Pengertian Turunan
1. Pengertian Turunan
Tentu kalian tahu bahwa biaya marjinal adalah biaya tambahan yang dikeluarkan untuk menghasilkan satu unit tambahan produk. Pengertian biaya marjinal telah kalian pelajari di mata pelajaran Ekonomi. Jika fungsi biaya adalah C = f(Q); C adalah biaya total dan Q unit produk maka biaya marjinalnya
(dilambangkan M C ) sebesar
. Secara matematis dapat
dituliskan dengan M C =
Misalkan diberikan fungsi biaya total C = f(Q). Besar perubahan biaya total per unit dari jumlah produk sebesar Q menjadi Q + h adalah f(Q + h) – f(Q).
6 C fQ ( + h ) < fQ ()
Dengan demikian, M C =
( Q + h ) < Q fQ ( + h ) < fQ ()
h Untuk h kecil maka M C dapat ditentukan sebagai berikut.
fQ ( + h ) < fQ ()
M C = h lim
202 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
fQ ( + h ) < fQ () Bentuk limit lim h dapat ditulis sebagai f '(Q). A 0 h
fQ ( + h ) < fQ ()
Jadi, f '(Q) = h lim
f ' adalah simbol untuk turunan fungsi f. Sesuai dengan konsep di atas, dapat didefinisikan turunan fungsi sebagai berikut.
Diberikan fungsi y = f(x), turunan fungsi f adalah fungsi f '
fc ( + h ) < fc ()
yang nilainya di titik c adalah f '(c) = lim h A 0
Sumber: www.cygo.com
h G.W. Leibniz (1646–1716)
jika nilai limit ini ada.
Gambar 5.1
Jika nilai limit tersebut ada maka dikatakan bahwa f dife- rensiabel (dapat diturunkan) di titik c. Selanjutnya, untuk menentukan f '(x) kita pandang x sebagai suatu bilangan sembarang sehingga diperoleh turunan dari fungsi y = f(x) adalah
fx ( + h ) < fx ()
f '(x) = h lim A 0 jika nilai limit ini ada. h
Selain notasi f '(x) di atas, turunan fungsi f(x) dapat ditulis
df dy
dengan notasi
(dibaca df dx) atau
(dibaca dy dx yang
dx
dx
arti harfiahnya adalah turunannya y ke x). Notasi ini disebut notasi Leibniz karena dikemukakan pertama kali oleh seorang matematikawan Jerman bernama Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).
Tugas Eksplorasi
Kerjakan di buku tugas
fc ( + h ) < fc ()
Misalkan x = c + h, selidiki bahwa f '(c) = lim h
fx () < fc ()
f '(c) = lim x A c x < c
Contoh:
1. Tentukan turunan fungsi f(x) = 2x 2 + x – 1.
Penyelesaian:
fx ( + h ) < fx ()
f '(x) = h lim A 0
2 ( 2 2 ( x+h ) + x +h ( ) < 1 ) < ( 2 x+x < 1 )
= h lim A 0
Turunan 203
2 2 ( 2 2 ( x + xh+h +x+h x 2 ) < 1 ) < 2 < x+ 1
= lim h A 0
( 2 4 xh + h + h 2 )
= lim h A 0 h
= lim h ( 4 x+ h+ 2 1 )
h A 0 h = lim h (4x + 2h + 1)
= 4x + 1
2. Tentukan turunan fungsi f(x) = x 2 + 2x + 3 di x = 4.
Penyelesaian:
fx ( + h ) < fx ()
f '(x) = lim h A 0 h
= 2x + 2 Jadi, f '(4) = 2(4) + 2 = 6.
Kegiatan
Kerjakan di buku tugas
Tujuan: Menyelidiki eksistensi (keberadaan) nilai turunan suatu fungsi di suatu titik.
Permasalahan: Bagaimana eksistensi (keberadaan) nilai turunan suatu fungsi di suatu titik?
Langkah-Langkah: ¨ 2 x + 1 , x < 2
1. Gambarlah grafik fungsi fx () = ©
2. Tentukan nilai turunan fungsi tersebut di titik x = 2 dengan fx () < fc ()
menggunakan rumus fc '() = lim x
untuk c = 2. A c x < c
204 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
fx () < f () 2
Terlebih dahulu hitunglah lim
dan
fx () < f () 2 lim
x < 2 Kesimpulan: fx () < f () 2
untuk c = 2 atau f’(2)
x A c x < c fx () < f () 2
= lim x
tidak ada sebab
Jadi, fungsi di atas tidak mempunyai turunan di titik x = 2. Sehubungan dengan hasil ini perhatikan grafik fungsi di titik tersebut yang telah kalian gambar.
Uji Kompetensi 1
Kerjakan di buku tugas
fx ( + h ) < fx ()
1. Dengan menggunakan rumus f '(x) = lim h A 0 , tentukan turunan fungsi
2. Tentukan turunan fungsi berikut di x = a.
a. f (x) = 4x – 5 untuk a = 4
d. f (x) = 5x 2 + 6x – 9 untuk a = 2,5
b. f (x) = 3x 2 – 2x + 8 untuk a = 2
e. f (x) = x 3 + 5 untuk a = 6
c. f (x) = –4x 2 + 6 untuk a = 3,25
f. f (x) = 2x 3 + 2x 2 + x – 5 untuk a = 1
fx () < fc ()
3. Dengan menggunakan rumus fc '() = lim
, tentukan turunan fungsi-
fungsi di titik yang diberikan. Bandingkan hasilnya dengan menggunakan rumus
fc ( + h ) < fc ()
f '(c) = h lim
a. f (x) = 2 – 2x di x = 2
d. f (x) = (3 – 2x) 2 di x = –1
b. f (x) = x – 1 di x = 3
e. f (x) = x 2 – 2x + 1 di x = –1
c. f (x) = 2x 2 di x = 0,2
Turunan 205
4. Tentukan biaya marjinal jika diketahui rumus fungsi biaya total (C) dalam Q (unit) berikut.