Kecekungan Grafik Fungsi

3. Kecekungan Grafik Fungsi

Gambar 128 dan 129 memper- Definisi 84 lihatkan perlunya mengetahui lebih rinci

Dipunyai fungsi f : I R , I R ,f tentang kelakuan suatu fungsi untuk

menggambar grafik fungsi secara lebih kontinu pada I, dan f (x ) ada pada I teliti. Pada kedua gambar berikut ini

kecuali mungkin di titik-titik ujung- fungsi f mempunyai maksimum relatif di

nya.

titik B dan minimum relatif di titik-titik A (a) Grafik f dikatakan cekung ke atas dan C. Demikian pula untuk fungsi g.

apabila f merupakan fungsi naik Akan tetapi kedua fungsi tersebut mem-

pada selang I.

punyai perbedaan kelakuan dalam hal (b) Grafik f dikatakan cekung ke naik atau turunnya. Perbedaan kelakuan

bawah apabila f merupakan ini bergantung dari kecekungan masing-

fungsi turun pada selang I. masing fungsi.

Interpretasi geometri kecekungan suatu fungsi:

B f (a) Grafik fungsi yang cekung ke atas:

Gambar 128: Fungsi f mempunyai maksi- X mum di B dan minimum di

O x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 A dan C. Akan tetapi cekung

ke atas di kiri A dan di kanan nan C.

Gambar 130: Grafik f cekung ke atas.

Tulis s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 , dan s 5 adalah garis- garis singgung pada grafik f di titik-

B titik x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 , dan x 5 dengan x 1 <

x 2 <x 3 <x 4 <x 5.

Jelas m s 1 = f (x 1 ) ,

Gambar 129: Fungsi g mempunyai maksi-

m s 5 = f (x 5 ) .

mum di B dan minimum di A dan C. Akan tetapi cekung

Jelas ... f (x 1 ) < f (x 2 ) < f (x 3 ) <

ke atas di antara A dan B dan

f (x 4 ) < f (x 5 ) < ... .

di antara B dan C.

j\ ¤· · ?P 214

j\ ¤· · ?P 215

Ini menunjukkan fungsi f meles- Teorema 85

tarikan urutan. Dipunyai fungsi f : I R , I R , dan Jadi grafik f naik.

f (x ) ada untuk setiap x I kecuali Dengan demikian grafik f cekung ke

mungkin di titik-titik ujungnya.

atas apabila grafik f naik.

(1) Grafik f cekung ke atas pada I (a) Grafik fungsi yang cekung ke bawah:

apabila f (x ) 0 untuk setiap x I yang bukan titik ujung I.

(2) Grafik f cekung ke bawah

f pada I apabila f (x ) 0 untuk setiap x I yang bukan titik

ujung I.

X Bukti: O x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 (1) Ambil sembarang

x I , x bukan titik

ujung I.

Dipunyai f (x ) 0 .

Gambar 131: Grafik f cekung ke bawah.

Jadi grafik f naik. Jadi grafik f cekung ke atas.

Tulis s 1 ,s 2 ,s 3 ,s 4 , dan s 5 adalah garis- (2) Ambil sembarang x I , x bukan titik garis singgung pada grafik f di titik-

ujung I.

titik x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 , dan x 5 dengan x 1 <

Dipunyai f (x ) 0 . x 2 <x 3 <x 4 <x 5. Jadi grafik f turun.

Jelas m s 1 = f (x 1 ) ,

Jadi grafik f cekung ke bawah.

m s 2 = f (x 2 ) , m s 3 = f (x 3 ) ,

Apabila fungsi f mempunyai turunan

f yang kontinu, Teorema 85 mengisya-

m s 4 = f (x 4 ) , dan

ratkan suatu prosedur untuk menentukan

m s 5 = f (x 5 ) .

selang terbesar sehingga grafik fungsi f Jelas ... < f (x 1 ) > f (x 2 ) > f (x 3 ) > cekung ke atas atau ke bawah, yaitu:

f (x 4 ) > f (x 5 ) > ... .

Ini menunjukkan fungsi f tidak

(1) Tentukan bilangan c sehingga

f (c ) =0 atau f (c ) tidak ada. melestarikan urutan.

Jadi grafik f turun. (2) Bangun selang berdasarkan temuan titik c pada butir (1).

Dengan demikian grafik f cekung ke (3) Periksa tanda f (x ) pada se-

bawah apabila grafik f turun.

lang-selang itu. Berikut ini disajikan teorema yang

mengaitkan kecekungan grafik suatu Seperti dalam mencari selang-selang fungsi dengan nilai turunan kedua fungsi terbesar dengan f naik atau turun, harus tersebut.

diperhatikan baik-baik mengenai bilangan

j\ ¤· · ?P 216

j\ ¤· · ?P 217

C dengan f (c ) = 0 atau f (c ) tidak ada.

Jadi grafik f cekung ke bawah pada [ 0 , ] dan grafik f cekung ke atas pada [ , 2 ] .

Titik-titik pada grafik f yang memi- Jadi titik ( , f ( )) = ( , 0 ) merupakan sahkan busur-busur yang kecekungannya titik infleksi. berbeda disebut titik infleksi.

Contoh 113

Definisi 86 Dipunyai fungsi f : R R yang disajikan Dipunyai 5

f : I R , I R , dan c I .

Titik P(c,f(c)) disebut titik infleksi oleh f ( x ) x 3 .

untuk f, jika f kontinu di x = c dan Periksa kecekungan grafik f. terdapat bilangan h > 0 sehingga

Penyelesaian:

grafik f: Ambil sembarang x R . (1) cekung ke bawah pada selang

(c–h, c) dan cekung ke atas

pada selang (c , c + h),

atau (2) cekung ke atas pada selang

Jelas f (x ) =

dx

(c–h, c) dan cekung ke bawah

pada selang (c , c + h).

Contoh 112

Dipunyai fungsi f: [ 0 , 2 ] R , f(x) = sin x.

Jelas f (x ) = =

1 5 dx

d [ f ( x )] d (sin x )

=cos x

dx

dan

Jadi f (x ) =

d [ f ( x )] d (cos x )

= – sin x.

dx

Jelas f (x ) 0 – sin x = 0

x =0, x = , atau x = 2 . Jelas f ( 0 ) tidak ada dan

Karena f kontinu pada [ 0 , 2 ] , diperiksa

f (x ) =0

x = –1. kecekungan grafik f pada selang [ 0 , ] dan Dengan demikian tanda f (x ) diperiksa [ , 2 ] dengan menguji tanda f (x ) pada pada selang-selang ( , 1 ) , ( 1 , 1 ) , dan

selang-selang

dan

menggunakan Teorema 86 berikut ini:

Tanda

– Selang Uji bil.

f (x )

Cekung –2(1+x)

Gambar 132: Tanda f (x ) .

j\ ¤· · ?P 218

j\ ¤· · ?P 219

Jadi f (x ) positif pada ( , 1 ) , akan teta- Bukti:

pi f (x ) negatif pada ( 1 , 0 ) dan ( 0 , ) . (1) Dipunyai f (a ) 0 . Berdasarkan Teorema 13, disimpulkan:

Jelas f (a ) 0

(a) grafik f cekung ke atas pada se-

lim

lang ( , 1 ] dan

(b) grafik f cekung ke bawah pada se-

lim

lang [ 1 , 0 ] dan [ 0 , ] .

Ini memperlihatkan bahwa titik ( 1 , f ( 1 ))

Pilih

0 sehingga

f ( x = ) ( 1 , ) merupakan titik infleksi, akan

0 apabila x ( a , a ) .

tetapi titik ( 0 , f ( 0 )) = (0,0) bukan merupa- Kasus x ( a , a ) : kan titik infleksi.

Jelas x a x a 0 . Grafik f:

Jadi f (x ) 0 .

Jadi f (x ) 0 pada ( a , a ) .

Jadi grafik f naik pada ( a , a ) . Kasus x ( a , a ) : Jelas x a x a 0 .

6 Jadi f (x ) 0 .

5 Jadi f (x ) 0 pada ( a , a ) . Jadi grafik f turun pada ( a , a ) .

Jadi f(a) suatu maksimum relatif.

–1 O

5 (2) Dipunyai f (a ) 0 .

Jelas

f (a ) 0

Gambar 134: titik ( 1 , 6

5 f ( x ) f ( a lim ) 0 (0,0) bukan titik infleksi.

) titik infleksi

Berikut ini disajikan suatu teorema

lim

yang mengaitkan turunan kedua suatu

0 sehingga fungsi dengan nilai ekstrim relatif fungsi

Pilih

f ( x tersebut. )

0 apabila x ( a , a ) .

Kasus x ( a , a ) : Teorema 87

Jelas x a x a 0 .

Dipunyai fungsi f : I R , I R , dan

Jadi f (x ) 0 .

Jadi f (x ) 0 pada ( a , a ) . ada pada I maka

a I . Jika f (x ) ada pada I dan f (x )

Jadi grafik f turun pada ( a , a ) . Kasus x ( a , a ) :

(1) f (a ) 0 f (a) suatu maksimum Jelas x a x a 0 . relatif,

Jadi f (x ) 0 . (2) f (a ) 0 f (a) suatu minimum Jadi f (x ) 0 pada ( a , a ) . relatif, dan Jadi grafik f naik pada ( a , a ) .

(3) f (a ) 0 tak ada simpulan. Jadi f(a) suatu minimum relatif.

j\ ¤· · ?P 220

j\ ¤· · ?P 221

(3) Bukti (3) diserahkan pembaca seba- (2) Di titik (–1, –3) terjadi perubahan na- gai latihan.

ik turunnya grafik f, yaitu: grafik f turun di kiri –1 dan naik di kanan –1.

Contoh 115 Jadi f(–1) = –3 merupakan nilai Diskusikan ekstrim relatif dan kecekung-

minimum relatif. an fungsi f yang diberikan oleh

d [ f ( x Selanjutnya )]

Jelas f (x ) =

4 8 dx

dx

4 4 Jadi f ( 0 ) tidak ada.

Jadi f ( 0 ) tidak ada.

Jelas f (x )

=0 4 x 3 ( x 2 ) 0

4 4 x = 2.

Jelas f (x ) 0 . x 3 x 3 =0

2 Analisis kecekungan grafik f:

4 x 3 ( x 1 ) =0

3 Kasus x ( , 0 ) :

x = 0.

Jelas x < 0.

Jadi bilangan kritis untuk f adalah x = 0

dan x = –1.

Jadi x 3 0

Uji turunan pertama di x = 0:

x – 2 < –2 < 0. x 5 0

dan x < 0

Jadi 4 x 3 ( x 2 ) >0

f (x )

+ Tidak ada

f (x ) 0 .

Jadi grafik f cekung ke atas pada se-

lang ( , 0 ) .

f (0)

Kasus x ( 0 , 2 ) :

Uji turunan pertama di x = –1:

Jelas x > 0.

Jelas x 3 0

0 dan x < 2

x – 2 < 0.

f 4 (0) 0 Jadi x 2 ( x 2 ) <0

Simpulan:

f (x ) 0 .

(1) Di titik (0,0) tidak terjadi perubahan Jadi grafik f cekung ke bawah pada se- naik turunya grafik f.

lang ( 0 , 2 ) .

Jadi f(0) = 0 bukan suatu ekstrim relatif.

j\ ¤· · ?P 222

j\ ¤· · ?P 223

Kasus x ( 2 , ) : Jelas f ( ) 0 dan f ( ) 0 . Jelas x > 2.

Jadi uji turunan kedua tak memberikan

5 simpulan.

Jelas x 3 0 Jelas f (x ) = 1 + cos x 0 x [ 2 , 2 ] . dan x > 2

x – 2 > 0. Jadi berdasarkan uji turunan pertama

5 disimpulkan fungsi f tidak memiliki Jadi 4 x 2 ( x 2 ) >0

9 ekstrim relatif.

f (x ) 0 Selanjutnya f (x ) . 0 –sin x = 0

Jadi grafik f cekung ke atas pada se- lang ( 0 , 2 )

atau x . .

Analisis kecekungan grafik f: Grafik f:

Kasus x [ 2 , ] :

f Jelas f(x) < 0. Jadi grafik f cekung ke bawah.

Kasus x [ , 0 ] : Jelas f(x) > 0.

Jadi grafik f cekung ke atas.

O2

Kasus x [ 0 , ] : Jelas f(x) < 0. Jadi grafik f cekung ke bawah.

Gambar 135: f(–1) = –3 = f min. rel. ,

Kasus x [ , 2 ] :

grafik f cekung ke atas

Jelas f(x) > 0.

pada ( , 0 ) dan ( 2 , )

Jadi grafik f cekung ke atas.

dan cekung ke bawah

pada (0,2).

Jadi titik-titik infleksi f adalah ( , ) , Contoh 116

(0,0), dan ( , ) .

Diskusikan ekstrim relatif untuk fungsi Grafik f:

R dengan f(x) = x + sin x.

Penyelesaian:

d ( x sin x Jelas )