Turunan Invers Fungsi
6. Turunan Invers Fungsi
Dipunyai fungsi f : R–{–1} R, yang Contoh ini merupakan ilustrasi terha- diberikan oleh f ( x )
x . Jelas f 1 ada dap kebenaran Teorema 61. Bukti untuk x 1 teorema ini fakultatif, dan diserahkan
dengan x 1 ,x –{1} 1. Jelas
1 x pembaca sebagai latihan.
( 1 x ) 2 Dipunyai fungsi f :[0, ] [0,1] dengan f(x)
= sin x. (a) Gambarlah grafik f –1
Berikut ini disajikan suatu teorema (b) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) . untuk menentukan turunan invers suatu
fungsi.
Penyelesaian:
Teorema 61 (a) Daftar nilai f dan f : Jika fungsi f mempunyai turunan pada
selang I dan f ' ( x ) 0 pada I maka f 1 6 4 3 2
0 1 1 mempunyai turunan pada f(I) yang di-
f 2 3 2 2 2 tentukan oleh
(x)
Daftar nilai f dan f –1 : ( f 1 ) ' ( x )
Grafik f dan f –1 :
Contoh 70 Dipunyai fungsi f: R–{–1} R, yang dibe-
1 f rikan oleh –1 f ( x ) . Tentukan ( f )( y ) . x 1 Penyelesaian:
1 Jelas x
dan ( f 1 )( x )
1 Jadi 1 ( f 1 ) ' ( x ) =
f ' [ f 1 ( x )]
1 = 1 = . 1 ( Gambar 93: Grafik f(x) = sin x 1 x ) 2 –1 x
dan f (x) = sin –1 (x). (
j\ ¤· · ?P 144
j\ ¤· · ?P 145
Jelas (sin
d [ f ( x )]
cos x .
1 3 2 1 0 Ambil sembarang x [0,1].
Tulis x = sin y untuk suatu y [0, ].
f (x) 0
2 6 4 3 2 Jadi 1
[ –1 f 1 ( x )] Grafik f dan f :
1 = 1 = f ' (sin 1 x )
cos(sin 1 y )
Tulis sin 2 x =y x = sin y. dx
d (sin y Jadi ) = = cos y. dy
dy Gambar 94: Grafik f(x) = cos x
Jadi –1 = dan f (x) = cos (x). dx
(b) Cara 1:
dy
= sin x . =
1 Jelas f ( x ) =
d [ f ( x )] d (cos x )
dx cos y Ambil sembarang x [0,1]. 1
dx
= –1 Tulis x = cos y y = cos x .
sin(cos 1 x ) Contoh 72
f ' (cos 1 x )
Dipunyai fungsi f :[0, ] [0,1] dengan f(x) 1 cos 2 y
sin y
, x 1 . (a) Gambarlah grafik f
= cos x.
(b) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) . Cara 2:
Penyelesaian: –1 Tulis cos x =y x = cos y. (a) Daftar nilai f dan f –1 :
d (cos y Jadi ) = = – sin y.
0 dy Jadi 1 =
6 4 3 2 dx
dx
f (x)
1 3 2 1 0 dy
2 2 2 = 1 sin y
j\ ¤· · ?P 146
j\ ¤· · ?P 147
(b) Cara 1:
1 cos 2 y
Jelas 1 ( ) = = .
d [ f ( x )] d (tan x )
2 Ambil sembarang x 1 [0, + ). x –1 Tulis x = tan y y = tan x .
Jadi 1 = f ' [ f 1 ( x )]
Contoh 73
Dipunyai fungsi f :[0, ) [0,+ ) dengan
sec 2 (tan 1 x ) (a) Gambarlah grafik f –1
f (x) = tan x.
f ' (tan 1 x )
(b) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) .
(a) Daftar nilai f dan f :
Cara 2:
0 Tulis tan –1 x =y x = tan y.
6 4 3 2 dx
d (tan y )
Daftar nilai f dan f :
1 tan 2 y Grafik f dan f –1 :
= 1 , x > 0.
Contoh 74
Dipunyai fungsi f :[0, ) [1,+ ) dengan
f (x) = sec x. (a) Gambarlah grafik f –1
f –1
2 (b) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) .
Penyelesaian:
(a) Daftar nilai f :
f (x)
Gambar 95: Grafik f(x) = tan x dan f –1
(x) = tan x .
j\ ¤· · ?P 148
j\ ¤· · ?P 149
Daftar nilai f –1 : = 1
= 1 , x 1 . Grafik f dan f –1 : x . x 2 1
Cara 2:
f Tulis sec –1 x =y x = sec y.
d (sec y Jadi ) =
1 Gambar 96: Grafik f(x) = sec x
dan f –1 (x) = sec –1 x . sec y . sec 2 y 1
, x 1 . Jelas f ( x ) =
d [ f ( x )]
d (sec x )
Ambil sembarang x [0, + ).
(a) Dipunyai fungsi f :(0, ] [0,+ ) de- Tulis x = tan y y = tan x .
1 ngan f(x) = cot x.
Jadi ( f 1 ) ' ( x ) = (i) Gambarlah grafik f –1
f ' [ f 1 ( x )]
(ii) Tentukan ( f 1 ) 1 ' ( x ) . =
f ' (tan 1 x )
1 (b) Dipunyai fungsi f :(0, ] [1,+ ) de- =
sin(tan 1 x )
ngan f(x) = csc x.
(i) Gambarlah grafik f = 1
(ii) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) .
sin y
Penyelesaian untuk soal ini diserahkan = 1
cos 2 y
pembaca sebagai latihan.
sin y cos y . cos y
j\ ¤· · ?P 150
j\ ¤· · ?P 151 j\ ¤· · ?P 151
Teorema 62 dx
1 1 d [sec 1 ( 2 x 1 )] 2
(a) d (sin
1 , x 1 d [sec 1 ( 2 x 1 )] d ( 2 x 1 )
dx
d ( 2 x 1 ) dx (cos 1 )
d [sec 1 ( 2 x 1 )]
(b) d x
dx
2 x 1 x x 2 d (tan 1 x )
1 x 2 2 x 1 sec 1 ( 2 x 1 ). x x 2 d (cot 1 x )
(d) 1 ,
dx
d [ f ( x (c) Jelas )]
dx
(e) d (sec x )
1 d [cos 1 ( 1 x ) 2 ] d [( 1 x ) 2 ] d ( 1 x ) (f)
d (csc 1 x )
Contoh 76 cos ( 1 x ) 2 .
Tentukan f ( x ) apabila: (a) f(x) = sin –1 (1 – x),
(b) f(x) = sec 1 ( 2 x 1 ) , dan
(c) f(x) = x . cos 2 (1 – x) . Penyelesaian:
d [ f ( x (a) Jelas )]
7. Turunan Tngkat Tinggi
dx d [sin 1 ( 1 x )]
= Dipunyai fungsi f : I R, I R.
dx
Tulis I* = {a ' If (a) ada}. Jelas bahwa
d [sin 1 ( 1 x )] d ( 1 x )
dx
f (a) dibangun melalui proses limit yang
1 tunggal. Dengan demikian untuk setiap a = '
1 ( 1 x ) 2 I * terdapat satu nilai f (a). Ini memper- lihatkan bahwa pengaitan antara a I * de- = 1
. ngan f 2 ' (a) R membangun suatu fungsi.
Jika f (k) ada untuk setiap k = 1, 2, 3, ..., n
j\ ¤· · ?P 142
j\ ¤· · ?P 143 j\ ¤· · ?P 143
f (x) = x . x .
pertama melalui proses limit. Dengan demikian:
h 0 h Ambil sembarang x R.
h Jelas f (x ) =
f ( n 1 ) ( x h ) f ( n 1 ( )' n ) ( x )
f ( x ) = lim
Kasus x < 0:
apabila limit-limit ini ada.
Jelas f ( x ) =
= – 2x dan
dx
Kasus x = 0:
Contoh 77
Tentukanlah f ( n )
( x ) apabila f ( x ) x n dan
Jelas f ( 0 ) = lim
n adalah bilangan asli.
Penyelesaian:
= lim
Tulis P(n):
Jelas P(1):
Jadi P(1) benar.
Dipunyai P(k) benar. = lim 2 x
d ( x k ) x 0 Jelas
dx
Jelas f ' ( 0 ) = f ' ( 0 ) . Jelas
dx
dx
Jadi f ' ( 0 ) = 0.
Kasus x > 0:
k 1 = x. k k . x +x
= 2x dan = k.x +x
Jelas f ' ( x ) =
dx
= (k + 1).x k = (k + 1).x (k + 1) .
0 , x 0 = 2 . x . Jadi P(n) benar.
Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.
Jadi f ' ( x ) =
Jadi n . x n 1 , n N.
dx
j\ ¤· · ?P 154
j\ ¤· · ?P 155
Jelas f '' ( x ) =
Kasus x = 0:
dx
2 ''
Jelas f ( 0 ) = lim
x 0 d xy )
x 0 Jelas
x 0 Jadi
Jelas f '
Jadi f ' ( 0 ) = tidak ada.
Kasus x > 0:
Jelas f ( x ) =
dx
Contoh 79
Dipunyai fungsi-fungsi f, g: I R ,I R , = 2.
dx
mempunyai turunan pada I. Jika h = f . g, ''
2 , x 0 tunjukkan bahwa
2 , x 0 h ( x ) f ( x ). g ( x ) 2 f ' ( x ). g ' ( x ) g ( x ). f '' ( x ) . Contoh 84
Jadi f ( x ) =
Jika xy = 1, tunjukkan bahwa
2 2 Jelas h '
Jelas dx =1
y 0 Jadi h ( x ) =
dx dx
j\ ¤· · ?P 156
j\ ¤· · ?P 157
d 2 [ g ( x )] d [ g ( x )] d [ f ( x )]
) dx 2 dx
dx
d p ( x )] 1
Gunakan teorema yang disajikan pada dan p '' ( x ) Contoh 79:
(a) Jika h(x) = f(x) . g(x), f(x) = (x + 1),
dan g(x) = sin 2x, tentukanlah h '' ( x ) .
dx
(b) Jika h(x) = 2 , f(x) = sin x, dan g(x) =
x + 1, tentukanlah h '' ( x ) .
Penyelesaian:
(a) Jelas f ( x ) =
d (sin 2 x ) d ( 2 x )
Jadi h ( x )
d (cos 2 x ) d ( 2 x )
dx
Periksalah jawaban pada Contoh 80 = – 4 sin 2x.
dengan menghitung:
Jadi h '' ( x ) = –4(x 2 +1)sin 2x + 2(2x)(2cos 2x)
d [( x 2 1 ). sin 2 x ]
–2sin 2x
dx
= –2(2x +3)sin 2x + 8x.cos 2x.
dan
(b) Tulis 1 p ( x ) .
g ( x ) sin x
' d [ f ( x )]
Jelas f ( x ) =
d (sin x )
d (cos x ) f ''
secara langsung.