zr−Zr (r, t)/ρ in der Abbildungen () und (), sieht man, daß das er- ste Maximum im Vergleich zu dem f¨ur die Ni-Ni-Korrelation viel langsamer verschwindet. Hier ist die langsamere Dynamik der Zr-Atome verglichen mit den Ni-Atomen deutlich zu sehen. Dar¨uberhinaus sieht man in dem betrachteten Zeitfenster (0 ≤ t ≤ 2,5 ns) keine wesentlichen Hoppingprozesse, bis auf ein sehr kleines Maximum in der N¨ahe von r = 0 bei Temperaturen von 950 K, 900 K, und 800 K. Das bedeutet, daß die Hoppingprozesse in der hier zug¨anglichen Langzeit-Dynamik der Zr-Atome nicht von Bedeutung sind.

Betrachtet man die Ni-Zr-Korrelationen, so ist das Verhalten der G d−N i−Zr (r, t)/ρ- Funktionen dem der G d−Zr−Zr (r, t)/ρ-Funktionen sehr ¨ahnlich. Der Unterschied zwischen beiden ist, daß das erste Maximum der G d−N i−Zr (r, t)/ρ-Funktionen ein bißchen schneller verschwindet.

Die Fouriertransformierte der vollst¨andigen Van Hove-Korrelationsfunktion

(4.31) wird als koh¨arente Streufunktion bezeichnet, deren Spektraldichte, definiert durch

1 −iωt

wird dynamische Strukturfunktion gennant. Die normierten koh¨arenten Streufunktionen werden in den Abbildungen (4.29)-(4.35)

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

950 K

1000 K

0 0 (r,t d 2

10 K

1200 K

r (Angstrom)

Abb. 4.23: Ni-Ni G d (r, t)/ρ. Die Zeiten t sind beim zweiten Maximum v.o.n.u. bei 950 K:

0 (Linien), 3,75 ps, 250 ps, 500 ps, und 2,5 ns; 1000 K: 0 (Linien), 3 ps, 125 ps, und 2,5

56 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS

600 K

700 K

0 0 ( r,t d 2

800 K

900 K

r (Angstrom)

Abb. 4.24: Ni-Ni G d (r, t)/ρ. Die Zeiten t sind beim zweiten Maximum v.o.n.u. bei 600 K:

0 (Linien) und 2,5 ns; 700 K: 0 (Linien) und 2,5 ns; 800 K: 0 (Linien), 3 ps, 250 ps, 500 ps,und 2,5 ns; 900 K: 0 (Linien), 3 ps, 250 ps, 500 ps, und 2,5 ns.

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

950 K

1000 K

0 0 (r,t d 4

10 K

1200 K

r (Angstrom)

Abb. 4.25: Zr-Zr G d (r, t)/ρ. Die Zeiten t sind beim ersten Maximum v.o.n.u. bei 950 K:

0 (Linien), 3,75 ps, 250 ps, 500 ps, und 2,5 ns; 1000 K: 0 (Linien), 3 ps, 125 ps, und 2,5 ns; 10 K: 0 (Linien), 3,75 ps, 125 ps, und 2,5 ns; 1200 K: 0 (Linien), 3 ps, 125 ps, und 2,5 ns.

58 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS

600 K

700 K

0 0 ( r,t d 4

800 K

900 K

r (Angstrom)

Abb. 4.26: Zr-Zr G d (r, t)/ρ. Die Zeiten t sind beim ersten Maximum v.o.n.u. bei 600 K:

0 (Linien) und 2,5 ns; 700 K: 0 (Linien) und 2,5 ns; 800 K: 0 (Linien), 3 ps, 250 ps, 500 ps,und 2,5 ns; 900 K: 0 (Linien), 3 ps, 250 ps, 500 ps, und 2,5 ns.

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

950 K

1000 K

0 0 (r,t d 4

10 K

1200 K

r (Angstrom)

Abb. 4.27: Ni-Zr G d (r, t)/ρ. Die Zeiten t sind beim ersten Maximum v.o.n.u. bei 950 K:

0 (Linien), 3,75 ps, 250 ps, 500 ps, und 2,5 ns; 1000 K: 0 (Linien), 3 ps, 125 ps, und 2,5 ns; 10 K: 0 (Linien), 3,75 ps, 125 ps, und 2,5 ns; 1200 K: 0 (Linien), 3 ps, 125 ps, und 2,5 ns.

60 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS

600 K

700 K

0 0 ( r,t d 4

800 K

900 K

r (Angstrom)

Abb. 4.28: Ni-Zr G d (r, t)/ρ. Die Zeiten t sind beim ersten Maximum v.o.n.u. bei 600 K:

0 (Linien) und 2,5 ns; 700 K: 0 (Linien) und 2,5 ns; 800 K: 0 (Linien), 3 ps, 250 ps, 500 ps,und 2,5 ns; 900 K: 0 (Linien), 3 ps, 250 ps, 500 ps, und 2,5 ns.

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

0.8 q2

) 0.6 q,t (

0.4 q15

Ni−Ni

Ni−Ni

0.2 1500 K

t (s)

Abb. 4.29: Normierte koh¨arente Streufunktion Φ N i−N i (q, t) bei 1500 K f¨ur verschiedene q-Werte.

q4

q5 q6 q7

q8

q,t ( q10

q11

Φ q12

Ni−Zr 0.4

q13

Ni−Zr

0.2 1500 K

t (s)

62 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS

q1 q2 q3

) q9 q,t (

Φ Ni−Zr

Ni−Zr 1500 K

t (s)

Abb. 4.31: Normierte koh¨arente Streufunktion Φ N i−Zr (q, t) bei 1500 K f¨ur verschiedene q-Werte.

q6

q7 q8

) q9

q10

q,t (

q11 q12

Φ q13

Zr−Zr 0.4

q14

Zr−Zr

q15

0.2 1500 K

t (s)

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

Zr−Zr

2 q4

q5

q,t ( Φ Zr−Zr

t (s)

Abb. 4.33: Normierte koh¨arente Streufunktion Φ Zr−Zr (q, t) bei 1500 K f¨ur verschiedene q-Werte.

) ,t 0.6 9 q (

NiNi Φ 0.4

t (s)

64 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS

,t 9 ( q

ZrZr 0.4

t (s)

Abb. 4.35: Wie in Abb.() aber f¨ur Φ Zr−Zr (q 9 , t).

normierten koh¨arenten Streufunktionen Φ N i−Zr (q, t) und Φ Zr−Zr (q, t) ist dagegegen an- ders. In beiden Streufunktionen gibt es keine monotone Abh¨angigkeit wie im Fall der

Ni-Ni-Streufunktion. Die koh¨arente Streufunktion Φ N i−Zr (q, t) f¨ur q 1 ,q 2 und q 9 w¨achst bei einem bestimmten Zeitfenster auf einen Wert gr¨oßer als 1, erreicht ein Maximum und zerf¨allt schließlich. F¨ur q 1 und q 2 zerfallen außerdem die normierten Streufunktionen Φ Zr−Zr (q, t) nicht, sondern wachsen mit zunehmende Zeit auf Werte gr¨oßer als 1 an. Die Ursache daf¨ur ist noch unverstanden.

Betrachtet man die normierte koh¨arente Streufunktion Φ N i−N i (q 9 , t) und Φ Zr−Zr (q 9 , t) bei q 9 , die in den Abbildungen (4.34) und (4.35) aufgetragen sind, so ist das Verhalten der normierten koh¨arenten Streufunktion Φ N i−N i (q 9 , t) und Φ Zr−Zr (q 9 , t) bei q 9 dem der in- koh¨arenten Streufunktion sehr ¨ahnlich in dem Sinne, daß sie bei niedrigen Temperaturen ein Plateau zeigen. Die Region der Plateaus vergr¨oßert sich mit Abnahme der Temperatur, und die Plateaus zerfallen schließlich bei einer sp¨ateren Zeit wegen eines noch stattfinden- den Materietransports im Sinne von Diffusionsvorg¨angen. Der Unterschied zwischen der normierten koh¨arenten und inkoh¨arenten Streufunktion ist, daß die H¨ohe der Plateaus

65 funktion Φ s

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

N i−N i (q 9 , t) ist kleiner als die der inkoh¨arenten Streufunktion Φ Ni (q 9 , t). Die Ursache dieser geringeren H¨ohe der Plateaus bei q 9 ist, daß der Fremdteil der koh¨arenten Streufunktion Φ N i−N i (q 9 , t) bei dem Zeitfenster, wo die Plateaues liegen, einen negativen Wert hat, dessen Betrag kleiner als der Betrag der inkoh¨arenten Streufunktion Φ s Ni (q 9 , t) ist. Bei Zeiten, die gr¨oßer als die Zeit der letzten Plateau-Zeitfenster sind, hat der Fremd- teil der koh¨arenten Streufunktion Φ N i−N i (q 9 , t) einen Wert von etwa 0. Deshalb hat der letzte Zerfall der normierten koh¨arenten Streufunktion Φ N i−N i (q 9 , t) fast die gleiche Re- laxationszeit, wie die des letzten Zerfalls der inkoh¨arenten Streufunktion Φ s Ni (q 9 , t). Dies deutet an, daß der Beitrag der Selbstteil-Streufunktionen Φ s Ni (q 9 , t) zu der koh¨arenten Streufunktion Φ N i−N i (q 9 , t) dominant ist im Vergleich zu dem des Fremdteils.

4.2.2.2 Strom-Strom-Korrelationsfunktion (SSKF) Die Strom-Strom Korrelationsfunktion (SSKF) wird f¨ur ein bin¨ares System definiert durch

C αβ (~r, t) = p

~v iα (0)δ(~r − ~r iα (0))

~v j β (t)δ(~r − ~r j β (t)) , (4.33)

~v j β (t)δ(~r − ~r j β (t)) = ~j β (~r, t)

j β =1

die Teilchenstromdichte der β-Komponente am Ort ~r und zur Zeit t ist. Die Fourier- Tranformierte der SSKF ist

+ q 2 X i~ q·~ r iα (0) X i~ q·~ r jβ (t)

C αβ (~q, t) = p

Wegen der Isotropie des Systems kann diese Funktion nur vom Betrag des Wellenvektors ~q, nicht aber von dessen Richtung abh¨angen. F¨ur einen gegebenen Wellenvektor ~q kann man die SSKF in zwei Komponenten zerlegen, indem man die Geschwindigkeiten v i α (0) bzw. v j β (t) in der Gl.(4.35) einmal auf die Richtung von ~q, und einmal auf die Normalebene zu ~q projiziert. Legen wir den Wellenvektor ~q beispielsweise in die ~z-Achse, so daß ~q = (0, 0, q), dann ist

66 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS die longitudinale Storm-Strom-Korrelationsfunktion und

v j β (t) exp (4.37)

N α N β i α =1

j β =1

die transversale Storm-Strom-Korrelationsfunktion. Die Abbildungen (4.36)-(4.43) zeigen unsere MD-Ergebnisse der Strom-Strom Korrela-

tionsfunktion. In Abb. (4.36), erkennt man , daß der Verlauf der longitudinalen SSKF

C L−N i−N i (q, t)/C L−N i−N i (q, 0) bei 1500 K f¨ur q 1 keine Periodizit¨at zeigt. F¨ur q > q 1 zeigt der Verlauf eine periodische Oszillation. Diese periodische Oszillation verschwindet mit der Zunahme der q-Werte. Bei C L−Zr−Zr (q, t)/C L−Zr−Zr (q, 0) ist die harmonische Oszilla-

tion f¨ur q < q 6 sehr stark. Mit der Zunahme der q-Werte verst¨arkt sich die Anharmonizit¨at und das Abklingen der Oszillationen wird schneller. Im Vergleich zu der f¨ur Ni-Ni ist die- ses Abklingen langsamer. Betrachtet man die Abbildungen (4.38)-(4.39), so erkennt man, daß der Verlauf der C T −N i−N i (q, t)/C T −N i−N i (q, 0) dem von C L−N i−N i (q, t)/C L−N i−N i (q, 0) ¨ahnlich ist. Bei der C T −Zr−Zr (q, t)/C T −Zr−Zr (q, 0) sieht der Verlauf im Vergleich zu dem der C L−Zr−Zr (q, t)/C L−Zr−Zr (q, 0) in dem Sinne anders aus, daß die Oszillationen f¨u q < q 6 nicht so deutlich in Erscheinung treten. Die Anharmonizit¨at ist st¨arker und das Abklin-

gen ist schneller. Ein interessanter Teilverlauf der C T −Zr−Zr (q, t)/C T −Zr−Zr (q, 0) bei q 1 ist zu sehen: es wird eine schwache Oszillation bei 0.2 ps beobachtet. Diese Oszillation wird bei der MD-Simulation Ni 67 Zr 33 von Aihara et.al. [?] auch beobachtet. In den Abbildun- gen (4.40)-(4.43) stellen wir die Temperatur-Abh¨angigkeit der SSKF dar. Der Verlauf der SSKF ist von den betrachteten Temperaturen nicht stark abh¨angig. Die Tiefe der Mini- ma und die H¨ohe der Maxima vergr¨oßert sich mit der Abnahme der Temperaturen nur wenig. Dieser Verlauf ist das typische Verhalten einer unterk¨uhlten Fl¨ussigkeit. ¨ Ahnliche Ergebnisse kann man auch bei Aihara et.al. [?] finden.

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

q1

q4

q2

q5

0.5 q3

q6

( q, −0.5 −0.5

L−Ni−Ni

C )/

q7

q10

( q,t

q8

q15

0.5 q9

q20 0.5

L−Ni−Ni

t (ps)

Abb. 4.36: C L−N i−N i (q, t)/C L−N i−N i (q, 0) bei 1500 K f¨ur verschiedene q-Werte.

68 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS

q1

q4

0.5 q2

q5

q3

q6

( q, −1.0 −1.0

L−Zr−Zr

C )/

q7

q10

q,t (

0.5 q8

q15 0.5

q9

q20

L−Zr−Zr

C 0.0

t (ps)

Abb. 4.37: C L−Zr−Zr (q, t)/C L−Zr−Zr (q, 0) bei 1500 K f¨ur verschiedene q-Werte.

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

q1

q4

q2

q5

0.5 q3

q6

( q, −0.5 −0.5

T−Ni−Ni

C )/

q7

q10

( q,t

q8

q15

0.5 q9

q20 0.5

T−Ni−Ni

t (ps)

Abb. 4.38: C T −N I−N i (q, t)/C T −N i−N i (q, 0) bei 1500 K f¨ur verschiedene q-Werte.

70 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS

q1

q4

q2

q5

0.5 q3

q6

( q, −0.5 −0.5

T−Zr−Zr

C )/

q7

q10

( q,t

q8

q15

0.5 q9

q20 0.5

T−Zr−Zr

t (ps)

Abb. 4.39: C T −Zr−Zr (q, t)/C T −Zr−Zr (q, 0) bei 1500 K f¨ur verschiedene q-Werte.

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

1 q1

800 K

q3

800 K

10 K

10 K

0.5 1500 K

1500 K 0.5

q, ( −0.5 −0.5

L−Ni−Ni

C )/

q6

800 K

q9

800 K

q,t (

10 K

10 K

0.5 1500 K

1500 K 0.5

L−Ni−Ni

t (ps)

Abb. 4.40: C L−N i−N i (q, t)/C L−N i−N i (q, 0) f¨ur verschiedene q-Werte und Temperaturen.

72 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS

q1

q3

0) q, (

L−Zr−Zr

C )/

q6

q9

q,t (

L−Zr−Zr

t (ps)

Abb. 4.41: C L−Zr−Zr (q, t)/C L−Zr−Zr (q, 0) f¨ur verschiedene q-Werte ; Temperaturen wie in Abb.()

4.2. DYNAMISCHE EIGENSCHAFTEN

q1

q3

0) q, (

T−Ni−Ni

C )/

q6

q9

( q,t

T−Ni−Ni

t (ps)

Abb. 4.42: C T −N i−N i (q, t)/C T −N i−N i (q, 0) f¨ur verschiedene q-Werte ; Temperaturen wie in Abb.().

74 KAPITEL 4. EIGENSCHAFTEN DES SYSTEMS

q1

q3

0) q, (

T−Zr−Zr

C )/

q6

q9

( q,t

T−Zr−Zr

t (ps)

Abb. 4.43: C T −Zr−Zr (q, t)/C T −Zr−Zr (q, 0) f¨ur verschiedene q-Werte ; Temperaturen wie in Abb.().