Fungsi Naik dan Fungsi
2. Fungsi Naik dan Fungsi
Turun
Berikut ini disajikan konsep tentang
naik atau turunnya fungsi, kaitannya dengan turunan fungsi itu, dan uji turunan pertama untuk eksrim relatif suatu fungsi.
Gambar 124: Grafik f naik, fungsi f
Definisi 80
melestarikan urutan.
Dipunyai fungsi f : I R , I R . Contoh 107
Grafik fungsi f dikatakan naik apabila Dipunyai fungsi f : [ 0 , 2 ] R disajikan
f melestarikan urutan
atau
dengan f ( x )
Periksa grafik f naik ataukah turun. Pemeriksaan:
Definisi 81
Grafik f:
Dipunyai fungsi f : I R , I R .
Grafik fungsi f dikatakan turun apa-
bila f tak melestarikan urutan
Dipunyai 3 f : R R dengan f(x) = x . Periksa apakah fungsi f naik atau turun.
Gambar 125: Grafik f turun
Intuisi: Grafik f naik. Pembaca diminta memeriksa secara Bukti:
formal.
Ambil sembarang x 1 ,x 2 R ,x 1 <x 2 . j\ ¤· · ?P 206
j\ ¤· · ?P 207
Teorema berikut mengaitkan naik- Contoh 108 turunnya fungsi dengan turunan fungsi Dipunyai fungsi f : R R , f ( x ) 4 x 2 . tersebut.
Tentukan selang terbesar sehingga grafik
f naik atau turun.
Teorema 82
Dipunyai f : I R , I R , dan f (x )
Penyelesaian:
ada untuk setiap x I kecuali
= –2x. mungkin di titik-titik ujungnya. Maka
Jelas f (x ) =
dx
Jelas f (x ) 0 –2x > 0 (i) Jika f (x ) 0 untuk setiap x I x < 0.
yang bukan di titik ujung maka Jadi grafik f naik pada ( , 0 ] . grafik f naik pada I. (ii) Jika f (x ) 0 untuk setiap x I Jelas f (x ) 0 –2x < 0
yang bukan di titik ujung maka x > 0. grafik f turun pada I.
Jadi grafik f turun pada [ 0 , ) .
Contoh 109
Bukti (i): Tentukan selang sehingga fungsi f yang
Dipunyai f (x ) 0 untuk setiap x I .
Ambil sembarang x 1 ,x 2 I ,x 1 <x 2 .
diberikan oleh ,
naik atau
Jelas f kontinu pada [x 1 ,x 2 ] dan
f (x ) ada pada (x 1 ,x 2 ).
turun.
Penyelesaian:
Pilih c (x 1 ,x 2 )
x 2 x 1 Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa Jelas x 2 –x 1 > 0.
f kontinu pada selang ( , 0 ) dan ( 0 , ) . Jadi f ( x 2 ) f ( x 1 ) >0
Jelas f (x )
= 1 < 0 untuk setiap x 0 .
Jadi pada selang ( , 0 2 ) ) dan ( 0 , ) grafik Jadi grafik f naik.
Jadi x 1 , x 2 I , x 1 x 2 , f ( x 1 ) f ( x .
f turun. Grafik f:
Bukti (ii):
Dipunyai f (x ) 0 untuk setiap x I .
Ambil sembarang x 1 ,x 2 I ,x 1 <x 2 . Jelas f kontinu pada [x 1 ,x 2 ] dan
f (x ) ada pada (x 1 ,x 2 ).
XO
Pilih c (x 1 ,x 2 )
Jelas x 2 –x 1 > 0.
Jadi f ( x 2 ) f ( x 1 ) <0
Jadi x 1 , x 2 I , x 1 x 2 , f ( x ) f ( x ) .
Gambar 126: Grafik f turun pada
( 0 , Jadi grafik f turun. ) .
j\ ¤· · ?P 208
j\ ¤· · ?P 209
Berikut ini disajikan prosedur me-
Jadi f (x ) < 0.
nentukan selang terbesar sehingga grafik f Jadi grafik f turun pada(2,4). naik atau turun:
Kasus x ( 4 , ) ;
(1) tentukan bilangan kritis untuk f,
Jelas x > 4.
(2) tentukan selang-selang dalam Jadi (x – 4) > 0 dan (x – 2) 2 > 0. domain f berdasarkan bilangan-
Jadi f (x ) > 0.
bilangan kritis dan nilai-nilai x Jadi grafik f naik pada ( 0 , ) .
sehingga f tak terdefinisi, dan (3) manfaatkan Teorema 82.
Berikut ini disajikan suatu teorema Contoh 110
untuk menguji nilai ekstrim relatif suatu Dipunyai fungsi f : R { 2 } R yang dibe- fungsi yang dikenal dengan Uji Turunan
2 Pertama.
rikan oleh f ( x ) x . x 2 Teorema 83 (Uji Turunan Pertama)
Penyelesaian: Dipunyai f tak terdefinisi di x = 2.
Dipunyai fungsi f : I R , I R , dan
d c I suatu bilangan kritis untuk f.
Jika f (x ) ada pada selang (c–h, c+h) Jelas f (x ) =
( x 2 ) 2 untuk suatu h > 0 kecuali mung- Jelas f ( 2 )
dx
kin di titik c sendiri tidak ada dan
maka f(c) ekstrim relatif jika dan ha-
f (x ) =0
nya jika tanda f (x ) berganti
( x 2 ) 2 tanda di x = c.
x =0 x = 4. Secara khusus dinyatakan sebagai be- Jadi bilangan-bilangan kritis f adalah 0
rikut:
dan 4. (1) Jika f (x ) > 0 untuk x < c dan
f (x ) < 0 untuk x > c maka f(c) dan ( 4 , ) .
Bangun selang-selang ( , 0 ) , (0,2), (2,4),
suatu maksimum relatif. (2) Jika f (x ) < 0 untuk x < c dan
2 f (x ) > 0 untuk x > c maka f(c) Jelas x < 0, (x – 4) < 0, dan (x – 2) > 0.
Kasus x ( , 0 ) :
suatu minimum relatif. Jadi f (x ) > 0.
(3) Jika f (x ) tidak berganti tanda di
Jadi grafik f naik pada ( , 0 ) .
x = c maka f(c) bukan suatu mak- simum ataupun minimum relatif.
Kasus x ( 0 , 2 ) : Jelas 0 < x < 2.
Jadi –4 < x – 4 < –2 dan (x – 2) 2 > 0.
Bukti (1):
Jadi f (x ) < 0. Dipunyai f (x ) > 0 pada (c – h, c). Jadi grafik f turun pada(0,2).
Jelas grafik f naik pada c – h, c). Jadi f ( c ) f ( x ) untuk setiap x di (c–h, c).
Kasus x ( 2 , 4 ) : Dipunyai f (x ) < 0 pada (c, c + h). Jelas 2 < x < 4.
Jelas grafik f turun pada (c, c + h). Jadi –2 < x – 4 < 0 dan (x – 2) 2 > 0.
Jadi f ( c ) f ( x ) untuk setiap x di (c, c+h).
j\ ¤· · P 210
j\ ¤· · ?P 211
Jadi f ( c ) f ( x ) x ( c h , c h ) .
Grafik f:
Jadi terdapat h > 0 sehingga f ( c ) f ( x ) .
Jadi f(c) suatu maksimum relatif.
Bukti (2) dan (3) untuk teorema ter- sebut diserahkan pembaca sebagai latih-
an. X
Contoh 111 Dipunyai fungsi f : R R yang diberikan
Gambar 127: Fungsi f mempunyai maksi-
2 oleh 2 f ( x ) 4 x ( 1 x ) . Tentukan nilai
mum relatif di 2 dan
ekstrim fungsi f.
Penyelesaian:
2 serta minimum relatif
Jelas f (x ) =0
2 di 0.
2 x 2 =0
Temukan suatu persegipanjang yang
2 2 ukuran luasnya 64 m 2 dan ukuran keli- Uji turunan pertama di 2
lingnya minimum.
2 2 2 Penyelesaian:
2 2 2 Tulis x: ukuran panjang persegipanjang,
f (x )
y : ukuran lebar persegipanjang,
f (x )
1 A : ukuran luas persegipanjang, dan K : ukuran keliling persegipanjang.
xy = 64 Simpulan: f (
2 Dipunyai A = 64
) 1 suatu maksimum re-
. latif.
2 64 y
Jadi K(x) = 2(x + y)
Uji turunan pertama di x = 0: 64 = 2(x + ).