Nilai Ekstrim Fungsi
1. Nilai Ekstrim Fungsi
Pada pasal ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang Contoh 89
mencakup nilai ekstrim maksimum dan Dipunyai fungsi f: R R , f(x) = 2(x – 1) . nilai ekstrim minimum.
Sket grafik f:
Definisi 73
Dipunyai fungsi f: S
R , S R , dan
M = f(c) untuk suatu c S . (a) Bilangan M merupakan nilai mak-
simum (mutlak) f apabila f(c) M
O untuk setiap (1,0) x S . (b) Bilangan M merupakan nilai mi-
nimum (mutlak) f apabila f(c) M 2 Gambar 105: Grafik f(x) = 2(x – 1) . untuk setiap x S .
(c) Nilai maksimum dan minimum Intuisi: f(1) = 0 merupakan
minimum minimum f.
mutlak suatu fungsi disebut nilai ekstrim mutlak fungsi tersebut.
Bukti:
j\ ¤· · ?P 184
j\ ¤· · ?P 185
Ambil sembarang x R . Jelas x 1 R .
Jelas (x 1 ) 2 0 2x ( 1 ) 2 0
Jadi f ( 1 ) f ( x ) x R . Jadi f ( 1 ) 0 merupakan nilai minimum f.
Contoh 90
Gambar 107: f(0) = 0 minimum relatif f
Dipunyai fungsi f: R R dengan
dan
2 f (1) = 1 maksimum relatif f.
f (x) = – (x – 2) + 1. Sket grafik f:
Pada Gambar 107 nampak bah- wa terdapat suatu selang sehingga nilai
f (0) = 0 merupakan nilai minimum f akan
tetapi masih ada nilai f(x) yang kurang
dari 0. Demikian juga terdapat suatu
X selang sehingga nilai f(1) = 1 merupakan nilai maksimum f akan tetapi masih ada
nilai f(x) yang lebih dari 1. Nilai f(0) = 0
f disebut nilai minimum relatif f dan nilai
f (1) = 1 disebut nilai maksimum relatif f.
Gambar 106: Grafik f(x) = –(x – 2) 2 + 1.
Berdasarkan kenyataan ini dapat didefi- nisikan konsep tentang nilai sektrim
Intuisi: f(2)=1 merupakan relatif suatu fungsi sebagai berikut. nilai maksimum f.
Definisi 74
Bukti: f : R
Ambil sembarang R x R .
. Jelas x 2 R .
Dipunyai fungsi
(a) Jika terdapat suatu selang D R yang memuat c sehingga berlaku
Jelas (x 2 ) 2 0 (x 2 ) 2 0
f ( c ) f ( x ) x D , maka f (c) (x 2 ) 2 1 1 disebut nilai maksimum relatif f.
Jadi f ( 2 ) f ( x ) x R . (b) Jika terdapat suatu selang D R Jadi f ( 2 ) 1 merupakan nilai minimum f.
yang memuat c sehingga berlaku
f ( c ) f ( x ) x D , maka f (c) disebut nilai minimum relatif f.
Sekarang perhatikan fungsi f beri- kut ini:
Contoh 91 Tunjukkan bahwa f(0) = 0 merupakan
f : R R dengan f(x) =
nilai minimum relatif f dan f(1) = 1
2 x , x 1 merupakan nilai maksimum relatif f untuk Grafik fungsi f :
fungsi f yang disajikan pada Gambar 107.
j\ ¤· · ?P 186
j\ ¤· · ?P 187
Bukti:
Contoh 92
Dipunyai Dipunyai fungsi f : R R yang diberikan
f : R R dengan f(x) =
dengan f ( x ) 4 x . Tentukan nilai-nilai
1 . ekstrim relatif f.
(a) Pilih
Bangun D = ( 1 , 0 1 0 Penyelesaian: ) .
2 Jelas 1 1
Ambil sembarang x D .
Jelas f(x) =
x 2 4 , x 2 Kasus 1 x 0 :
2 Grafik fungsi f sebagai berikut:
Jelas 0 x 2 1 f (0)<f(x)< 1 4 4 Y
Jadi f(0) f (x). Kasus 0 x 1 :
Jelas 0 x 2 1 f (0) f(x)< 1 .
Jadi f(0) f (x).
Gambar 108: Grafik f:
f (–2) = 0 = f(2) = f min rel Jadi terdapat selang D dan
R sehingga
f (0) = 4 = f maks rel .
f (0) f (x) x D .
Bukti:
Jadi f(0) = 0 merupakan nilai mini- (a) Pilih
mum relatif f. Bangun D = (–2–1, –2+1) = (–3, –1). (b) Pilih 1 .
Ambil sembarang x D .
2 Jelas
Bangun D = ( 1 1 , 1 1 ) = ( 1 , 3 ) .
2 2 2 2 Kasus –3 < x < –2: 2 2
Jelas 4 < x <9 0< x –4< 5 Jelas 1 x 3
Ambil sembarang x D .
f (–2) < f(x) < 5. .
2 2 Jadi f(–2) f (x). Kasus 1 x 1 :
Kasus 2 x 1 :
1 2 1 Jelas 1 x 4 –4 –x Jelas < –1 x 1 f ( x ) f ( 1 ) . 2
4 4 0 4–x <3 Jadi f(1) f (x).
f (x) < Kasus 1 x 3 :
f (–2)
2 Jadi f(–2) f (x). Jelas 1 x
2 2 Jadi terdapat selang D R sehingga
1 f (–2) f (x) x D f . (1) f(x)<
2 Jadi f(–2) = 0 merupakan nilai mini- .
mum relatif f.
Jadi f(1) f (x).
(b) Pilih
Jadi terdapat selang D R sehingga Bangun D = (0–1, 0+1) = (–1, 1).
Ambil sembarang x D . Jadi f(1) = 1 merupakan nilai maksi-
f (1) f (x) x D .
Jelas –1 < x < 1.
j\ ¤· · ?P 189 Kasus –1 < x < 0:
j\ ¤· · ?P 188
riksa apakah f(0) = 0 merupakan nilai
2 Jelas 0 < x 2 <1 –1 < –x <0
ekstrim relatif f.
3 <4 –x 2 <4
3 < f(x) < f(0).
Pemeriksaan:
Jadi f(x) f (0). Kasus 0 x < 1:
Intuisi: (a) f(0) bukan minimum relatif
2 Jelas 0 2 x <1 –1 < –x 0 (b) f(0) bukan maksimum relatif.
3 < 4–x 2 4
3 < f(x) f (0). Bukti (a):
0 . Jadi terdapat selang D R sehingga
Jadi f(x) f (0).
Ambil sembarang
Bangun D = (0– , 0+ ) = (– , ).
f (0) f (x) x D .
Pilih x o
Jadi f(0) = 4 merupakan nilai maksi-
Jelas x o D .
mum relatif f.
3 (c) Pilih 3
1 . Jelas f ( 0 ) f ( x o ) =0+ = > 0. Bangun D = (2–1, 2+1) = (1, 3).
Ambil sembarang x D .
Jadi f ( 0 ) f ( x o ) .
Jelas 1 < x < 3. Jadi D R x o D f ( 0 ) f ( x o ) . Kasus 1 < x < 2:
Jadi f(0) = 0 bukan suatu minimum rela-
2 Jelas 1< x 2 <4 –4 < –x < –1
tif.
0 < 4–x 2 <3
Bukti (b):
0 . Jadi f(2) f (x).
f (2) < f(x)< 3
Ambil sembarang
Bangun D = (0– , 0+ ) = (– , ). Kasus 2 x < 3:
2 2 Pilih x o
Jelas 4 x <9
0 x –4<5
f (2) < f(x)< 5.
Jelas x o D .
Jadi f(2) f (x).
Jelas f ( 0 ) f ( x ) =0– =– < 0. Jadi terdapat selang D R sehingga
f (2) f (x) x D .
Jadi f ( 0 ) f ( x o ) .
Jadi f(2) = 0 merupakan nilai minimum Jadi D R x o D f ( 0 ) f ( x o ) . relatif f.
Jadi f(0) = 0 bukan suatu maksimum rela- tif.
Perhatian 1:
Contoh 94
(a) Jika fungsi f mempunyai nilai Berikan suatu contoh fungsi f sehingga maksimum atau minimum relatif,
f (2) merupakan suatu minimum relatif. dikatakan f mempunyai ekstrim
relatif.
Penyelesaian:
(b) Nilai ekstrim mutlak suatu fungsi Pilih fungsi f : R R dengan juga merupakan nilai ekstrim
relatif 2
Contoh 93
3 Jelas f ( x ) 3 Jelas f ( x )
Jadi f ( 2 ) tidak ada.
Dipunyai fungsi f : R R , f ( x ) 3 x 3 .
Gambar 109: f(2) = –2 = f min rel .
Periksa adanya:
(a) turunan f di titik 0 Intuisi: f mempunyai minimum relatif di
(b) ekstrim relatif f.
2 dan f ( 2 ) tidak ada.
Pemeriksaan:
Pilih
Bangun D ( 2 1 , 2 1 ) ( 1 , 3 ) .
(a) Jelas f (x ) =
Ambil sembarang x D .
dx
Jelas (1 < x < 3).
Kasus 1 < x < 2:
dx
Jelas –1 < x – 2 < 0 = 1 .
0 < (x – 2) 2 <1
–2 < (x – 2) –2< –1 Jelas D f R { 0 } .
f (2)< f(x)< –1. Jadi f ( 0 ) tidak ada.
Jadi f(2) f (x). Kasus 2 < x < 3:
(b) Intuisi: f tak mempunyai ekstrim Jelas –2 < x – 4 < –1
relatif di titik 0.
f (2)< f(x)< –1. Ambil sembarang
( , Jadi f(2) ) f (x). Bangun = .
Pilih x o
Jadi terdapat selang D 2
R sehingga
f (2) f (x) x D .
Jelas f (o x ) = 3 ( ) 3 < 0 = f(0). Jadi f(2) = –2 merupakan nilai mini-
mum relatif f. Jadi D R x o D sehingga Selanjutnya f '
f ( 0 ) f ( x ) x . ( 2 ) = lim
x 2 x 2 Jadi f(0) bukan suatu minimum re- latif f.
= lim
Ambil sembarang
x 2 Bangun D ( 0 , 0 ) = ( , ) . =0
= lim x ( 2 )
Pilih x 1 .
dan f '
( 2 ) = lim ( 2 ) = lim
j\ ¤· · ?P 193
Jadi D R x 1 D sehingga
12 x
Jadi f(0) bukan suatu maksimum re- Jelas g (x ) =
latif f.
dx
Grafik f:
1 4 6 x 5 12 x 5
tidak ada dan . x 1 Jadi bilangan kritis g adalah 0 dan 2.
0 Jelas g ( 0 )
Contoh 97
Gambar 110: f(0) bukan suatu
Dipunyai fungsi f : R R diberikan oleh
f ( x ) x 2 4 x 8 . Periksa apakah f memi- Berikut ini disajikan suatu titik liki nilai ekstrim relatif.
ekstrim relatif f
pada grafik f yang penting untuk menen- tukan nilai ekstrim relatif.
Penyelesaian:
Jelas f (x ) =0
Dipunyai fungsi f: D f R dan
2x – 4 = 0
x = 2.
Jika f (c ) 0 atau f (c ) tidak ada
Jelas f ( 2 ) 4 .
Maka titik c disebut bilangan kritis f. Ambil sembarang x R . Jelas f(2) – f (x) = 4 – x 2 + 4x – 8
= –(x – 2) 2
Dari contoh-contoh dan definisi-
Jadi f(2) f (x).
definisi yang telah dikemukakan dapat di- Jadi f(2) f (x) x R .
simpulkan bahwa syarat perlu agar fungsi mempunyai ekstrim relatif di titik c ada- Jadi f ( 2 ) 4 suatu minimum mutlak. lah titik c merupakan bilangan kritis f. Jadi f ( 2 ) 4 suatu minimum relatif.
Akan tetapi c suatu bilangan kritis f bukan merupakan syarat cukup agar
Berikut ini disajikan suatu teore- fungsi f mempunyai ekstrim relatif.
ma eksistensi nilai ekstrim suatu fungsi. Contoh 96
Teorema 76
Tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi
6 1 Jika fungsi f kontinu pada selang
R dengan g ( x ) x 5 12 x 5 .
tutup [a, b] maka fungsi f memiliki nilai minimum dan maksimum mutlak.
j\ ¤· · ?P 195 Bukti teorema ini diserahkan
j\ ¤· · ?P 194
Karena f ( 3 ) tidak ada, maka pembaca sebagai latihan. Berikut ini
disajikan suatu contoh yang menunjukkan 3 merupakan bilangan kritis f. Karena bahwa kebalikan Teorema 76 tidak benar. 2
tidak ada, maka 3 merupakan bi-
Contoh 98 langan kritis f. Nilai fungsi f di titik-titik Dipunyai fungsi f: [–3,3]
ujung adalah f(0) = 1 dan f(1) = –2. rikan oleh
R yang dibe-
( x 1 ) 2 5 , 3 x 0 Ambil sembarang x [ 0 , 1 ] .
f (x) =
( x 1 ) 2 5 , 0 x 3 Jelas f ( x ) 1 ( 1 5 ) .
Grafik f: Jelas 0 x 1 0 2 x 2
–1 O 4 1 5 2 2 x 3 3
Gambar 111: f(–1) = 5 = f maks ,
Jadi f(0) = 1 dan f(1) = –2 berturut-tu-
f (1) = –5 = f maks , dan
f tak kontinu pada [–3,3]
rut merupakan maksimum dan minimum fungsi f.
Jelas bahwa f(–1) = 5 dan f(1) = –5 Grafik f: berturut-turut merupakan maksimum dan minimum relatif f. Akan tetapi f tak kon-
tinu di 0. Jadi f tak kontinu pada [–3,3].
Ini menunjukkan bahwa kebalikan
Teorema 77 tidak benar.
Contoh 99 Periksa ekstrim relatif fungsi f yang –2
x diberikan oleh f(x) = 1 ,
2 x 3 Gambar 112: Nilai minimum dan
Penyelesaian:
maksimum f ada di
x 1 d titik-titik ujung.
2 x Jelas 3
Dipunyai fungsi f : [ 2 , 1 ] R yang dibe- ( 2 x 3 ) 2 3 2 2 rikan oleh f(x) = x +x – x + 1. Tentukan
5 = 3 , x . nilai ekstrim mutlak fungsi f yang terletak 5 = 3 , x . nilai ekstrim mutlak fungsi f yang terletak
j\ ¤· · ?P 196
(c) f(–2) suatu minimum mutlak, dan (d) f ( 1 ) suatu maksimum relatif f.
Jelas f kontinu pada selang tutup 2
Jadi fungsi f mempunyai nilai maksimum dan minimum mutlak. Nilai fungsi f di titik ujung adalah:
1 dan f ( 1 ) 7 .
Jelas f (x ) =0