Turunan Invers Fungsi

6. Turunan Invers Fungsi

Dipunyai fungsi f : R–{–1} R, yang Contoh ini merupakan ilustrasi terha- diberikan oleh f ( x )

x . Jelas f 1 ada dap kebenaran Teorema 61. Bukti untuk x 1 teorema ini fakultatif, dan diserahkan

dengan x 1 ,x –{1} 1. Jelas

1 x pembaca sebagai latihan.

( 1 x ) 2 Dipunyai fungsi f :[0, ] [0,1] dengan f(x)

= sin x. (a) Gambarlah grafik f –1

Berikut ini disajikan suatu teorema (b) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) . untuk menentukan turunan invers suatu

fungsi.

Penyelesaian:

Teorema 61 (a) Daftar nilai f dan f : Jika fungsi f mempunyai turunan pada

selang I dan f ' ( x ) 0 pada I maka f 1 6 4 3 2

0 1 1 mempunyai turunan pada f(I) yang di-

f 2 3 2 2 2 tentukan oleh

(x)

Daftar nilai f dan f –1 : ( f 1 ) ' ( x )

Grafik f dan f –1 :

Contoh 70 Dipunyai fungsi f: R–{–1} R, yang dibe-

1 f rikan oleh –1 f ( x ) . Tentukan ( f )( y ) . x 1 Penyelesaian:

1 Jelas x

dan ( f 1 )( x )

1 Jadi 1 ( f 1 ) ' ( x ) =

f ' [ f 1 ( x )]

1 = 1 = . 1 ( Gambar 93: Grafik f(x) = sin x 1 x ) 2 –1 x

dan f (x) = sin –1 (x). (

j\ ¤· · ?P 144

j\ ¤· · ?P 145

Jelas (sin

d [ f ( x )]

cos x .

1 3 2 1 0 Ambil sembarang x [0,1].

Tulis x = sin y untuk suatu y [0, ].

f (x) 0

2 6 4 3 2 Jadi 1

[ –1 f 1 ( x )] Grafik f dan f :

1 = 1 = f ' (sin 1 x )

cos(sin 1 y )

Tulis sin 2 x =y x = sin y. dx

d (sin y Jadi ) = = cos y. dy

dy Gambar 94: Grafik f(x) = cos x

Jadi –1 = dan f (x) = cos (x). dx

(b) Cara 1:

dy

= sin x . =

1 Jelas f ( x ) =

d [ f ( x )] d (cos x )

dx cos y Ambil sembarang x [0,1]. 1

dx

= –1 Tulis x = cos y y = cos x .

sin(cos 1 x ) Contoh 72

f ' (cos 1 x )

Dipunyai fungsi f :[0, ] [0,1] dengan f(x) 1 cos 2 y

sin y

, x 1 . (a) Gambarlah grafik f

= cos x.

(b) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) . Cara 2:

Penyelesaian: –1 Tulis cos x =y x = cos y. (a) Daftar nilai f dan f –1 :

d (cos y Jadi ) = = – sin y.

0 dy Jadi 1 =

6 4 3 2 dx

dx

f (x)

1 3 2 1 0 dy

2 2 2 = 1 sin y

j\ ¤· · ?P 146

j\ ¤· · ?P 147

(b) Cara 1:

1 cos 2 y

Jelas 1 ( ) = = .

d [ f ( x )] d (tan x )

2 Ambil sembarang x 1 [0, + ). x –1 Tulis x = tan y y = tan x .

Jadi 1 = f ' [ f 1 ( x )]

Contoh 73

Dipunyai fungsi f :[0, ) [0,+ ) dengan

sec 2 (tan 1 x ) (a) Gambarlah grafik f –1

f (x) = tan x.

f ' (tan 1 x )

(b) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) .

(a) Daftar nilai f dan f :

Cara 2:

0 Tulis tan –1 x =y x = tan y.

6 4 3 2 dx

d (tan y )

Daftar nilai f dan f :

1 tan 2 y Grafik f dan f –1 :

= 1 , x > 0.

Contoh 74

Dipunyai fungsi f :[0, ) [1,+ ) dengan

f (x) = sec x. (a) Gambarlah grafik f –1

f –1

2 (b) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) .

Penyelesaian:

(a) Daftar nilai f :

f (x)

Gambar 95: Grafik f(x) = tan x dan f –1

(x) = tan x .

j\ ¤· · ?P 148

j\ ¤· · ?P 149

Daftar nilai f –1 : = 1

= 1 , x 1 . Grafik f dan f –1 : x . x 2 1

Cara 2:

f Tulis sec –1 x =y x = sec y.

d (sec y Jadi ) =

1 Gambar 96: Grafik f(x) = sec x

dan f –1 (x) = sec –1 x . sec y . sec 2 y 1

, x 1 . Jelas f ( x ) =

d [ f ( x )]

d (sec x )

Ambil sembarang x [0, + ).

(a) Dipunyai fungsi f :(0, ] [0,+ ) de- Tulis x = tan y y = tan x .

1 ngan f(x) = cot x.

Jadi ( f 1 ) ' ( x ) = (i) Gambarlah grafik f –1

f ' [ f 1 ( x )]

(ii) Tentukan ( f 1 ) 1 ' ( x ) . =

f ' (tan 1 x )

1 (b) Dipunyai fungsi f :(0, ] [1,+ ) de- =

sin(tan 1 x )

ngan f(x) = csc x.

(i) Gambarlah grafik f = 1

(ii) Tentukan ( f 1 ) ' ( x ) .

sin y

Penyelesaian untuk soal ini diserahkan = 1

cos 2 y

pembaca sebagai latihan.

sin y cos y . cos y

j\ ¤· · ?P 150

j\ ¤· · ?P 151 j\ ¤· · ?P 151

Teorema 62 dx

1 1 d [sec 1 ( 2 x 1 )] 2

(a) d (sin

1 , x 1 d [sec 1 ( 2 x 1 )] d ( 2 x 1 )

dx

d ( 2 x 1 ) dx (cos 1 )

d [sec 1 ( 2 x 1 )]

(b) d x

dx

2 x 1 x x 2 d (tan 1 x )

1 x 2 2 x 1 sec 1 ( 2 x 1 ). x x 2 d (cot 1 x )

(d) 1 ,

dx

d [ f ( x (c) Jelas )]

dx

(e) d (sec x )

1 d [cos 1 ( 1 x ) 2 ] d [( 1 x ) 2 ] d ( 1 x ) (f)

d (csc 1 x )

Contoh 76 cos ( 1 x ) 2 .

Tentukan f ( x ) apabila: (a) f(x) = sin –1 (1 – x),

(b) f(x) = sec 1 ( 2 x 1 ) , dan

(c) f(x) = x . cos 2 (1 – x) . Penyelesaian:

d [ f ( x (a) Jelas )]

7. Turunan Tngkat Tinggi

dx d [sin 1 ( 1 x )]

= Dipunyai fungsi f : I R, I R.

dx

Tulis I* = {a ' If (a) ada}. Jelas bahwa

d [sin 1 ( 1 x )] d ( 1 x )

dx

f (a) dibangun melalui proses limit yang

1 tunggal. Dengan demikian untuk setiap a = '

1 ( 1 x ) 2 I * terdapat satu nilai f (a). Ini memper- lihatkan bahwa pengaitan antara a I * de- = 1

. ngan f 2 ' (a) R membangun suatu fungsi.

Jika f (k) ada untuk setiap k = 1, 2, 3, ..., n

j\ ¤· · ?P 142

j\ ¤· · ?P 143 j\ ¤· · ?P 143

f (x) = x . x .

pertama melalui proses limit. Dengan demikian:

h 0 h Ambil sembarang x R.

h Jelas f (x ) =

f ( n 1 ) ( x h ) f ( n 1 ( )' n ) ( x )

f ( x ) = lim

Kasus x < 0:

apabila limit-limit ini ada.

Jelas f ( x ) =

= – 2x dan

dx

Kasus x = 0:

Contoh 77

Tentukanlah f ( n )

( x ) apabila f ( x ) x n dan

Jelas f ( 0 ) = lim

n adalah bilangan asli.

Penyelesaian:

= lim

Tulis P(n):

Jelas P(1):

Jadi P(1) benar.

Dipunyai P(k) benar. = lim 2 x

d ( x k ) x 0 Jelas

dx

Jelas f ' ( 0 ) = f ' ( 0 ) . Jelas

dx

dx

Jadi f ' ( 0 ) = 0.

Kasus x > 0:

k 1 = x. k k . x +x

= 2x dan = k.x +x

Jelas f ' ( x ) =

dx

= (k + 1).x k = (k + 1).x (k + 1) .

0 , x 0 = 2 . x . Jadi P(n) benar.

Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.

Jadi f ' ( x ) =

Jadi n . x n 1 , n N.

dx

j\ ¤· · ?P 154

j\ ¤· · ?P 155

Jelas f '' ( x ) =

Kasus x = 0:

dx

2 ''

Jelas f ( 0 ) = lim

x 0 d xy )

x 0 Jelas

x 0 Jadi

Jelas f '

Jadi f ' ( 0 ) = tidak ada.

Kasus x > 0:

Jelas f ( x ) =

dx

Contoh 79

Dipunyai fungsi-fungsi f, g: I R ,I R , = 2.

dx

mempunyai turunan pada I. Jika h = f . g, ''

2 , x 0 tunjukkan bahwa

2 , x 0 h ( x ) f ( x ). g ( x ) 2 f ' ( x ). g ' ( x ) g ( x ). f '' ( x ) . Contoh 84

Jadi f ( x ) =

Jika xy = 1, tunjukkan bahwa

2 2 Jelas h '

Jelas dx =1

y 0 Jadi h ( x ) =

dx dx

j\ ¤· · ?P 156

j\ ¤· · ?P 157

d 2 [ g ( x )] d [ g ( x )] d [ f ( x )]

) dx 2 dx

dx

d p ( x )] 1

Gunakan teorema yang disajikan pada dan p '' ( x ) Contoh 79:

(a) Jika h(x) = f(x) . g(x), f(x) = (x + 1),

dan g(x) = sin 2x, tentukanlah h '' ( x ) .

dx

(b) Jika h(x) = 2 , f(x) = sin x, dan g(x) =

x + 1, tentukanlah h '' ( x ) .

Penyelesaian:

(a) Jelas f ( x ) =

d (sin 2 x ) d ( 2 x )

Jadi h ( x )

d (cos 2 x ) d ( 2 x )

dx

Periksalah jawaban pada Contoh 80 = – 4 sin 2x.

dengan menghitung:

Jadi h '' ( x ) = –4(x 2 +1)sin 2x + 2(2x)(2cos 2x)

d [( x 2 1 ). sin 2 x ]

–2sin 2x

dx

= –2(2x +3)sin 2x + 8x.cos 2x.

dan

(b) Tulis 1 p ( x ) .

g ( x ) sin x

' d [ f ( x )]

Jelas f ( x ) =

d (sin x )

d (cos x ) f ''

secara langsung.