Nilai Ekstrim Fungsi

1. Nilai Ekstrim Fungsi

Pada pasal ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang Contoh 89

mencakup nilai ekstrim maksimum dan Dipunyai fungsi f: R R , f(x) = 2(x – 1) . nilai ekstrim minimum.

Sket grafik f:

Definisi 73

Dipunyai fungsi f: S

R , S R , dan

M = f(c) untuk suatu c S . (a) Bilangan M merupakan nilai mak-

simum (mutlak) f apabila f(c) M

O untuk setiap (1,0) x S . (b) Bilangan M merupakan nilai mi-

nimum (mutlak) f apabila f(c) M 2 Gambar 105: Grafik f(x) = 2(x – 1) . untuk setiap x S .

(c) Nilai maksimum dan minimum Intuisi: f(1) = 0 merupakan

minimum minimum f.

mutlak suatu fungsi disebut nilai ekstrim mutlak fungsi tersebut.

Bukti:

j\ ¤· · ?P 184

j\ ¤· · ?P 185

Ambil sembarang x R . Jelas x 1 R .

Jelas (x 1 ) 2 0 2x ( 1 ) 2 0

Jadi f ( 1 ) f ( x ) x R . Jadi f ( 1 ) 0 merupakan nilai minimum f.

Contoh 90

Gambar 107: f(0) = 0 minimum relatif f

Dipunyai fungsi f: R R dengan

dan

2 f (1) = 1 maksimum relatif f.

f (x) = – (x – 2) + 1. Sket grafik f:

Pada Gambar 107 nampak bah- wa terdapat suatu selang sehingga nilai

f (0) = 0 merupakan nilai minimum f akan

tetapi masih ada nilai f(x) yang kurang

dari 0. Demikian juga terdapat suatu

X selang sehingga nilai f(1) = 1 merupakan nilai maksimum f akan tetapi masih ada

nilai f(x) yang lebih dari 1. Nilai f(0) = 0

f disebut nilai minimum relatif f dan nilai

f (1) = 1 disebut nilai maksimum relatif f.

Gambar 106: Grafik f(x) = –(x – 2) 2 + 1.

Berdasarkan kenyataan ini dapat didefi- nisikan konsep tentang nilai sektrim

Intuisi: f(2)=1 merupakan relatif suatu fungsi sebagai berikut. nilai maksimum f.

Definisi 74

Bukti: f : R

Ambil sembarang R x R .

. Jelas x 2 R .

Dipunyai fungsi

(a) Jika terdapat suatu selang D R yang memuat c sehingga berlaku

Jelas (x 2 ) 2 0 (x 2 ) 2 0

f ( c ) f ( x ) x D , maka f (c) (x 2 ) 2 1 1 disebut nilai maksimum relatif f.

Jadi f ( 2 ) f ( x ) x R . (b) Jika terdapat suatu selang D R Jadi f ( 2 ) 1 merupakan nilai minimum f.

yang memuat c sehingga berlaku

f ( c ) f ( x ) x D , maka f (c) disebut nilai minimum relatif f.

Sekarang perhatikan fungsi f beri- kut ini:

Contoh 91 Tunjukkan bahwa f(0) = 0 merupakan

f : R R dengan f(x) =

nilai minimum relatif f dan f(1) = 1

2 x , x 1 merupakan nilai maksimum relatif f untuk Grafik fungsi f :

fungsi f yang disajikan pada Gambar 107.

j\ ¤· · ?P 186

j\ ¤· · ?P 187

Bukti:

Contoh 92

Dipunyai Dipunyai fungsi f : R R yang diberikan

f : R R dengan f(x) =

dengan f ( x ) 4 x . Tentukan nilai-nilai

1 . ekstrim relatif f.

(a) Pilih

Bangun D = ( 1 , 0 1 0 Penyelesaian: ) .

2 Jelas 1 1

Ambil sembarang x D .

Jelas f(x) =

x 2 4 , x 2 Kasus 1 x 0 :

2 Grafik fungsi f sebagai berikut:

Jelas 0 x 2 1 f (0)<f(x)< 1 4 4 Y

Jadi f(0) f (x). Kasus 0 x 1 :

Jelas 0 x 2 1 f (0) f(x)< 1 .

Jadi f(0) f (x).

Gambar 108: Grafik f:

f (–2) = 0 = f(2) = f min rel Jadi terdapat selang D dan

R sehingga

f (0) = 4 = f maks rel .

f (0) f (x) x D .

Bukti:

Jadi f(0) = 0 merupakan nilai mini- (a) Pilih

mum relatif f. Bangun D = (–2–1, –2+1) = (–3, –1). (b) Pilih 1 .

Ambil sembarang x D .

2 Jelas

Bangun D = ( 1 1 , 1 1 ) = ( 1 , 3 ) .

2 2 2 2 Kasus –3 < x < –2: 2 2

Jelas 4 < x <9 0< x –4< 5 Jelas 1 x 3

Ambil sembarang x D .

f (–2) < f(x) < 5. .

2 2 Jadi f(–2) f (x). Kasus 1 x 1 :

Kasus 2 x 1 :

1 2 1 Jelas 1 x 4 –4 –x Jelas < –1 x 1 f ( x ) f ( 1 ) . 2

4 4 0 4–x <3 Jadi f(1) f (x).

f (x) < Kasus 1 x 3 :

f (–2)

2 Jadi f(–2) f (x). Jelas 1 x

2 2 Jadi terdapat selang D R sehingga

1 f (–2) f (x) x D f . (1) f(x)<

2 Jadi f(–2) = 0 merupakan nilai mini- .

mum relatif f.

Jadi f(1) f (x).

(b) Pilih

Jadi terdapat selang D R sehingga Bangun D = (0–1, 0+1) = (–1, 1).

Ambil sembarang x D . Jadi f(1) = 1 merupakan nilai maksi-

f (1) f (x) x D .

Jelas –1 < x < 1.

j\ ¤· · ?P 189 Kasus –1 < x < 0:

j\ ¤· · ?P 188

riksa apakah f(0) = 0 merupakan nilai

2 Jelas 0 < x 2 <1 –1 < –x <0

ekstrim relatif f.

3 <4 –x 2 <4

3 < f(x) < f(0).

Pemeriksaan:

Jadi f(x) f (0). Kasus 0 x < 1:

Intuisi: (a) f(0) bukan minimum relatif

2 Jelas 0 2 x <1 –1 < –x 0 (b) f(0) bukan maksimum relatif.

3 < 4–x 2 4

3 < f(x) f (0). Bukti (a):

0 . Jadi terdapat selang D R sehingga

Jadi f(x) f (0).

Ambil sembarang

Bangun D = (0– , 0+ ) = (– , ).

f (0) f (x) x D .

Pilih x o

Jadi f(0) = 4 merupakan nilai maksi-

Jelas x o D .

mum relatif f.

3 (c) Pilih 3

1 . Jelas f ( 0 ) f ( x o ) =0+ = > 0. Bangun D = (2–1, 2+1) = (1, 3).

Ambil sembarang x D .

Jadi f ( 0 ) f ( x o ) .

Jelas 1 < x < 3. Jadi D R x o D f ( 0 ) f ( x o ) . Kasus 1 < x < 2:

Jadi f(0) = 0 bukan suatu minimum rela-

2 Jelas 1< x 2 <4 –4 < –x < –1

tif.

0 < 4–x 2 <3

Bukti (b):

0 . Jadi f(2) f (x).

f (2) < f(x)< 3

Ambil sembarang

Bangun D = (0– , 0+ ) = (– , ). Kasus 2 x < 3:

2 2 Pilih x o

Jelas 4 x <9

0 x –4<5

f (2) < f(x)< 5.

Jelas x o D .

Jadi f(2) f (x).

Jelas f ( 0 ) f ( x ) =0– =– < 0. Jadi terdapat selang D R sehingga

f (2) f (x) x D .

Jadi f ( 0 ) f ( x o ) .

Jadi f(2) = 0 merupakan nilai minimum Jadi D R x o D f ( 0 ) f ( x o ) . relatif f.

Jadi f(0) = 0 bukan suatu maksimum rela- tif.

Perhatian 1:

Contoh 94

(a) Jika fungsi f mempunyai nilai Berikan suatu contoh fungsi f sehingga maksimum atau minimum relatif,

f (2) merupakan suatu minimum relatif. dikatakan f mempunyai ekstrim

relatif.

Penyelesaian:

(b) Nilai ekstrim mutlak suatu fungsi Pilih fungsi f : R R dengan juga merupakan nilai ekstrim

relatif 2

Contoh 93

3 Jelas f ( x ) 3 Jelas f ( x )

Jadi f ( 2 ) tidak ada.

Dipunyai fungsi f : R R , f ( x ) 3 x 3 .

Gambar 109: f(2) = –2 = f min rel .

Periksa adanya:

(a) turunan f di titik 0 Intuisi: f mempunyai minimum relatif di

(b) ekstrim relatif f.

2 dan f ( 2 ) tidak ada.

Pemeriksaan:

Pilih

Bangun D ( 2 1 , 2 1 ) ( 1 , 3 ) .

(a) Jelas f (x ) =

Ambil sembarang x D .

dx

Jelas (1 < x < 3).

Kasus 1 < x < 2:

dx

Jelas –1 < x – 2 < 0 = 1 .

0 < (x – 2) 2 <1

–2 < (x – 2) –2< –1 Jelas D f R { 0 } .

f (2)< f(x)< –1. Jadi f ( 0 ) tidak ada.

Jadi f(2) f (x). Kasus 2 < x < 3:

(b) Intuisi: f tak mempunyai ekstrim Jelas –2 < x – 4 < –1

relatif di titik 0.

f (2)< f(x)< –1. Ambil sembarang

( , Jadi f(2) ) f (x). Bangun = .

Pilih x o

Jadi terdapat selang D 2

R sehingga

f (2) f (x) x D .

Jelas f (o x ) = 3 ( ) 3 < 0 = f(0). Jadi f(2) = –2 merupakan nilai mini-

mum relatif f. Jadi D R x o D sehingga Selanjutnya f '

f ( 0 ) f ( x ) x . ( 2 ) = lim

x 2 x 2 Jadi f(0) bukan suatu minimum re- latif f.

= lim

Ambil sembarang

x 2 Bangun D ( 0 , 0 ) = ( , ) . =0

= lim x ( 2 )

Pilih x 1 .

dan f '

( 2 ) = lim ( 2 ) = lim

j\ ¤· · ?P 193

Jadi D R x 1 D sehingga

12 x

Jadi f(0) bukan suatu maksimum re- Jelas g (x ) =

latif f.

dx

Grafik f:

1 4 6 x 5 12 x 5

tidak ada dan . x 1 Jadi bilangan kritis g adalah 0 dan 2.

0 Jelas g ( 0 )

Contoh 97

Gambar 110: f(0) bukan suatu

Dipunyai fungsi f : R R diberikan oleh

f ( x ) x 2 4 x 8 . Periksa apakah f memi- Berikut ini disajikan suatu titik liki nilai ekstrim relatif.

ekstrim relatif f

pada grafik f yang penting untuk menen- tukan nilai ekstrim relatif.

Penyelesaian:

Jelas f (x ) =0

Dipunyai fungsi f: D f R dan

2x – 4 = 0

x = 2.

Jika f (c ) 0 atau f (c ) tidak ada

Jelas f ( 2 ) 4 .

Maka titik c disebut bilangan kritis f. Ambil sembarang x R . Jelas f(2) – f (x) = 4 – x 2 + 4x – 8

= –(x – 2) 2

Dari contoh-contoh dan definisi-

Jadi f(2) f (x).

definisi yang telah dikemukakan dapat di- Jadi f(2) f (x) x R .

simpulkan bahwa syarat perlu agar fungsi mempunyai ekstrim relatif di titik c ada- Jadi f ( 2 ) 4 suatu minimum mutlak. lah titik c merupakan bilangan kritis f. Jadi f ( 2 ) 4 suatu minimum relatif.

Akan tetapi c suatu bilangan kritis f bukan merupakan syarat cukup agar

Berikut ini disajikan suatu teore- fungsi f mempunyai ekstrim relatif.

ma eksistensi nilai ekstrim suatu fungsi. Contoh 96

Teorema 76

Tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi

6 1 Jika fungsi f kontinu pada selang

R dengan g ( x ) x 5 12 x 5 .

tutup [a, b] maka fungsi f memiliki nilai minimum dan maksimum mutlak.

j\ ¤· · ?P 195 Bukti teorema ini diserahkan

j\ ¤· · ?P 194

Karena f ( 3 ) tidak ada, maka pembaca sebagai latihan. Berikut ini

disajikan suatu contoh yang menunjukkan 3 merupakan bilangan kritis f. Karena bahwa kebalikan Teorema 76 tidak benar. 2

tidak ada, maka 3 merupakan bi-

Contoh 98 langan kritis f. Nilai fungsi f di titik-titik Dipunyai fungsi f: [–3,3]

ujung adalah f(0) = 1 dan f(1) = –2. rikan oleh

R yang dibe-

( x 1 ) 2 5 , 3 x 0 Ambil sembarang x [ 0 , 1 ] .

f (x) =

( x 1 ) 2 5 , 0 x 3 Jelas f ( x ) 1 ( 1 5 ) .

Grafik f: Jelas 0 x 1 0 2 x 2

–1 O 4 1 5 2 2 x 3 3

Gambar 111: f(–1) = 5 = f maks ,

Jadi f(0) = 1 dan f(1) = –2 berturut-tu-

f (1) = –5 = f maks , dan

f tak kontinu pada [–3,3]

rut merupakan maksimum dan minimum fungsi f.

Jelas bahwa f(–1) = 5 dan f(1) = –5 Grafik f: berturut-turut merupakan maksimum dan minimum relatif f. Akan tetapi f tak kon-

tinu di 0. Jadi f tak kontinu pada [–3,3].

Ini menunjukkan bahwa kebalikan

Teorema 77 tidak benar.

Contoh 99 Periksa ekstrim relatif fungsi f yang –2

x diberikan oleh f(x) = 1 ,

2 x 3 Gambar 112: Nilai minimum dan

Penyelesaian:

maksimum f ada di

x 1 d titik-titik ujung.

2 x Jelas 3

Dipunyai fungsi f : [ 2 , 1 ] R yang dibe- ( 2 x 3 ) 2 3 2 2 rikan oleh f(x) = x +x – x + 1. Tentukan

5 = 3 , x . nilai ekstrim mutlak fungsi f yang terletak 5 = 3 , x . nilai ekstrim mutlak fungsi f yang terletak

j\ ¤· · ?P 196

(c) f(–2) suatu minimum mutlak, dan (d) f ( 1 ) suatu maksimum relatif f.

Jelas f kontinu pada selang tutup 2

Jadi fungsi f mempunyai nilai maksimum dan minimum mutlak. Nilai fungsi f di titik ujung adalah:

1 dan f ( 1 ) 7 .

Jelas f (x ) =0