Nilai Stasioner
3. Nilai Stasioner
a. Pengertian Nilai Stasioner dan Titik Stasioner
Tes Mandiri
Misalkan terdapat sebuah kurva dengan persamaan
Kerjakan di buku tugas
y = f(x) dan gradien garis singgung kurva itu di titik (a,
Fungsi f(x) = x 3 – 3x 2 –
f (a)) dapat dinyatakan sebagai turunan fungsi di x = a atau
9x + 5 mencapai .... a. maksimum di (0, 5)
f '(a). Grafik beberapa macam bentuk kurva y = f(x), antara
b. maksimum di
lain terlihat seperti pada Gambar 5.8.
(3, –22) c. minimum di
(–1, 10) d. minimum di (–3, 22)
f (x)
e. minimum di (3, –22)
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2004
Gambar 5.8
Pada Gambar 5.8 arah garis singgung di titik (a 1 , f(a 1 )), (a 2 , f(a 2 )), (a 3 , f(a 3 )), dan (a 4 , f(a 4 )) sejajar sumbu X. Oleh karena itu, gradien garis singgungnya bernilai nol sehingga
f '(a 1 ) = 0, f '(a 2 ) = 0, f '(a 3 ) = 0 dan f '(a 4 ) = 0. Titik-titik ini disebut titik stasioner, yaitu suatu titik pada kurva di mana gradien garis singgung kurva di titik tersebut bernilai nol. Nilai fungsi f di titik itu dinamakan nilai stasioner.
b. Jenis-Jenis Titik Stasioner
Jenis-jenis titik stasioner dapat kita tentukan dengan me- merhatikan tanda dari f '(x). Perhatikan kembali Gambar 5.8.
1) Untuk x < a 1 , nilai f '(x) negatif; untuk x = a 1 , nilai f '(a 1 ) = 0; sedangkan untuk x > a 1 , nilai f '(x) positif.
Karena nilai f '(x) berubah tanda dari negatif ke nol,
--- 0 +++
f (x)
a 1 kemudian ke positif, dalam garis bilangan hal ini dapat
Gambar 5.9
digambarkan seperti gambar di samping. Ingat, tanda 0 di atas garis bilangan bukan menunjuk- kan nilai suatu bilangan, tetapi hanya tanda arah
222 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
gradien. Pada keadaan ini, titik (a 1 , f(a 1 )) disebut titik balik minimum , sedangkan nilai f(a 1 ) disebut
nilai balik minimum atau harga minimum.
2) Untuk x < a 2 , nilai f '(x) positif; untuk x = a 2 , nilai
f '(a 2 ) = 0; sedangkan untuk x > a 2 , nilai f '(x)
negatif. Karena nilai f '(x) berubah tanda dari positif ke nol, kemudian ke negatif, dalam garis bilangan hal ini dapat digambarkan seperti gambar di samping.
+++ 0 --- f (x)
Pada keadaan ini, titik (a 2 , f(a 2 )) disebut titik balik
maksimum , sedangkan nilai f(a 2 ) disebut nilai balik
Gambar 5.10
maksimum atau harga maksimum.
3) Untuk x < a 3 , nilai f '(x) positif; untuk x = a 3 , nilai
f '(a 3 ) = 0; sedangkan untuk x > a 3 , nilai f '(x) juga
positif. Karena nilai f '(x) berubah tanda dari positif ke nol, kemudian ke positif lagi, dalam garis bilangan hal ini dapat ditampilkan seperti gambar
di samping.
f (x) a 3
4) Untuk x < a 4 , nilai f '(x) negatif; untuk x = a 4 , nilai
Gambar 5.11
f '(a 4 ) = 0; sedangkan untuk x > a 4 , nilai f '(x) juga
negatif. Karena nilai f'(x) berubah tanda dari negatif ke nol, kemudian ke negatif lagi, dalam garis bilangan hal ini dapat digambarkan seperti gambar di samping.
--- +++ f (x) a 4
Pada dua keadaan yang terakhir, yaitu titik (a 3 , f(a 3 )
Gambar 5.12
dan (a 4 , f(a 4 ) disebut titik belok horizontal atau sering disebut titik belok saja.
Contoh:
Diketahui fungsi f(x) = 2x 3 – 9x 2 + 12x. Tentukan
a. titik stasioner;
b. jenis titik stasionernya;
c. nilai maksimum dan nilai minimum.
Penyelesaian:
Karena f(x) = 2x 3 – 9x 2 + 12x maka f '(x) = 6x 2 – 18x + 12 = 6(x 2 – 3x + 2).
a. Titik stasioner syaratnya f '(x) = 0. x 2 – 3x + 2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0 x = 1 atau x = 2
Untuk x = 1 maka f(1) = 2(1 3 ) – 9(1 2 ) + 12 (1) = 5,
sedangkan untuk x = 2 maka
+++ 0 --- 0 +++ f (x)
f (2) = 2(2 3 ) – 9(2 2 ) + 12(2)
= 4. Gambar 5.13 Jadi, terdapat dua titik stasioner, yaitu (1, 5) dan (2, 4).
Turunan 223
b. Untuk menentukan jenis titik stasioner, dibuat garis bilangan seperti Gambar 5.13. Y
f (x) = 2x 3 – 9x Dari Gambar 5.13, dapat kita simpulkan bahwa titik 2 + 12x (1, 5) merupakan titik balik maksimum sebab f '(x)
berubah tanda dari positif ke nol, kemudian ke negatif, 5 (1, 5) sedangkan titik (2, 4) merupakan titik balik minimum 4 sebab f '(x) berubah tanda dari negatif ke nol, kemudian
ke positif.
c. Nilai maksimum fungsi adalah f(1) = 5 dan nilai mini- 1 mum fungsi adalah f(2) = 4.
Gambar 5.14