Kecekungan Grafik Fungsi
3. Kecekungan Grafik Fungsi
Gambar 128 dan 129 memper- Definisi 84 lihatkan perlunya mengetahui lebih rinci
Dipunyai fungsi f : I R , I R ,f tentang kelakuan suatu fungsi untuk
menggambar grafik fungsi secara lebih kontinu pada I, dan f (x ) ada pada I teliti. Pada kedua gambar berikut ini
kecuali mungkin di titik-titik ujung- fungsi f mempunyai maksimum relatif di
nya.
titik B dan minimum relatif di titik-titik A (a) Grafik f dikatakan cekung ke atas dan C. Demikian pula untuk fungsi g.
apabila f merupakan fungsi naik Akan tetapi kedua fungsi tersebut mem-
pada selang I.
punyai perbedaan kelakuan dalam hal (b) Grafik f dikatakan cekung ke naik atau turunnya. Perbedaan kelakuan
bawah apabila f merupakan ini bergantung dari kecekungan masing-
fungsi turun pada selang I. masing fungsi.
Interpretasi geometri kecekungan suatu fungsi:
B f (a) Grafik fungsi yang cekung ke atas:
Gambar 128: Fungsi f mempunyai maksi- X mum di B dan minimum di
O x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 A dan C. Akan tetapi cekung
ke atas di kiri A dan di kanan nan C.
Gambar 130: Grafik f cekung ke atas.
Tulis s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 , dan s 5 adalah garis- garis singgung pada grafik f di titik-
B titik x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 , dan x 5 dengan x 1 <
x 2 <x 3 <x 4 <x 5.
Jelas m s 1 = f (x 1 ) ,
Gambar 129: Fungsi g mempunyai maksi-
m s 5 = f (x 5 ) .
mum di B dan minimum di A dan C. Akan tetapi cekung
Jelas ... f (x 1 ) < f (x 2 ) < f (x 3 ) <
ke atas di antara A dan B dan
f (x 4 ) < f (x 5 ) < ... .
di antara B dan C.
j\ ¤· · ?P 214
j\ ¤· · ?P 215
Ini menunjukkan fungsi f meles- Teorema 85
tarikan urutan. Dipunyai fungsi f : I R , I R , dan Jadi grafik f naik.
f (x ) ada untuk setiap x I kecuali Dengan demikian grafik f cekung ke
mungkin di titik-titik ujungnya.
atas apabila grafik f naik.
(1) Grafik f cekung ke atas pada I (a) Grafik fungsi yang cekung ke bawah:
apabila f (x ) 0 untuk setiap x I yang bukan titik ujung I.
(2) Grafik f cekung ke bawah
f pada I apabila f (x ) 0 untuk setiap x I yang bukan titik
ujung I.
X Bukti: O x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 (1) Ambil sembarang
x I , x bukan titik
ujung I.
Dipunyai f (x ) 0 .
Gambar 131: Grafik f cekung ke bawah.
Jadi grafik f naik. Jadi grafik f cekung ke atas.
Tulis s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 , dan s 5 adalah garis- (2) Ambil sembarang x I , x bukan titik garis singgung pada grafik f di titik-
ujung I.
titik x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 , dan x 5 dengan x 1 <
Dipunyai f (x ) 0 . x 2 <x 3 <x 4 <x 5. Jadi grafik f turun.
Jelas m s 1 = f (x 1 ) ,
Jadi grafik f cekung ke bawah.
m s 2 = f (x 2 ) , m s 3 = f (x 3 ) ,
Apabila fungsi f mempunyai turunan
f yang kontinu, Teorema 85 mengisya-
m s 4 = f (x 4 ) , dan
ratkan suatu prosedur untuk menentukan
m s 5 = f (x 5 ) .
selang terbesar sehingga grafik fungsi f Jelas ... < f (x 1 ) > f (x 2 ) > f (x 3 ) > cekung ke atas atau ke bawah, yaitu:
f (x 4 ) > f (x 5 ) > ... .
Ini menunjukkan fungsi f tidak
(1) Tentukan bilangan c sehingga
f (c ) =0 atau f (c ) tidak ada. melestarikan urutan.
Jadi grafik f turun. (2) Bangun selang berdasarkan temuan titik c pada butir (1).
Dengan demikian grafik f cekung ke (3) Periksa tanda f (x ) pada se-
bawah apabila grafik f turun.
lang-selang itu. Berikut ini disajikan teorema yang
mengaitkan kecekungan grafik suatu Seperti dalam mencari selang-selang fungsi dengan nilai turunan kedua fungsi terbesar dengan f naik atau turun, harus tersebut.
diperhatikan baik-baik mengenai bilangan
j\ ¤· · ?P 216
j\ ¤· · ?P 217
C dengan f (c ) = 0 atau f (c ) tidak ada.
Jadi grafik f cekung ke bawah pada [ 0 , ] dan grafik f cekung ke atas pada [ , 2 ] .
Titik-titik pada grafik f yang memi- Jadi titik ( , f ( )) = ( , 0 ) merupakan sahkan busur-busur yang kecekungannya titik infleksi. berbeda disebut titik infleksi.
Contoh 113
Definisi 86 Dipunyai fungsi f : R R yang disajikan Dipunyai 5
f : I R , I R , dan c I .
Titik P(c,f(c)) disebut titik infleksi oleh f ( x ) x 3 .
untuk f, jika f kontinu di x = c dan Periksa kecekungan grafik f. terdapat bilangan h > 0 sehingga
Penyelesaian:
grafik f: Ambil sembarang x R . (1) cekung ke bawah pada selang
(c–h, c) dan cekung ke atas
pada selang (c , c + h),
atau (2) cekung ke atas pada selang
Jelas f (x ) =
dx
(c–h, c) dan cekung ke bawah
pada selang (c , c + h).
Contoh 112
Dipunyai fungsi f: [ 0 , 2 ] R , f(x) = sin x.
Jelas f (x ) = =
1 5 dx
d [ f ( x )] d (sin x )
=cos x
dx
dan
Jadi f (x ) =
d [ f ( x )] d (cos x )
= – sin x.
dx
Jelas f (x ) 0 – sin x = 0
x =0, x = , atau x = 2 . Jelas f ( 0 ) tidak ada dan
Karena f kontinu pada [ 0 , 2 ] , diperiksa
f (x ) =0
x = –1. kecekungan grafik f pada selang [ 0 , ] dan Dengan demikian tanda f (x ) diperiksa [ , 2 ] dengan menguji tanda f (x ) pada pada selang-selang ( , 1 ) , ( 1 , 1 ) , dan
selang-selang
dan
menggunakan Teorema 86 berikut ini:
Tanda
– Selang Uji bil.
f (x )
Cekung –2(1+x)
Gambar 132: Tanda f (x ) .
j\ ¤· · ?P 218
j\ ¤· · ?P 219
Jadi f (x ) positif pada ( , 1 ) , akan teta- Bukti:
pi f (x ) negatif pada ( 1 , 0 ) dan ( 0 , ) . (1) Dipunyai f (a ) 0 . Berdasarkan Teorema 13, disimpulkan:
Jelas f (a ) 0
(a) grafik f cekung ke atas pada se-
lim
lang ( , 1 ] dan
(b) grafik f cekung ke bawah pada se-
lim
lang [ 1 , 0 ] dan [ 0 , ] .
Ini memperlihatkan bahwa titik ( 1 , f ( 1 ))
Pilih
0 sehingga
f ( x = ) ( 1 , ) merupakan titik infleksi, akan
0 apabila x ( a , a ) .
tetapi titik ( 0 , f ( 0 )) = (0,0) bukan merupa- Kasus x ( a , a ) : kan titik infleksi.
Jelas x a x a 0 . Grafik f:
Jadi f (x ) 0 .
Jadi f (x ) 0 pada ( a , a ) .
Jadi grafik f naik pada ( a , a ) . Kasus x ( a , a ) : Jelas x a x a 0 .
6 Jadi f (x ) 0 .
5 Jadi f (x ) 0 pada ( a , a ) . Jadi grafik f turun pada ( a , a ) .
Jadi f(a) suatu maksimum relatif.
–1 O
5 (2) Dipunyai f (a ) 0 .
Jelas
f (a ) 0
Gambar 134: titik ( 1 , 6
5 f ( x ) f ( a lim ) 0 (0,0) bukan titik infleksi.
) titik infleksi
Berikut ini disajikan suatu teorema
lim
yang mengaitkan turunan kedua suatu
0 sehingga fungsi dengan nilai ekstrim relatif fungsi
Pilih
f ( x tersebut. )
0 apabila x ( a , a ) .
Kasus x ( a , a ) : Teorema 87
Jelas x a x a 0 .
Dipunyai fungsi f : I R , I R , dan
Jadi f (x ) 0 .
Jadi f (x ) 0 pada ( a , a ) . ada pada I maka
a I . Jika f (x ) ada pada I dan f (x )
Jadi grafik f turun pada ( a , a ) . Kasus x ( a , a ) :
(1) f (a ) 0 f (a) suatu maksimum Jelas x a x a 0 . relatif,
Jadi f (x ) 0 . (2) f (a ) 0 f (a) suatu minimum Jadi f (x ) 0 pada ( a , a ) . relatif, dan Jadi grafik f naik pada ( a , a ) .
(3) f (a ) 0 tak ada simpulan. Jadi f(a) suatu minimum relatif.
j\ ¤· · ?P 220
j\ ¤· · ?P 221
(3) Bukti (3) diserahkan pembaca seba- (2) Di titik (–1, –3) terjadi perubahan na- gai latihan.
ik turunnya grafik f, yaitu: grafik f turun di kiri –1 dan naik di kanan –1.
Contoh 115 Jadi f(–1) = –3 merupakan nilai Diskusikan ekstrim relatif dan kecekung-
minimum relatif. an fungsi f yang diberikan oleh
d [ f ( x Selanjutnya )]
Jelas f (x ) =
4 8 dx
dx
4 4 Jadi f ( 0 ) tidak ada.
Jadi f ( 0 ) tidak ada.
Jelas f (x )
=0 4 x 3 ( x 2 ) 0
4 4 x = 2.
Jelas f (x ) 0 . x 3 x 3 =0
2 Analisis kecekungan grafik f:
4 x 3 ( x 1 ) =0
3 Kasus x ( , 0 ) :
x = 0.
Jelas x < 0.
Jadi bilangan kritis untuk f adalah x = 0
dan x = –1.
Jadi x 3 0
Uji turunan pertama di x = 0:
x – 2 < –2 < 0. x 5 0
dan x < 0
Jadi 4 x 3 ( x 2 ) >0
f (x )
+ Tidak ada
f (x ) 0 .
Jadi grafik f cekung ke atas pada se-
lang ( , 0 ) .
f (0)
Kasus x ( 0 , 2 ) :
Uji turunan pertama di x = –1:
Jelas x > 0.
Jelas x 3 0
0 dan x < 2
x – 2 < 0.
f 4 (0) 0 Jadi x 2 ( x 2 ) <0
Simpulan:
f (x ) 0 .
(1) Di titik (0,0) tidak terjadi perubahan Jadi grafik f cekung ke bawah pada se- naik turunya grafik f.
lang ( 0 , 2 ) .
Jadi f(0) = 0 bukan suatu ekstrim relatif.
j\ ¤· · ?P 222
j\ ¤· · ?P 223
Kasus x ( 2 , ) : Jelas f ( ) 0 dan f ( ) 0 . Jelas x > 2.
Jadi uji turunan kedua tak memberikan
5 simpulan.
Jelas x 3 0 Jelas f (x ) = 1 + cos x 0 x [ 2 , 2 ] . dan x > 2
x – 2 > 0. Jadi berdasarkan uji turunan pertama
5 disimpulkan fungsi f tidak memiliki Jadi 4 x 2 ( x 2 ) >0
9 ekstrim relatif.
f (x ) 0 Selanjutnya f (x ) . 0 –sin x = 0
Jadi grafik f cekung ke atas pada se- lang ( 0 , 2 )
atau x . .
Analisis kecekungan grafik f: Grafik f:
Kasus x [ 2 , ] :
f Jelas f(x) < 0. Jadi grafik f cekung ke bawah.
Kasus x [ , 0 ] : Jelas f(x) > 0.
Jadi grafik f cekung ke atas.
O2
Kasus x [ 0 , ] : Jelas f(x) < 0. Jadi grafik f cekung ke bawah.
Gambar 135: f(–1) = –3 = f min. rel. ,
Kasus x [ , 2 ] :
grafik f cekung ke atas
Jelas f(x) > 0.
pada ( , 0 ) dan ( 2 , )
Jadi grafik f cekung ke atas.
dan cekung ke bawah
pada (0,2).
Jadi titik-titik infleksi f adalah ( , ) , Contoh 116
(0,0), dan ( , ) .
Diskusikan ekstrim relatif untuk fungsi Grafik f:
R dengan f(x) = x + sin x.
Penyelesaian:
d ( x sin x Jelas )