Menghitung Nilai Limit Fungsi Aljabar
B. Menghitung Nilai Limit Fungsi Aljabar
Setelah kita mempelajari definisi limit suatu fungsi, kita dapat menentukan limit suatu fungsi dengan menggunakan definisi limit secara umum maupun secara intuitif seperti di atas. Akan tetapi, ada beberapa cara yang lebih sederhana untuk menentukan limit, antara lain
Tes Mandiri
a. substitusi ;
b. memfaktorkan ;
Kerjakan di buku tugas
c. merasionalkan penyebut .
Nilai k yang memenuhi persamaan
x < 1 1. Menentukan Limit dengan Substitusi
lim
x A 1 1 = .... < x Limit suatu fungsi f untuk x mendekati a, dengan a bilangan
a. –2
real, dapat ditentukan dengan substitusi, yaitu mengganti nilai x
b. –5
' dengan a. Namun, apabila hasilnya , , atau ( ' – '
0 ' ), cara e. '
c. 0
d. 1
ini tidak dapat diterapkan secara langsung. Fungsi yang diambil
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2002
limitnya itu perlu disederhanakan terlebih dahulu. Perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Hitunglah nilai limit fungsi-fungsi berikut. x 3 < 8
b. lim x 0 (x 2 + 3x + 2) = 0 2 + 3(0) + 2 = 2
Tes Mandiri
2. Menentukan Limit dengan Memfaktorkan
Kerjakan di buku tugas
f ( x ) x < 27 Misalkan terdapat bentuk lim x a . Seperti yang telah
lim
g ( x ) x A 27 3 x < 3 disinggung sebelumnya, apabila x = a disubstitusikan pada fungsi
f ( a ) yang diambil limitnya tersebut mengakibatkan
c. 27
= (tak
Soal UMPTN, Kemam-
puan Dasar, 1999
tentu), cara substitusi tidak dapat diterapkan secara langsung.
178 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Oleh karena itu, fungsi tersebut perlu disederhanakan lebih dahulu dengan memfaktorkan f(x) dan g(x) sehingga keduanya mempunyai faktor yang sama. Selanjutnya, faktor yang sama itu dihilangkan sehingga diperoleh bentuk yang lebih sederhana seperti berikut.
f ( x ) ( x–a ) P ( x )
lim = lim = lim = ; Q(a) & 0
x A a g ( x ) x A a ( x–a ) Q ( x ) x A a Q ( x )
Contoh:
Tentukan nilai limit fungsi berikut. x 2 + 2 x < 15
Jika kita menyubstitusikan nilai-nilai yang didekati x ke dalam bentuk-bentuk di atas,
akan kita peroleh . Oleh karena itu, fungsi-fungsi tersebut perlu disederhanakan dengan
menghilangkan faktor-faktor yang sama pada pembilang dan penyebut.
3. Menentukan Limit dengan Merasionalkan Penyebut
Tes Mandiri
Apabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai limit- nya sulit disederhanakan karena memuat penyebut yang tidak Kerjakan di buku tugas rasional, kita perlu merasionalkan penyebutnya lebih dahulu.
Penyebut suatu pecahan akan menjadi rasional jika dikalikan
lim x A 1 2 + = ....
antara lain dengan bentuk sekawannya. x 3 < 2 Selanjutnya, agar nilai pecahannya tidak berubah maka pe-
a. –6 d. 4 b. –4
e. 8
cahan semula harus dikalikan dengan pecahan yang bernilai satu,
c. 2
b a < b a + b Soal SPMB, Kemam-
misalnya ,
, dan
puan Dasar, 2004
Limit Fungsi 179
Tes Mandiri
a. Pecahan
jika dikalikan
, diperoleh
Kerjakan di buku tugas
lim x A 7 = ....
b. Pecahan
jika dikalikan
c. Pecahan
jika dikalikan
, diperoleh
c. 27 a+ b
Soal UMPTN, Kemam- puan Dasar, 1997
Apa yang kalian ketahui dengan bentuk sekawan? Bagaimana bentuk aljabar yang mengandung akar pangkat tiga?
Contoh:
Tentukan nilai limit fungsi x 2 < 9
x+ + 16 5 )
= x lim A 3 2 x < 9
x lim x + 16 + A3 5
180 Mmt Aplikasi SMA 2 IPS
Uji Kompetensi 2
Kerjakan di buku tugas
1. Dengan menyubstitusikan nilai-nilai yang didekati oleh x, tentukan nilai limit fungsi berikut.
2. Dengan menghilangkan faktor-faktor yang sama, tentukan nilai limit fungsi berikut.
a. lim x
lim
A 1 f. x 2 < 1 x A 0 9 x + 2 x
b. lim x A 4 g. lim x < 4 x A 0 9 2 x
2 x+x 3 5 + 6 x + 3 x
c. x lim A<3
h. lim
x+ 3 x A 0 3 2 x < 6 x 2 5 3 2 2 x + 3 x < 5 4 x < x + 3 x
d. lim x A 1 i.
lim A 0 4 3 2 x + x < 2 x
e. lim x A 5 j.
lim
Limit Fungsi 181
3. Dengan merasionalkan penyebutnya, tentukan nilai limit fungsi berikut.
4. Tentukan nilai limit fungsi berikut.
5. Hitunglah limit-limit berikut dengan cara yang paling mudah.
x 3 < 27 x < 4
c. lim
i. x
lim
A 4 x 2 x < 16