Tinjau Ulang Prakalkulus Limit Kekontinu (1)
KATA PENGANTAR
Buku ajar ini merupakan rancangan kegiatan belajar mengajar matakuliah Kalkulus 1. Matakuliah ini diberikan pada semester 1 tahun pertama bersama program D3 dan S1 di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dengan bobot 3 satuan kredit semester (3 SKS).
Tujuan kurikuler matakuliah Kalkulus 1 adalah: “Mahasiswa memahami konsep fungsi, kekontinuan fungsi, limit fungsi, turunan fungsi, dan aplikasinya pada masalah-masalah yang dihadapi di matematika dan kehidupan sehari-hari”.
Untuk dapat mengikuti matakuliah Kalkulus 1 mahasiswa harus sudah memahami matematika sekolah, khususnya matematika di SMA.
Agar perkuliahan dapat berhasil secara optimal, perkuliahan dilaksanakan dalam 2 kali pertemuan setiap minggu dengan masing-masing pertemuan 2 x 50 menit. Dengan cara ini mahasiswa akan lebih sering belajar, latihan, dan berdiskusi dengan dosen dibandingkan dengan jika perkuliahan diberikan 1 kali pertemuan (3 x 50 menit). Dengan cara ini diharapkan mahasiswa mencapai hasil belajar yang lebih baik.
Permasalahan matematika pada umumnya dan kalkulus pada khususnya memerlukan pendalaman teori, dan latihan soal yang banyak. Dengan demikian kegiatan belajar mahasiswa tidak cukup dilayani di kelas, dengan demikian mahasiswa harus memperkaya pengetahuan sendiri melalui tugas, baik yang ditetapkan dosen maupun yang dipilih mahasiswa sendiri. Pendekatan yang dipilih adalah pendekatan berbasis strategi dan pelaporannya menggunakan algoritma. Algoritma didefinisikan sebagai seperangkat langkah yang tersusun secara deduktif, setiap langkah dibuka dengan suatu kata pembuka yang merupakan alur berpikir. Setiap memecahkan masalah dilalui dengan suatu diskusi yang aktif dan efisien. Bahan bacaan wajib minimum dan tugas di luar kelas untuk perkuliahan ini dapat dilihat pada daftar pustaka yang dilampirkan.
Untuk memperoleh data kelulusan mahasiswa dilaksanakan 2 kali ujian, yaitu ujian tengah semester (100 menit) dan ujian akhir semester (120 menit). Selain kedua ujian itu direncanakan pula 2 kali ujian formatif masing-masing 50 menit sebelum dan sesudah ujian tengah semester. Nilai akhir mahasiswa ditetapkan berdasarkan pembobotan ujian dan tugas lain sesuai dengan peraturan yang berlaku di Universitas masing-masing.
Semarang, 18 April 2008 Penulis,
Drs. Moch Chotim, M.S. NIP. 130781008
Konsep-konsep dan prinsip matematika yang telah diperoleh di sekolah merupakan prasyarat untuk belajar kalkulus. Konsep dan prinsip ini perlu diingatkan kembali sebagai penyegaran dan pendalaman.
1. Sistem Bilangan
Bilangan-bilangan real dapat di- Terdapat tiga tipe bilangan real yang gambarkan oleh himpunan semua titik yang penting, yaitu bilangan-bilangan bulat, bi-
terletak pada suatu garis. Pertama dipilih langan-bilangan rasional, dan bilangan- sebuah titik O pada garis itu yang dipakai bilangan tak rasional. Bilangan-bilangan sebagai titik pangkal. Selanjutnya dipilih bulat adalah: ukuran satuan dan tempatkan titik-titik
..., – 3, –2,–1, 0, 1, 2, 3, ... . pada garis yang terletak satu satuan di Bilangan-bilangan bulat dapat ditulis dalam
sebelah kanan O. Titik itu ditandai dengan bentuk desimal dengan di kanan koma
1 (satu). Cara ini digunakan untuk memberi desimal hanya terdiri nol, sebagai contoh: skala garis bilangan itu dan juga untuk
2 = 2, 000... = 2, 0 , mempertimbangkan letak setiap bilangan
real. Sebagai contoh, setiap bilangan real
12 = 12,000... = 12, 0 , dan negatif – s terletak s satuan di kiri O.
s satuan
r satuan
dengan tanda ” ” dibaca ”bar” berarti angka nol diulang tanpa akhir. Bilangan-
0 –3 bilangan rasional adalah bilangan-bilangan –2 –1 1 2 3 4
yang dapat dinyatakan sebagai:
–s
Gambar 1: Garis Bilangan
a dan b bilangan-bilangan bulat, dan b 0.
j\ ¤· · ?P 001
j\ ¤· · ?P 002
1 0 Ini suatu kontradiksi. , 5 0 1 0 Ini suatu kontradiksi. , 5 0
25 2 , 27 , dan
11 diameter suatu lingkaran juga termasuk
bilangan tak rasional.
Terdapat lambang-lambang baku untuk Contoh 1: mengenali himpunan-himpunan bilangan,
Tunjukkan bahwa 2 , 63 adalah bilangan ra- misalnya:
sional. R = {x x bilangan real}, Bukti:
N ={x x bilangan asli},
Z ={x x bilangan bulat}, Tulis 2 , 63 = x.
Q ={x x bilangan rasional},dan Jelas 100x = 263 , 63 .
Q c ={x x bilangan tak rasional}. Jadi 99x = 261
Jelas N = {1, 2, 3, ...} dan x 261 = . Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.
Ini menunjukkan x = 2 , 63 merupakan sua-
tu bilangan rasional.
2. Operasi Pada R
Bilangan-bilangan real yang tak dapat dinyatakan sebagai a , a dan b bilangan- Operasi jumlah pada R merupakan fungsi
R bilangan bulat, dan b
b “+”: R x R
x +y bilangan tak rasional.
0 disebut bilangan-
(x,y)
dan operasi kali pada R merupakan fungsi
R Contoh 2:
“x”: R x R
(x,y)
x x y.
Tunjukkan bahwa 2 merupakan bilangan
tak rasional. Operasi jumlah dan kali pada R memenuhi Bukti:
sifat-sifat berikut.
Andaikan 2 merupakan bilangan rasional.
2 Tulis a , a,b B ,b
0, dan (a,b) = 1. Jika x, y, x R , berlaku:
2 2 (1) Sifat komutatif
Jadi a = 2b . x + y = y + x dan Jadi a 2 merupakan kelipatan 2.
x .y = y.x.
Jadi a merupakan kelipatan 2.
(2) Sifat asosiatif
Tulis a = 2m untuk suatu m bilangan bulat.
2 2 2 2 x + y + z = x + (y + z) = (x + y) + z Jadi 4m = 2b
x.y.z = x . (y . z) = (x . y) . z Jadi b merupakan kelipatan 2.
b = 2m .
(3) Sifat distributif
Jadi b kelipatan 2. x. (y + z) = x . y + x . z Jadi (a,b) > 1.
(x . y) . z = x . z + y . z
j\ ¤· · ?P 003
j\ ¤· · ?P 004
(4) Unsur identitas
Teorema 2
Terdapat unsur-unsur 0 dan 1 yang memenuhi
Jika x, y, z, c R maka (i) x=y, x<y, atau x>y,
x +0=0+x x R dan (ii) x<y dan y < z
x < z, x .1=1.x x R .
x+c < y + c, (5) Unsur balikan
(iii) x<y
(iv) x<y dan c > 0 x.c < y . c, xR –x R x + (–x) = 0 dan
Kelima sifat di atas dikenal dengan sifat Contoh 3 lapangan (field). Jadi R merupakan suatu Tentukan himpunan selesaian pertidaksa- lapangan.
maan: (a) x + 2 < 5, x R dan (b) 3x 9 ,x R .
Operasi selisih pada R merupakan fungsi 2
Penyelesaian:
“–“: R x R
(a) Jelas x + 2 < 5
(x,y)
x + (– y)
x + 2 + (–2) < 5 +(–2) dan operasi kali pada R merupakan fungsi
x < 3.
“:” : R x R
Jadi HS = { x R x < 3}. (x,y)
xxy .
(b) Jelas 3x 9
3 .( 2 ). x
Jadi HS = { x R x 6 }.
3. Urutan pada R
Berikut ini disajikan beberapa kesepa- Terdapat urutan baku pada R. Jika katan untuk menyatakan selang-selang pada garis bilangan letak b terletak di pada R. Apabila a, b R , didefinisikan: kanan a, dikatakan b lebih dari a dan ditulis
(1) (a,b) = { x R a < x < b}, dengan
(2) [a,b) = { x R a x < b},
b > a. (3) (a,b] = { x R a <x b }, Tentu saja sama artinya apabila dika-
takan a kurang dari b dan ditulis (4) [a,b] = { x R a x b },
a < b. (5) [a,+ )={x R x a }, dan Definisi 1
(6) (– , a] = { x R x a }. Dipunyai a, b R .
a <b
b –a 0 Contoh 4
dan 2 Tentukan himpunan selesaian x – x –2 4.
a < b, a = b atau a > b.
Penyelesaian:
2 Jelas x 2 –x–2 4 x –x–6 0 (x + 2)( x – 3) 0.
Titik-titik pembuat nol ruas kiri adalah –2 dan 3.
j\ ¤· · ?P 005
j\ ¤· · ?P 006
Nilai (x + 2), (x – 3), dan (x + 2)(x – 3) pa-
4. Norm Baku di R
dan selang (– ,–2),( –2,3), dan (3, + ): Pada garis bilangan berikut ini jarak 2
(x + 2)
ke 5 adalah 3, ditulis j(2,5) = 3. Demikian
3 pula jarak 5 ke 2 juga 3, ditulis j(5,2) = 3. ––– –––
(x + 2)(x – 3)
2 – 5 = –3 < 0 dan 5 – 2 = 3.
–2 3 Gambar 2: Daerah nilai (x + 2), (x – 3),
Berdasarkan fakta ini perlu didefinisikan
dan (x + 2)(x – 3).
konsep jarak dua titik di R sebagai berikut: dipunyai a, b
R , jarak a ke b didefini- Jadi HS = (– ,–2] [3, + ).
sikan sebagai
b a apabila b a 0
Teorema 3
J (a,b) =
a b apabila a b 0
Dipunyai a, b R .
(a) 0 a b a 2 b 2 ,
Dengan demikian jarak x 0 ke 0 sama
0 a b 1 (b) 1 , dengan jarak 0 ke x 0 , ditulis dengan
(c) a b 0 a 2 b 2 , dan
x apabila x 0
1 1 J (x,0) = j(0,x) =
(d) a b 0 .
x apabila x 0
Bukti (a): Selanjutnya, jarak x ke x ditulis j(x,x) = 0. sebagai contoh j(7,7) = 0 dan j(0,0) = 0.
Dipunyai 0 a b .
Jelas a > 0, b > 0, dan a b. Definisi 4
Jelas a + b > 0 dan a – b 0.
2 2 Jika x
R , J(x,0) ditulis dengan x
Jadi (a + b)(a – b) 0 a –b 0
2 2 yang dibaca “nilai mutlak x” didefini-
sikan sebagai:
Jadi 0 a b a 2 b 2 .
x apabila x 0
x apabila x 0
Bukti (b): Dipunyai 0 a b .
Jelas a > 0, b > 0, dan a b. Contoh 5
Jelas a.b > 0 dan a – b 0. Tentukan 2 , 3 , dan 1 .
Jadi
ab b a a b Penyelesaian:
1 1 (a) Jelas 2 > 0.
Jadi 0 a b .
Jadi 2 = 2.
a b Bukti lainnya diserahkan pembaca sebagai (b) Jelas 3 0 .
latihan. 2
j\ ¤· · ?P 007
j\ ¤· · ?P 008
Jadi 3 = ( 3 ) 3 .
Kasus a > 0:
2 2 2 Jelas a c a c . (c) Dipunyai
Jelas – a < 0.
Jadi 1 –
a > –c. Jadi 1 = –(1 – )= – 1.
Jadi – a < c
Jadi –c a c . Jadi a c –c a c . Berikut ini disajikan beberapa teorema ( ) Dipunyai –c a c . yang penting tentang nilai mutlak.
Ambil sembarang a R . Kasus a < 0:
Teorema 4 Jelas –c a c c a c (1) a a a R .
c a c . (2) ab a . b a , b R .
Jadi a c .
(3) Jika c > 0 maka
Kasus a = 0:
a c –c
Jelas 0 c a c . (4) a a a a R .
Kasus a > 0:
(5) a b a b a , b R .
Jelas –c a c c a c .
Jadi a c .
Bukti (1): Jadi –c a c a c . Ambil sembarang a R .
Bukti lainnya diserahkan pembaca sebagai Kasus a < 0:
latihan.
Tulis a = –m untuk suatu m > 0. Jelas a m
( m ) m dan
Teorema 5:
a m m . Untuk setiap a, b R berlaku:
Jadi a a . (a) a b a b dan
Kasus a = 0:
(b) a b a b .
Jelas – a = 0. Jadi a a = 0.
Bukti:
Kasus a > 0: (a) Ambil sembarang a,b R . Jelas – a < 0. Jelas a = ( a b ) b a b b dan
Jadi a a dan a ( a ) a .
b = ( b a ) a b a a . Jadi a a .
Jadi a b a b dan ( a b ) a b . Jadi a a a R .
Jadi a b a b .
Bukti (3): (b) Ambil sembarang a,b R . Dipunyai c > 0.
Jelas a b = a (b ) ( ) Ambil sembarang a R .
a b Dipunyai a c .
= a b . Kasus a < 0:
Jadi a b a b a , b R .
Jelas a c –a c a –c. Jadi –c a c .
j\ ¤· · ?P 009
j\ ¤· · ?P 010
Contoh 5 (c) Ambil sembarang x R – {3}. Tentukan HS pertidaksamaan berikut ini:
Jelas x 3.
(a) x 5 4 (c)
0 Jadi (x – 3) > 0. x 3 Jadi x
x (x – 3) 0. (b) x 1 2 x 7 (d)
x 3 Selanjutnya daerah nilai x, (x – 3), dan x (x – 3) diperlihatkan pada gambar be-
Penyelesaian:
rikut ini.
(a) Cara 1: Ambil sembarang x R .
Kasus x – 5 < 0:
Jelas x < 5.
Jelas x 5 4 –(x – 5) 4 0 3
+++ ––– +++ –x + 5 4 x (x – 3)
x 1. 3
Jadi HS 1 = [1, 5).
Gambar 3: Daerah nilai x, (x – 3),
Kasus x – 5 0:
dan x(x + 3).
Jelas x 5.
Jelas x 5 4 x–5 4 Jadi HS = [0, 3]. x 9.
Jadi HS 2 = [5, 9]. Jadi HS = [1, 5)
(d) Ambil sembarang x R – {3}.
Jelas x – 3 0.
Cara 2:
Jadi x 3 0 .
Ambil sembarang x R .
Jelas x 5 4 –4 x –5 4 Jadi
0 x 3.
1 x 9. Jadi HP = (– , 0].
Jadi HS = [1, 9]. (b) Ambil sembarang x R .
Kasus x < – 1:
Jelas x 1 2 x 7 –(x + 1) >2x – 7 –x – 1 > 2x – 7
x < 2.
4. Bidang Koordinat
Jadi HS 1 = (– ,–1). Kasus x – 1:
Jelas x 1 2 x 7 x + 1 > 2x – 7
Untuk menganalisis hubungan antara
–x > – 8
dua variabel, sebagai contoh:
(a) hubungan antara waktu dan jarak Jadi HS 2 = [– 1, 8).
x < 8.
yang ditempuh suatu partikel yang Jadi HS = (– ,–1) [– 1, 8) = (– ,8).
bergerak sepanjang garis, (b) hubungan antara tekanan dan tem- peratur suatu gas ideal,
j\ ¤· · ?P 011
j\ ¤· · ?P 012 j\ ¤· · ?P 012
(a) pilih titik O sebagai titik pangkal,
(b) melalui titik O dibangun sumbu
B(–1,3)
datar dan sumbu tegak yang selan- jutnya berturut-turut disebut dengan
A(4,1)
sumbu X dan sumbu Y, (c) bagian positif sumbu datar adalah
sumbu datar yang letaknya di kanan
D(2,–1)
titik pangkal O, (d) bagian positif sumbu tegak adalah
C(–4, –3)
sumbu tegak yang letaknya di atas titik pangkal,
Gambar 5: Posisi beberapa titik
(e) bidang yang dibangun oleh sumbu
pada bidang koordinat
datar dan sumbu tegak disebut bidang koordinat XOY,
Jarak titik-titik A, B, C, dan D ke sumbu X (f) setiap titik pada bidang XY berpa- berturut-turut adalah: danan dengan sepasang bilangan
1 1 , 3 3 , 3 3 , dan 1 1 . real (x o ,y o ) yang disebut koordinat Sedangkan jarak titik-titik A, B, C, dan D titik tersebut.
ke sumbu Y berturut-turut adalah: Perhatikan titik P pada bidang koordinat
4 4 , 1 1 , 4 4 , dan 2 2 . berikut ini.
Gambar berikut memperlihatkan dua
titik P ( x 1 , y 1 ) dan Q ( x 2 , y 2 ) .
P(x o ,y o )
YX
Gambar 4: Bidang koordinat Gambar 6: Jarak titik P ke titik Q
Titik-titik Q dan R berturut-turut merupa- kan projeksi titik P pada sumbu X dan Jarak titik P ke titik Q ditulis j(P, Q). sumbu Y.
2 Jelas j(P, Q) = 2
Tulis j(PQ) = y o dan j(PR) = x o .
2 2 Jelas y o =y o dan x o =x o .
2 x 1 ) ( y 2 y 1 ) Selanjutnya x o disebut koordinat x titik P, Contoh 6
y o disebut koordinat y titik P, dan (x o ,y o ) Tentukan jarak antara dua titik berikut: disebut koordinat titik P.
(a) A(– 3, 1) dan B(1, – 2) (b) P(1,1) dan Q(–1,–7)
j\ ¤· · ?P 013
j\ ¤· · ?P 014
Penyelesaian: jari lingkaran dan titik tertentu disebut titik
2 2 (a) Jelas j(A, B) = pusat lingkaran. ( 1 3 ) ( 2 1 )
= 25 = 5. Sekarang akan dicari persamaan (b) Jelas j(A, B) = ( 1 1 ) 2 ( 7 1 ) 2 lingkaran yang berpusat di titik O(0,0) dan
ukuran jari-jarinya r.
Contoh 7 Tentukan persamaan lintasan titik-titik yang berjarak sama dari titik A(4,3) dan B(–5, –1). Penyelesaian:
Y P(x,y)
P(x,y)
A(4,3)
Gambar 8: Lingkaran berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r
Ambil sembarang titik P(x,y) pada lingkar-
B(–5, –1)
an. Jelas j(O,P) = r
( x 0 ) 2 ( y 0 ) 2 r Gambar 7: Lintasan titik-titik yang berjarak sama dari titik
A ke B.
2 2 Ambil sembarang titik P(x,y) pada lintasan. 2 Tampilan x y r merupakan persama- Jelas j(P, A) = j(P, B)
an lingkaran berpusat di titik O(0,0) dan ( x 4 ) 2 ( y 3 ) 2 = ( x 5 ) 2 ( y 1 ) 2 berukuran jari-jari r.
9x 1 y
4 8 Contoh 8
Ini menunjukkan bahwa lintasannya meru- (a) Tentukan persamaan lingkaran ber- pakan suatu garis lurus.
jari-jari 4 dan berpusat di titik A(2,3).
Jelaskan dan sket grafik yang persamaan-
2 nya x 2 +y + 6x – 2y + 6 = 0.
5. Lingkaran
Penyelesaian:
Lingkaran adalah lintasan titik-titik (a) Ambil sembarang titik P(x,y) pada yang berjarak sama ke suatu titik tertentu.
lingkaran.
Selanjutnya, jarak yang tetap disebut jari-
Jelas j(P,A) = 4
j\ ¤· · ?P 015
j\ ¤· · ?P 016
( x 2 ) 2 ( y 3 ) 2 16 melinearkan model-model yang diperoleh dengan cara mencari suatu garis lurus yang
merupakan hmpiran terbaik sebagai hu-
2 2 bungan dua variabel itu yang masih dibe- (b) Jelas x +y + 6x – 2y + 6 = 0
narkan.
2 (x 2 +2.(3x).1+9)+( y – 2.y.1+1) = 4 Jika P(x 1 ,y 1 ) dan Q(x 2 ,y 2 ) merupakan
2 2 (x + 3) 2 + (y – 1) =2 . dua titik berbeda membangun suatu garis merupakan persamaan lingkaran berpu (sebut dengan garis l). Kemiringan atau sat di titik (– 3,1) dan berukuran jari- gradien garis l diberi lambang m l didefin- jari 2.
isikan sebagai perbandingan garis berarah Gambar lingkaran itu adalah sebagai vertikal dan garis berarah horizontal dari P
berikut:
ke Q atau dari Q ke P.
Gambar 9: Lingkaran berpusat di Gambar 10: Garis PQ melalui titik P(–3, 1) dan berukur-
P(x 1 ,y 1 ) dan Q(x 2 ,y 2 ) an jari-jari 2.
Berdasarkan definisi, dapat ditentukan:
Tentukan persamaan garis l yang mempu- nyai gradien m dan melalui titik A(x 1 ,y 1 )! Persamaan yang grafiknya merupa- kan garis lurus sangat penting di dalam Penyelesaian: kalkulus. Masalah mendasar seluruh objek Ambil sembarang titik P(x, y) pada garis l. adalah mencari persamaan garis singgung
6. Persamaan Linear
y Jelas m = y 1
m ( x x suatu kurva di suatu titik yang diketahui. )
Secara umum, garis merupakan gambar y = mx + b, b = y 1 – mx 1 . hubungan antara dua variabel. Biasanya
j\ ¤· · ?P 017
j\ ¤· · ?P 018
Contoh 10 Garis vertikal mempunyi sifat bahwa Tentukan persamaan garis lurus yang:
setiap titik ada garis ini mempunyai koor- (a) melalui titik (3,6) dan mempunyai dinat x yang sama. Sedangkan garis hori- kemiringan m = 3.
zontal mempunyai sifat bahwa setiap titik (b) Melalui titik-titik A(–2,3) dan pada garis ini mempunyai koordinat y yang B(2,– 3).
sama. Perhatikan Gambar 12 berikut ini: Penyelesaian:
Y v: x =1
(a) Tulis f: garis yang diminta. Ambil sembarang titik P(x,y) pada f. y 6 y Jelas m = 6 3=
Jadi f: y = 3x – 3. (b) Tulis g: daris yang diminta.
Gambar 12: Garis h horizontal dan m
3 Jelas 3
garis v vertical.
Ambil sembarang titik P(x,y) pada g.
3 y Jadi g: 3
3 x 3 y 3 Teorema 6
Dipunyai dua garis berbeda yang
3x
2 memiliki persamaan
Contoh 11
f :y=m 1 x +b 1 dan g: y = m 2 x +b 2 . Tentukan kemiringan dan koordinat titik
m 1 =m 2 Penyelesaian:
potong garis g: 2x + 4y – 6 = 0.
(a) f // g
g m 1. m 2 = –1. Jelas 2x + 4y – 6 = 0
(b) f
1x 3 .
Buktinya sederhana, diserahkan pembaca Jadi m
sebagai latihan.
Tulis g ( x )
2 2 Contoh 12
Jelas g ( 0 ) 3 .
2 Dipunyai garis f: y – 3x – 4 = 0. Tentukan:
3 Jadi grafik g memotong sumbu Y di (0, (a) persamaan garis g yang sejajar ) .
2 dengan garis g dan melalui titik (3,0).
(b) Persamaan garis h yang tegak lurus
2 garis f dan melalui titik (–3, 2). Penyelesaian:
(a) Jelas y – 3x – 4 = 0
y = 3x + 4.
Jadi m f = 3.
g Dipunyai garis g // f.
Gambar 11: Grafik g: 2x + 4y – 6 = 0
Jadi m g =m f = 3.
j\ ¤· · ?P 019
j\ ¤· · ?P 020
Dipunyai garis g melalui titik (3,0).
Jadi g: y – 0 = 3(x – 3)
y = 3x – 9.
(b) Dipunyai h (x,y) f. Jadi m h .m f = –1
=– X .
Dipunyai garis h melalui titik (–3, 2).
Jadi h: y – 2 = – 1 (x + 3)
Gambar 13: Grafik fungsi f: A B. 3
f(x)
7. Fungsi
Gambar 14: Fungsi g: A
B sebagai suatu
Pengertian fungsi merupakan suatu
pemetaan.
hal yang mendasar dalam kalkulus. Berikut Himpunan A disebut daerah asal (domain) ini disajikan definisi fungsi. fungsi f diberi lambang D f , dan
Definisi 7 {y B (x,y) f } disebut daerah hasil (range) fungsi f dan di-
Dipunyai himpunan A dan B. Suatu
beri lambing R f .
fungsi f dari himpunan A ke B merupa-
kan pasang terurut f A x B sehingga:
Contoh 13
(1) x A y B ( x , y ) f dan
Periksa pengaitan-pengaitan berikut ini
(2) (x,y) f dan (x,z) f y = z.
merupakan fungsi atau bukan:
(a) f: R
R , f(x) = x, (b) g: R 3 R , g(x) = x , dan
2 Selanjutnya apabila (x,y) 2 f , ditulis (c) h: [–5,5] [–5,5], x +y = 25. y = f(x)
Penyelesaian:
atau (a) Ambil sembarang x R.
f :x
Jelas x = f(x). Pilih y = x.
yang menyatakan y sebagai nilai f di x.
Jelas y = f(x).
Suatu fungsi dari A ke B digambarkan Jadi x R y R y f (x ) . sebagai suatu grafik (Gambar 13), dan
Ambil sembarang a, b R , a = b. sebagai suatu pemetaan (Gambar 14).
Jelas f(a) = a = b = f(b). Jadi a , b R , a = b, f(a) = f(b). Jadi f suatu fungsi.
j\ ¤· · ?P 021
j\ ¤· · ?P 022
(b) Ambil sembarang x R .
Jelas x R . Pilih y = x 3 .
Jelas y = f(x).
Jadi x R y R y f (x ) .
Ambil sembarang a, b R , a = b.
3 Jelas f(a) = a 3 =b = f(b).
Jadi a , b R , a = b, f(a) = f(b). Jadi f suatu fungsi.
Gambar 17: Grafik x 2 +y 2 = 25
(c) Pilih x = 3 [–5,5].
2 2 2 bukan merupakan fungsi
Jelas 3 +y = 25
y = 16
y = –4 y = 4.
Ini berarti
Contoh 14
Tentukan daerah asal, daerah hasil, dan Jadi h bukan suatu fungsi.
a ,b [–5,5], a = b, h(a) h (b).
sket setiap grafik fungsi f berikut ini:
(d) f(x) = Gambar situasinya:
(a) f(x) = x
(b) f(x) = x + 1 (e) f(x) = x 2 2 x
f (c) f(x) = x
(f) f(x) = x 2 2 x
Penyelesaian:
X (a) Jelas D f = R dan R f = [0,+ ).
Daftar nilai f:
Gambar 15: Grafik f(x) = x
Grafik f:
g (x) Gambar 16: Grafik f(x) = x 2 3 Gambar 18: Grafik f(x) = x
j\ ¤· · ?P 023
j\ ¤· · ?P 024
(b) Dipunyai f(x) = x + 1.
Grafik f:
Jelas D f = R dan R f = R.
Daftar nilai f:
Grafik f:
f (-1,0)
YX (1,2)
(0,1) 2 Gambar 21: Grafik f(x) = x
1 (-1,0)
Gambar 19: Grafik f(x) = x + 1
(e) Jelas x – 2x > 0
x (x – 2) > 0 x <0 x > 2.
Jadi D f = (– ,0)
(2,+ ) dan
(c) Jelas D f = R dan R f = [0,+ ).
R f = (0,+ ).
Daftar nilai f:
Daftar nilai f: x ... –2 –1 0 1 2 ...
x 2 ... 2 1 0 1 2 ...
x ... –3 –2 2 3 ... x 2 ... 3 0 0 3 ...
Grafik f:
Grafik f:
(-3,3)
f f (-2,2)
(2,0) Gambar 20: Grafik f(x) = x Gambar 22: Gambar f(x) = x 2 2 x x 2 1
(d) Jelas f(x) =
= x + 1, x
x 1 (f) Jelas f(x) = x 2 2 x Jelas D f = R – {1} dan R f = R – {2}.
Daftar nilai f:
x ... –2 –1 0 1 2 ...
Jelas R f = R dan D f = [0,+ ).
x ... –1 0 1 2 3 ...
j\ ¤· · ?P 025
j\ ¤· · ?P 026
Grafik f:
Gambar 24: Grafik f(x) = x
Gambar 23: Gambar f(x) = x 2 2 x
Contoh 15 Berikut ini disajikan beberapa sifat fungsi.
Jika x R , x didefinisikan sebagai bi- langan bulat terbesar yang kurang dari atau Definisi 9
sama dengan x.
B . Dipunyai f: R
Dipunyai fungsi f: A
B , f(x) = x . Fungsi f dikatakan satu-satu (injective)
Periksa apakah f merupakan fungsi atau jika untuk setiap dua unsur beda di A bukan.
mempunyai peta yang beda. Definisi Penyelesaian:
ini dapat disajikan secara formal seba- Ambil sembarang x R .
gai berikut:
f (x 2 ). Jelas y B dan y = f(x).
Pilih y = maks {b B b x }.
x 1 ,x 2 A ,x 1 x 2 , f(x 1 )
Jadi x R y B y = f(x). Contoh 16
Ambil sembarang x B .
Pilih y = x R . Periksa fungsi-fungsi berikut merupakan Jelas f(y) = f(x) = x = x.
fungsi injektif atau bukan. Jadi x B y R y = f(x).
(a) f: R 3 R , f(x) = x dan Jadi f merupakan suatu fungsi. 2 (b) g: R R , g(x) = x – 1.
Dengan mudah dapat dihitung bahwa:
Penyelesaian:
f ([–2, –1)) = –2,
f ([–1, 0)) = –1, (a) Ambil sembarang x 1 ,x 2 R ,x 1 x 2 .
f ([0, 1)) = 0,
Jelas
f ([1, 2)) = 1, ( x 1 x 2 ) 0 dan ( x 2 1 x 1 . x x 2 2 1 ) 0 .
f ([n – 1, n)) = n – 1.
j\ ¤· · ?P 027
j\ ¤· · ?P 028
= x 3 x 3 Pilih y g 1 (y) = x. 2 2
Jelas g(y) = x
y –1=x
= 2 ( x x )( x 2 x . x x 2
y =x+1
Jadi f(x 1 ) – f(x 2 ) 0. Jelas y R .
x [–1,+ ), y R , g(y) = x. Jadi f suatu fungsi injektif.
Jadi x 1 ,x 2 R ,x 1 x 2 , f(x 1 ) f (x 2 ).
Jadi
Jadi g merupakan suatu fungsi surjek- tif.
(b) Pilih x 1 = –1 dan x 2 = 1.
Jelas g(x 1 ) = g(–1) = 0 = g(1) = g(x 2 ).
Fungsi f: I R dikatakan bijektif
apabila fungsi f merupakan fungsi injektif Jadi g bukan fungsi injektif.
Jadi x 1 ,x 2 R ,x 1 x 2 , g(x 1 ) = g(x 2 ).
dan sekaligus surjektif. Definisi 10 Dipunyai fungsi f: A
Fungsi f dikatakan pada (surjective)
8. Fungsi naik dan Fungsi Turun
jika R f = B. Definisi ini dapat disaji- kan secara formal sebagai berikut:
Banyak model fenomena alam yang mempunyai solusi sebagai suatu fungsi
x B , y A f (y) = x.
yang naik atau turun. Sebagai contoh model populasi suatu mahluk hidup, model peluruhan radio aktif, dan sebagainya.
Definisi 11
Contoh 17 Dipunyai fungnsi f: A B .
Periksa fungsi-fungsi berikut merupakan Grafik fungsi f dikatakan naik jika
fungsi surjektif atau bukan. fungsi f melestarikan urutan. Definisi
ini dapat disaji-kan secara formal (a) f: R
R , f(x) = 2x – 1 dan
2 sebagai beri-kut:
(b) g: R [–1,+ ), g(x) = x – 1.
a , b A , a b , f ( a ) f ( b ) . Penyelesaian:
(a) Ambil sembarang x R .
x 1 Definisi 12 Jelas x = 2 1 .
B . Grafik x Pilih y = 1 R .
2 Dipunyai fungnsi f: A
fungsi f dikatakan turun jika fungsi f
2 tak melestarikan urutan. Definisi ini
2 x Jelas f(y) = 1 1 = x.
dapat disaji-kan secara formal sebagai
Jadi f merupakan suatu fungsi surjek-
a , b A , a b , f ( a ) f ( b ) . tif.
j\ ¤· · ?P 029
j\ ¤· · ?P 030
Contoh 17 mengurangi, mengalikan, atau membagi fungsi-fungsi yang diketahui. Berikut ini
Periksa apakah grafik fungsi berikut naik didefinisikan operasi pada fungsi: ataukah turun:
(a) f: R R , f(x) = 2x – 1,
Definisi 13
(b) f: [0,+ 2 ) R , f(x) = x , dan
2 Dipunyai f dan g adalah fungsi-fung- (c) f: R
R , f(x) = x . si dan k suatu konstanta. Fungsi-
Penyelesaian: fungsi f + g, f – g, kg, f.g, dan
didefinisikan sebagai berikut:
(a) Ambil sembarang x 1 ,x 2 R ,x 1 <x 2 .
Jelas x 1 –x 2 < 0. (a) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Jelas f(x 1 ) – f( x 2 ) = 2x 1 – 1 – 2x 2 +1
(b) (f – g)(x) = f(x) – g(x)
= 2(x 1 –x 2 )
(c) kg(x) = k . g(x) Jadi f(x 1 ) < f( x 2 ).
(d) (f.g)(x) = f(x).g(x)
Jadi x 1 ,x 2 R ,x 1 <x 2 , f(x 1 ) < f( x 2 ).
f f ( x Jadi grafik f naik. ) (e)
(b) Ambil sembarang x 1 ,x 2 (– ,0],x 1 x 2 .
Jelas x 1 0, x 2 0, dan x 1 –x 2 0. untuk semua x di daerah definisinya.
Jadi x 1 +x 2 0, dan x 1 –x 2 0. Jelas f(x 1 ) – f( x 2 )= x 2 1 2 x 2
Contoh 18 = (x 1 +x 2 )( x 1 –x 2 )
0. Dipunyai fungsi f : R
R , f (x) = x dan
Jadi x 1 ,x 2 (– ,0],x 1 x 2 , f(x 1 ) f(x 2 ).
[0,+ ), g(x) = x 1 . Jadi grafik f turun pada (– ,0].
g : [1,+ )
(a) jika h 1 = f + g, tentukan: rumus h 1 ,
(c) Pilih x 1 = –2 dan x 2 = 1.
daerah asal, dan daerah hasil h 1 .
Jelas x 1 ,x 2 R dan x 1 <x 2 .
Jelas f (x f
1 ) = 4 > 1 = f (x 1 ).
(b) jika h 2 = , tentukan: rumus h 2 , dae-
Jadi x 1 , x 2 R , x 1 x 2 , f ( x 1 ) f ( x 2 ) .
rah asal, dan daerah hasil h 2 . Jadi grafik f tidak naik pada R.
Penyelesaian:
(a) Jelas h 1 (x) = f(x) + g(x) =x+ x 1 . Jelas D h 1 [ 0 , ) dan R h 1 [ 1 , ) .
Grafik h 1 :
9. Operasi Aljabar Fungsi
Suatu cara untuk membangun suatu fungsi baru adalah dengan menjumlah,
j\ ¤· · ?P 031
j\ ¤· · ?P 032
Dipunyai f : R
R , f (x) = dan
R , g (x) = x 2 , . x 1 Tentukan f + g, daerah asal, dan daerah
g :R
hasilnya. Penyelesaian:
Tulis f(x) =
1 , 0 x 1 dan
g (x) =
x 2 , x 1 Jelas h f
(b) Jelas g(x) = x 1 0 x (1,+ ).
2 (x) =
(x ) g
Jadi (f + g)(x) =
Dari Gambar 27, dapat dilihat bahwa:
Jadi D h 2 ( 1 , ) dan R h 2 [ 2 ,
dan
R f g = [0,+ ) (–2,–1). Grafik h 2 :
Grafik f + g:
0 , x 0 Gambar 26: Grafik h 2 (x) =
(x)
g Gambar ( f g )( x ) = x 1 , 0 x 1 1 x 2 , x 1
j\ ¤· · ?P 033
j\ ¤· · ?P 034
10. Komposisi Fungsi-Fungsi
Kadang-kadang dua fungsi diga-
bung tidak menggunakan operasi-operasi aljabar yang telah dikenal, akan tetapi dengan cara fungsi kedua didefinisikan pada daerah hasil fungsi pertama. Fungsi
R yang dihasilkan dengan cara ini dinama- f kan fungsi komposisi.
Sebagai contoh, fungsi h(x) = x 1 dapat dibangun melalui dua fungsi, yaitu:
fungsi nilai mutlak
g :R [0,+ ) dengan g(x) = x R g D f R f g
Gambar 28: Diagram
dan fungsi linear fungsi komposisi f g
g :R R dengan f(x) = x – 1.
Contoh 19 Dipunyai fungsi-fungsi f dan g yang disaji-
Untuk menghitung h(a), pertama dicari kan berturut-turut oleh
a –1 dan kemudian
dihitung
nilai
f 2 (x) = x – 2 dan g(x) = x – 1.
mutlaknya, yaitu a 1 .
Tentukan f g dan g f jika ada, selan- jutnya tentukan daerah asal dan daerah
Dipunyai fungsi-fungsi f dan g dengan R g D f . Fungsi komposisi f g Jelas D f R , R f R , D g R , dan didefinisikan sebagai
(a) Jelas R g D f [ 1 , ) R = [ 1 , ) .
(f g )(x) = f[g(x)] x R g D f . Jadi f g ada.
Jelas ( f g )( x ) = f[g(x)] = f(x 2 – 1) – 2
=x 2 – 3. lah prapeta R g D
Pada Gambar 28 terlihat bahwa D f g ada-
f –1 oleh g ditulis dengan Jelas D
f g =g ([–1,+ )) = R dan R f g = f([–1,+ )) = [–3,+ ).
(b) Jelas Rf D g =R
R =R .
Jadi g f ada. dan R f g adalah peta R g D f oleh f dan
Jelas ( g f )( x ) = g[f(x)] ditulis dengan
= g(x – 2)
= (x – 2) 2 – 1.
j\ ¤· · ?P 035
j\ ¤· · ?P 036
Jelas –1 D
g f =f (R) = R dan sendiri yang disebut dengan fungsi iden- R
= g(R) = R.
titas.
Definisi 15
Berikut ini disajikan beberapa contoh berbagai fungsi yang dapat dikembalikan
Fungsi i: A B dengan A B disebut sebagi komposisi dua fungsi:
fungsi identitas apabila
(a) Fungsi h(x) = (x 2 7 ) 3 dibangun dari
2 i (x) = x untuk setiap x A .
f ( x ) x 3 dan g(x) = x 2 + 7 dengan rumus ( f g )(x).
Definisi 16 (b) Fungsi h(x)= 4 2 x 2 dibangun dari
f 2 ( x ) 4 x dan g(x) = 2 + x dengan Dipunyai fungsi f: A
B . Jika terda- pat fungsi g: R f A sehingga
rumus ( f g )(x).
g [f(x)] = x
(c) Fungsi h(x) = 4 2 x 2 dapat pula di-
maka fungsi g disebut invers f dan
bangun dari 2 f ( x ) 4 x dan g(x) = 2+x
dituliskan dengan
g –1 =f .
dengan rumus ( f g )(x).
(d) Fungsi h(x) = 8
dibangun dari
Gambar situasinya:
8 fungsi 4
dan g(x) = 3 + x de-
ngan rumus ( f g )(x).
(e) Fungsi h(x) =
8 dapat pula diba-
ngun dari fungsi f ( x )
dan g(x) =
4 Gambar 29: Diagram fungsi f dan 3 f x dengan rumus ( f g )(x).
Perhatian 1: Tampilan f –1 merupakan in-
vers fungsi f dan f 1 .
Perhatian 2: jika g adalah invers f, maka
11. Balikan ( Invers) Fungsi
D g R f sebab g didefini- sikan oleh:
g (y) = x y = f(x). faat dibangun dengan menggunakan fung- Contoh 20
Banyak fungsi yang sangat berman-
si yang telah dikenal. Dimulai dengan (a) Dipunyai fungsi fungsi yang memetakan titik ke dirinya
f :R R , f(x) = 2x
dan
g :R
, g(x) = R x .
Ambil sembarang x R . Ambil sembarang a,b R f , a = b. Jelas g[f(x)] = g(2x) = 2x = x.
Tulis a = f(x 1 ) dan b = f(x 2 ).
Dipunyai f fungsi injektif. Jadi g = f .
Jadi x 1 =x 2 .
a ,b R f , a = b, g(a) = g(b). (b) Dipunyai fungsi f: R R , f(x) = 2x – 1.
Jadi
Jadi g suatu fungsi.
Jelas f fungsi bijektif. Jadi f –1 ada.
Ambil sembarang x D f . Ambil sembarang x R .
Jelas g[f(x)] = g(y) untuk suatu y R f
Jelas x = 2 2 x 1 1 = f (x 2 1 ) .
= x.
2 2 Jadi
x D f , g[f(x)] = x.
Jadi f –1 (x) = f [f( 2x 1 )] –1 Jadi g = f .
2 Dipunyai f: R R , f(x) = 2x – 4. Jelas f fungsi injektif.
(c) Fungsi f : R –1 R yang disajikan oleh Jadi f ada.
f 2 (x) = x tidak mempunyai invers. Hal Ambil sembarang x R . ini disebabkan untuk setiap bilangan
2 . positif x berkorespondensi dengan 2
Tulis 2x – 4 = y y x =
bilangan berbeda di D –1
f = R. Sebagai Jadi f (x) = x 2 .
contoh, untuk x = 4 diperoleh f(–2) = 4 2
Jelas D f 1 R f = R.
dan f(2) = 4. Ini berarti tak mungkin mendefinisikan g(4) = 2 dan g(4) = –2. Gambar situasinya: Jadi tidak ada fungsi g yang memenuhi
fg
g Y [f(x)] = x untuk setiap x R .
Teorema 17
B merupakan fungsi injektif, maka
Jika f: A
(a) fungsi f –1 ada, dan
(b) D f 1 R f .
Bukti: Gambar 30: Grafik f dan g = f .
Bangun pengaitan g: R f D f sehingga
g (x) = y
x R f dan x = f(y).
Hubungan grafik fungsi f dan inversnya f –1 dapat ditentukan dengan cara
j\ ¤· · ?P 039
j\ ¤· · ?P 040 j\ ¤· · ?P 040
apabila (a,b) f maka (b,a) 3 f . Ini Jelas l(–x) = (–x) +x
berarti bahwa setiap titik di f 3 diperoleh = –(x –x) = –l(x). dari titik di f dengan pencerminan terhadap
x R . garis y = x. Ini berarti juga bahwa grafik f
Jadi l(–x) = –l(x)
Jadi l merupakan fungsi ganjil. dan f –1 simetri terhadap garis y = x.
Catatan:
Contoh 22 (1) Grafik fungsi genap simetri
Dipunyai f: R–{– 1 } R –{ 3 }, dengan
2 2 terhadap sumbu X. (2) Grafik fungsi ganjil simetri
2 x 1 terhadap titik pangkal O. Tentukan f –1 (x) apabila ada.
Penyelesaian:
Ambil sembarang a, b R – {– 1 }, a b . 2
Jelas a – b
0, 2a + 1
0, dan 2b + 1 0. 12. Membuat Sket Grafik Fungsi
3 a 2 3 b Jelas f(a) – f(b) = 2
2 a 1 2 b 1 dengan Metode Geseran
( 2 a 1 )( 2 b 1 )
Sebelum membahas konsep perge-
0. seran, perlu diperhatikan bagaimana meng gambar grafik fungsi-fungsi sederhana.
Jadi
a ,b R – {– 1 }, a b , f(a) f (b).
2 Sebagai contoh diberikan fungsi-fungsi Jadi f fungsi injektif.
kuadrat berikut ini:
Jadi f ada. Pemeriksaan:
(a) f: R 2 R , f(x) = x , (a) Ambil sembarang x R .
2 2 (b) g: R R , g(x) = (x – 1) , dan Jelas f(–x) = (–x) –2=x – 2 = f(x).
(c) h: R 2 R , h(x) = (x – 1) – 2. Jadi f(–x) = f(x)
Jadi f merupakan fungsi genap.
Penyelesaian: (a) Daftar nilai fungsi f:
(b) Ambil sembarang x R . Jelas g(–x) = –x = –g(x).
Jadi g(–x) = –g(x) x R .
x 2 ... 4 1 0 1 4 ...
Jadi g merupakan fungsi ganjil.
Grafik f:
(c) Ambil sembarang x R .
Jelas h(x) = x 1 =
Jelas h(–x) =
1 Jelas h(–x) h (x) dan h(–x) –h(x)
Jadi h bukan fungsi genap dan h juga
(1,1) X
bukan fungsi ganjil.
Gambar 31: Grafik f(x) = x 2
(b) Daftar nilai fungsi g:
Dipunyai f suatu fungsi dan k suatu
x –1 ... –2 –1
bilangan positif.
(x–1) 2 ...
(a) Grafik fungsi y = f(x – k) diperoleh Grafik g:
dengan menggeser grafik f ke kanan
g sejauh k satuan. (b) Grafik y = f(x + k) diperoleh dengan
menggeser grafik f ke kiri sejauh k satuan.
X (c) Grafik y = f(x) + k diperoleh dengan
menggeser grafik f ke atas sejauh k
2 Gambar 32: Grafik g(x) = (x – 1) satuan. (d) Grafik fungsi y = f(x) – k diperoleh
dengan menggeser grafik f ke ba- (c) Daftar nilai fungsi h:
wah sejauh k satuan.
Grafik h:
Dipunyai grafik fungsi f. Buatlah sket grafik
X Tulis
2 Grafik f 1 Gambar 33: Grafik h(x) = (x – 1) diperoleh dengan menggeser –2 grafik f ke kiri sejauh 1 satuan.
Grafik f 2 diperoleh dengan menggeser grafik f 1 ke bawah sejauh 1 satuan.
Grafik f 3 f 2 .
Pada Gambar 31, 32, dan 33 Sedangkan grafik f 4 diperoleh dengan dapat dilihat bahwa grafik g diperoleh menggeser grafik f 3 ke atas sejauh 2 dari grafik f dengan menggeser ke kanan satuan. sejauh 1 satuan dan grafik h diperoleh dengan menggeser grafik g ke bawah
Dengan demikian sket grafiknya sejauh 2 satuan.
dapat dilihat pada gambar berikut ini.
f Pembaca dianggap telah mengenal satuan ukuran sudut dalam derajat dan telah
a –1
mengenal pula bahwa ukuran sudut suatu
a X lingkaran adalah 300 o . Sistem derajat kurang cocok untuk keperluan-keperluan
dalam kalkulus. Dengan demikian perlu
f 1 didefinisikan ukuran sudut yang lain, yaitu ukuran sudut dalam radian.
suatulingkaran pada bidang koordinat XY yang berpusat di titik pangkal. Dibayangkan sebuah titik yang
a –1 a Perhatikan
f 2 bergerak sepanjang lingkaran itu yang berlawanan arah dengan gerakan jarum jam
X dimulai dari titik (1,0).
Gambar 35: Lingkaran satuan berpusat di (0,0)
X a –1 a
Ukuran radian untuk sudut sama Gambar 34: Grafik f 4 = f (x 1 ) 1 2 dengan ukuran panjang busur yang ditem-
puh titik sepanjang gerakannya. Jelas ukur- an keliling lingkaran itu adalah 2 . Jadi 2
radian = 360 o . Contoh 24
13. Fungsi Berkala o 180
(a) Jelas 1 radian =
Fungsi berkala (periodik) banyak 57,296
ditemukan dalam matematika terapan,
57 17`45``. seperti: model matematika ayunan mate- o (b) Jelas 1 =
= 0,017453 matika, pegas, aliran panas, dan lain 180
sebagainya.
dengan
(c) Berikut ini hubungan sudut-sudut
d Definisi 19
(dalam derajat) dan r (dalam radian). (a) Sinus sudut , ditulis dengan sin
(b) Cosinus sudut , ditulis dengan
Tentukan nilai sin
dan cos apabila:
Setiap bilangan real t berpadanan
= , dan = .
dengan sebuah titik P pada lingkaran Penyelesaian: satuan dengan ketentuan sebagai berikut:
(a) Perhatikan Gambar 36. (a) Jika t > 0, dipadankan dengan gerak titik sejauh t berlawanan arah jarum 3 Jelas OP = 1, PQ = 1 , dan OQ = .
2 2 jam sepanjang lingkaran.
(b) Jika t < 0, dipadankan dengan gerak
Jadi P ( , ) .
titik sejauh t searah jarum jam
1 3 sepanjang lingkaran satuan.
Jadi sin
= dan cos = . 6 2 6 2
(b) Perhatikan Gambar 37:
14. Fungsi Trigonometri
Jelas OP = 1, PQ =
, dan OQ = .
2 Jelas x = – 2 dan y = . Titik P(x,y) adalah suatu titik pada
lingkaran satuan yang berpadanan dengan
Jadi P ( 2 , 2 ) .
sudut . Berikut ini disajikan sinus dan
cosinus sudut .
3 2 Jadi sin 2 dan cos 3 . Gambar situasinya adalah sebagai berikut:
(c) Perhatikan Gambar 37: Jelas OP = 1, PQ = 3 , dan OQ = 1 .
Jelas x = – 3 1 dan y = – . 2 2
P(x,y)
Jadi sin 4 3 dan cos 4 1 .
3 2 3 2 Gambar 36: Titik P berpadanan
Dengan sudut
j\ ¤· · ?P 047
j\ ¤· · ?P 048
Berikut ini disajikan fungsi-fungsi trigonometri lainnya.
6 Buatlah sket grafik fungsi-fungsi berikut: (d) Perhatikan Gambar 39.
Gambar 37:
(a) f: [–2 ,2 ] R , f(x) = sin x, Jelas P(0, –1).
(b) g: [–2 ,2 ] R , g(x) = cos x, Jadi sin 3
1 dan cos 3 0 .
(c) h: [–2 ,2 ]–{ 3 , , , 2 3 2 } R ,
h (x) = tan x, (d) j: (–2 ,2 )–{– , } R ,
j (x) = cot x,
(e) k: [–2 ,2 ]–{ 3 , , , 3 } R ,
k (x) = sec x, dan (f) j: (–2 ,2 )–{– , } R ,
2 2 (a) Grafik f:
Gambar 40: Grafik f(x) = sin x
Dapat dilihat bahwa: Grafik f naik pada selang-selang:
2 Grafik f turun pada selang-selang:
j\ ¤· · ?P 049
j\ ¤· · ?P 050
] dan [ , 3 ].
Dapat dilihat bahwa:
2 2 2 2 Grafik h naik pada D h .
Nilai f ( 3 ) f ( ) 1 merupakan
Asimptot tegak:
, dan nilai maksimum. 3 , ,x= x .
Nilai f ( ) f ( 3 ) 1 merupakan
Memotong sumbu X di:
–2 ,0), ( ,0), (0,0), ( ,0), dan (2 nilai minimum. ,0).
(d) Grafik j:
(b) Grafik g:
–2 O
Gambar 41: Grafik f(x) = cos x
Dapat dilihat bahwa:
Gambar 43: Grafik j(x) = cot x
Grafik g naik pada selang-selang: [- ,0] dan [ ,2 ].
Dapat dilihat bahwa: Grafik g turun pada selang-selang: Grafik j turun pada D j . [-2 ,- ] dan [0, ].
Asimptot tegak: Nilai g ( 2 ) g ( 0 ) g ( 2 ) 1
,x= , dan x 2 . merupakan nilai maksimum.
Memotong sumbu X di:
Nilai f ( ) f ( ) 1 merupakan nilai
( 3 , 0 ) , ( , 0 ) , ( , 0 ) , dan ( 3 , 0 ) . minimum.
(c) Grafik h:
(f) Grafik k:
Gambar 42: Grafik h(x) = tan x Gambar 44: Grafik k(x) = sec x
j\ ¤· · ?P 051
j\ ¤· · ?P 052
Grafik k naik pada:
, x= 0 , x , dan x 2 .
( 2 , 3 ) , ( 3 , ) , ( 0 , ) , dan
Grafik l tak memotong sumbu X.
) = l( 3 )= –1 merupakan nilai ( , ) .
Nilai l(
2 maksimum relatif.
Grafik k turun pada: Nilai l( 3 ) = l( ) = 1 merupakan nilai
) , ( , 0 ) , ( , 3 ) , dan
2 2 2 minimum relatif.
Contoh 27
Asimptot tegak: x
,x= , dan x 3 .
2 2 2 2 Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut: Grafik k tak memotong sumbu X.
(a) f: [–2 ,2 ] R , f(x) = sin 2x, Nilai k(-2 ) = k(0) = k(2 ) = 1 (b) g: [–2 ,2 ] R , g(x) = 2sin x, dan merupa-kan nilai minimum relatif.
(c) h: [–2 ,2 ] R, h(x) = sin (x – ). Nilai k(- 6 ) = k( ) = –1 merupakan
Penmyelesaian:
nilai maksimum relatif. (f) Grafik l:
(a) Daftar nilai fungsi f:
Gambar 45: Grafik l(x) = csc x
– 2 – 1 Dari Gambar 45 dapat dilihat
bahwa:
0 0 0 Grafik l naik pada:
( 3 , ) , ( , 2 ) , ( , ) , dan
Grafik k turun pada:
( 2 , 3 ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) , dan 2 2 2
( 3 , 2 ) . Grafik f diperlihatkan pada Gambar 46.
j\ ¤· · ?P 053
j\ ¤· · ?P 054
(b) Daftar nilai g: Berikut ini disajikan beberapa teore- x
sin x
2 sin x
ma yang sering digunakan.
0 0 (2) Jika cos
2 (3) Jika sin
1 2 (4) sin (– ) = –sin dan
Grafik g diperlihatkan pada Gambar 47.
(6) sin (
) = cos dan
) = –sin . (c) Daftar nilai h:
) = –cos . x
) = –sin dan
) = –cos dan
10 3 1 cos ( 3 ) = –sin 2 .
6 2 (10) sin ( 7 3 – ) = –cos dan
cos ( 3 ) = sin .
6 2 (11) sin ( 2 ) = –sin dan
0 0 cos ( 2 ) = cos .
6 (12) sin ( 2 ) = sin dan
2 1 cos ( 2 ) = cos .
Bukti (1), (2), dan (3):
11 2 0 Perhatikan Gambar 49:
6 (1) Ambil sembarang titik P(x,y) pada ling-
karan satuan. Titik Q adalah projeksi P pada
Grafik g diperlihatkan pada Gambar 48.
sumbu X. Jelas OQ = x = –x, PQ = y = –y, dan
OP = 1.
j\ ¤· · ?P 055
j\ ¤· · ?P 056
X –2
Gambar 46: Grafik f(x) = sin 2x
Grafik g:
Gambar 47: Grafik g(x) = 2 sin x
Grafik h:
Gambar 48: Grafik h(x) = sin (x–
j\ ¤· · ?P 057
2 2 Jelas OQ 2 + PQ = OP Jelas sin ( – )= – y = sin – dan
P (x,y) Q (x,0)
P (x,y) (0,–1) (0,–1)
Gambar 49: P(x,y) sembarang titik pada lingkaran
dan satuan
Gambar 51: P(x,y)
Q (y, x)
(2) Dipunyai sin 2 0.
2 Jelas sin 2 + cos
sin 2 1 Jelas sin (
(3) Dipunyai sin
0. Bukti (6) s.d. (12) diserahkan pembaca se-
2 2 bagai latihan.
Jelas sin + cos
= sin .cos + cos .sin Bukti (4):
(2) sin( – )
= sin .cos – cos .sin (3) cos( + )
P (x,y)
= cos .cos – sin .sin (4) cos( – )
= cos .cos + sin .sin
Q (x, –y)
(5) apabila 1 – tan
(6) apabila 1 + tan . tan
Gambar 50: P(x,y)
tan tan Q (x, –y)
dan
tan ( – )=
1 tan . tan
j\ ¤· · ?P 058
j\ ¤· · ?P 059
Bukti (1):
Bukti (4): Dipunyai cos( + )
=cos . cos – sin . sin Tulis =– . Jadi cos( + )
U T P (x,y)
= cos . cos – sin . sin
cos( – ) = cos . cos(– ) – sin . sin(– ) cos( – ) = cos . cos
+ sin . sin .
Bukti (5) dan (6) sederhana, diserahkan pembaca sebagai latihan.
Gambar 52: Titik Q berpadanan dengan
sudut
Teorema 22
Jelas sin ( + )
Jelas sin (2 )
= sin ( + )
Bukti (2):
. cos + cos . sin Dipunyai sin ( +)
= sin .cos +cos .sin . Tulis =– .
Bukti (2):
Jelas sin( + ) =sin . cos + cos . sin
Jelas cos (2 )
sin ( – )
= cos ( + )
= sin . cos(– ) + cos . sin(– )
= cos
. cos – sin . sin
2 sin( 2 – ) = cos – sin ,
Bukti (3): = 1 – 2 sin , dan
2 2 2 cos 2 – sin = cos – (1 – cos ) Jelas cos( + ) = sin [
, tentukan sebaran sin x.
= cos . cos
– sin
. sin . j\ ¤· · ?P 060
j\ ¤· · ?P 061 j\ ¤· · ?P 061
Model matematika suatu fenomena
1 alam yang banyak yang mempunyai solusi
yang berkala atau periodik. Sebagai contoh
2 ayunan, pegas, gelombang, dan lain-lain.
30 o
Fungsi
periodik didefinisikan
sebagai berikut: Definisi 23
Dipunyai fungsi f: R
Jika terdapat bilangan positif T sehing-
Gambar 53: Sebaran nilai sin x
5 ga f(x + T) = f(x) untuk setiap x R ,
Untuk
6 6 fungsi f dikatakan periodik. Selanjutnya Jelas nilai sin
1 = sin 5 .
nilai T terkecil disebut periode f.
Jika nilai x naik dari ke , nilai sin x juga
1 naik dari Contoh 30 ke 1. Sedangkan jika nilai x na-
2 Periksa apakah fungsi-fungsi berikut perio- ik dari
ke 5 , nilai sin x turun dari 1 ke dik: (a) f: R R , f(x) = sin x,
R , f(x) = tan x, . Ini menunjukkan bahwa sebaran sin x 2
(b) g: R – { }
berkisar dari 1 ke 1. Jadi
(c) h: R – {k } k B R , h(x) = csc x.
1 sin x 1 .
2 Penyelesaian:
Contoh 29 Tentukan nilai sin 9 o .
(a) Ambil sembarang x R . Jelas sin 3x = sin (2x + x)
Jelas f (x + 2 ) = sin (x + 2 ) = –4 sin 3 x + 3.sin x. = sin x Kasus x = 18 o : = f (x).
Jelas sin 3x = sin 54 o = cos 36 =cos 2x. Jadi f(x + 2 ) = f( x) x R .
3 Jadi 4 sin 2 x – 2 sin x = 3sin x + 1 = 0 Jadi f periodik dengan periode 2 . (sin x – 1)(4 sin 2 x + 2 sin x – 1) = 0
k (b) Ambil sembarang x R – { } .
sin x
sin x
4 4 Jelas g(x + ) = tan (x + ) sin x = 1.
= tan x
5 1 = g(x). Jadi sin 18 =
Jadi g(x + ) = g( x) x R .
4 Jadi g periodik dengan periode .
1 Jadi sin 9 =
j\ ¤· · ?P 062
j\ ¤· · ?P 063
(c) Ambil sembarang x R – {k } k B .
16. Invers Fungsi Trigonometri
Jelas h(x + 2 ) = csc (x + 2 ) = csc x
[–1,1] = h(x).
Perhatikan fungsi f:
Jadi h(x+2 ) = h(x) xR –
{k dengan f(x) = sin x pada gambar berikut ini. } .
Jadi h periodik dengan periode 2 Y .
y =x
Contoh 31 –1 f
Periksa apakah fungsi-fungsi berikut perio-
dik:
(a) f: R R , f(x) = sin (3x) dan (b) g: R
R , g(x) = sin x + cos x. Penyelesaian:
: Grafik f
(a) Ambil sembarang x R .
: –1 Grafik f
Jelas f (x) = sin 3x = sin (3x + 2 )
Gambar 54: grafik f(x) = sin x
= sin [3(x + 2 )]
dan f –1 (x) = sin –1 x
= f(x + 2 ).
Jelas f fungsi injektif.
3 Jadi f –1 ada.
Jadi f periodik dengan periode 2 .
3 Ambil sembarang x [–1,1]. Pilih y
sehingga f(y) = x.
2 (b) Ambil sembarang x 2 R . Tulis sin x + cos x = K.cos(x– ), K>0. Jelas f(y) = x
sin y = x
Jelas K.cos(x – ) y = sin x .
Jadi f –1 (x) = f [f(y)]
= K.cos x . cos + K.sin x . sin .
= (f –1 f )(y)
Jadi K.cos = 1 dan K.sin =1
2 2 2 2 = i(y)
K .cos = 1 dan K .cos
=y
Jadi K =2
K =– 2 K = 2 .
= sin –1 x .
Jadi K = 2 .
Daftar nilai f:
Jadi 0 dan .
2 2 2 Jadi g ( x ) 2 . cos ( x
Jelas g periodik dengan periode 2 x .
Sin x
j\ ¤· · ?P 064
j\ ¤· · ?P 065
Daftar nilai f –1 : Invers fungsi-fungsi trigonometri lainnya: (a) Dipunyai f: [ 0 , ] [ 1 , 1 ] , f(x) = cos x.
x –1
2 2 2 Invers fungsi f:
2 3 4 6 Jelas D R
f 1 [–1,1] dan f 1 2 . 2
1 Grafik f dan f 2 : 3 1
Contoh 32 Dipunyai f: 2
R , f(x) = tan x.
Jelas f injektif.
Jadi f ada.
Jelas f –1 (x) = tan (x).
Gambar 56: Grafik f(x) = cos x dan
Grafik f:
f –1 (x) = cos x
f (b) Dipunyai f: [ , ] R , f(x) = cot x. 2 2
Invers fungsi f:
Jelas D R
f 1 [–1,1] dan f 1 2 . 2
X Invers fungsi f:
f –1 (x) = cos x .
Jelas D f 1 [–1,1] dan R f 1 [ , ] .
y=x
f –1
Gambar 55: Grafik f(x) = sin x dan f –1 (x) = sin –1 x
Jelas D f 1 R dan R 1 [ , f ] .
Gambar 57: Grafik f(x) = cot x dan f –1 (x) = cot –1 x
j\ ¤· · ?P 066
j\ ¤· · ?P 067
Invers fungsi f:
1. Periksa bilangan-bilangan berikut meru-
f –1 (x) = sec x . pakan bilangan rasional atau tak Jelas D f 1 [1,+ ) dan R
rasional|.
(a) 5 (b) 5 (c) 0, 9 Grafik f dan f –1 :
2. Selesaikan pertidaksamaan:
2 3. Selesaikan pertidaksamaan:
Gambar 58: Grafik f(x) = sec x dan f –1 (x) = sec –1 x
4. Selesaikan pertidaksamaan: (a) cos x < 3 , 0 x 2
2 (b) sin x 1 , 0 x 2 Invers fungsi f: 2
(d) Dipunyai f: ( 0 , ] [ 1 , ) , f(x) = csc x.
R Grafik f dan f –1 :
Jelas D f 1 [1,+ ) dan R f 1 ( 0 , ] .
2 5. Tentukan nilai x
f 6. Tentukan pusat dan ukuran jari-jari ling- karan:
2 7. Tunjukkan bahwa fungsi f yang dibe- rikan oleh f ( x ) x 2 x simetri terhadap
Gambar 59: Grafik f(x) = csc x dan f –1 (x) = csc –1
sumbu Y.
j\ ¤· · ?P 068
j\ ¤· · ?P 069
8. Untuk setiap garis berikut, tentukan gra-
17. Diketahui f ( x ) 1 x 2 , g(x) = 2x, h 1 = dien dan titik potongnya dengan sumbu
X dan sumbu Y: f f + g, dan
9. Tentukan persamaan garis yang melalui (a) Hasil kali dua fungsi ganjil me- titik (–2,1) dan (3,3).
rupakan fungsi genap. (b) Hasil kali dua fungsi genap adalah
10. Garis-garis y – ax = 1 dan 3y = 6x + 12
genap.
saling sejajar. Tentukan nilai a.
19. Gambarlah grafik fungsi:
11. Tentukan persamaan garis yang tegak (a) y – 2x 2 + 2x – 7 =0 lurus garis 3x – 6y = 8 dan melalui titik
pangkal. 2 (b) y + 2x – y + 3 0
12. Tentukan kondisi agar persamaan
(c) y – x
ax + by + c = 0 memotong sumbu X.
20. Dipunyai f(x) = x dan g(x) = 1 x .
13. Tentukan sebaran cos x apabila sebaran nilai x adalah
Jika mungkin, tentukan ( f g )( x ) dan
120 o x 240 . ( g f )( x ) . Selanjutnya tentukan D f g
dan D g f .
14. Tentukan sebaran fungsi
f 5 (x) =
1 cos 2 x
21. Dengan metode pergeseran sket grafik
fungsi f yang diberikan oleh apabila 120
22. Fungsi f diberikan oleh (a) pengaitan f: R
R dengan
3 x , x f 1 (x) = x – x merupakan fungsi.
x (b) pengaitan yang diberikan oleh 2 , 1 x 4 .
1 bukan fungsi, dan
4 (c) pengaitan f: R
(a) Periksa apakah f mempunyai in- – 1 merupakan fungsi. –1 vers, jika ada tentukan f .
R dengan f(x) = x
(b) Sket grafik f dan f –1 pada satu bi-
16. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dang koordinat. fungsi f yang diberikan oleh
(c) Periksa apakah
f (x) = 1 x 2
j\ ¤· · ?P 070
j\ ¤· · ?P 071
2 da lingkaran (x – 6) 2 + (y – 4) = 25 di
titik (3,8). (1) f(a) disebut minimum relatif f jika
24. Tentukan nilai a, b, dan c sehingga dan hanya jika terdapat bilangan parabola y = ax 2 + bx + c memotong > 0 sehingga
sumbu X di titik (3,0), memotong
x (a– ,a+ ). sumbu Y di titik (0,–6), dan yang
f (a) f(x)
(2) f(a) disebut maksimum relatif f jika opuncaknya di titik yang koordinat-x
dan hanya jika terdapat bilangan nya 2.
25. Jika x R , x dibaca ”norm x” dide- finisikan sebagai bilangan
Tunjukkan bahwa: terbesar yang kurang dari atau sama
bulat
f (3) merupakan nilai minimum relatif dengan x. 2 f :R R , f(x)=(x–3) + 2.
Tentukan:
(a) 7 (d) 3 , 5 30. Dipunyai
. Buktikan bah-
(b) 7 , 3 (e) 0 wa:
(c) 3 (f) 1 f (0) merupakan minimum relatif dan
f (1) merupakan maksimum relatif
26. Gambarlah grafik fungsi
fungsi f.
f : [-3,2] R , f(x) = x .
31. (a) periksa apakah f(0) merupakan su- atu maksimum atau minimum rela-
27. Tentukan nilai x yang memenuhi:
R , f(x) = x . (a)
tif fungsi f: R
(b) Dipunyai f: D f R f suatu fungsi. (b)
xx
2 3 Jika f(a) suatu maksimum f, apakah
f (a) juga merupakan maksimum
28. Dipunyai f: D f R f suatu fungsi dan
relatif f.
a D f . (1) f(a) disebut minimum f jika dan
(c) Dipunyai f: D f R f suatu fungsi. hanya jika f(a)
Jika f(a) suatu minimum f, apakah x D f .
f (x) untuk setiap
f (a) juga merupakan minimum (2) f(a) disebut maksimum f jika dan
relatif f.
hanya jika f(a)
f (x) untuk setiap
x D f . Tentukan
maksimum fungsi-fungsi berikut ini: (a) f: R 2 R , f(x) = x .
(b) f: R 2 R , f(x) = – (x + 3) + 2.
j\ ¤· · ?P 072
j\ ¤· · ?P 073
Pada BAB 2 ini mulai masuk pada materi kalkulus dengan membicarakan konsep tentang limit fungsi. Limit fungsi merupakan suatu konsep yang sangat mendasar dalam kalkulus. Konsep limit hampir selalu muncul pada setiap bidang kalkulus. Masalah yang berkaitan dengan garis singgung pada suatu kurva dan masalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva merupakan masalah yang solusinya membutuhkan pengertian limit.
1. Barisan Bilangan
Sekarang akan dibangun pengertian Contoh 33 barisan bilangan dan limit barisan secara singkat sebagai berikut.
merupakan barisan barisan bilangan yang dibangun oleh
(a) Barisan 1 , 2 , 3 ,
Dipunyai fungsi u : N
R . Jelas
fungsi u : N
R dengan u(n) = n.
D f ={1,2,3,...} dan R f = {u(1),u(2),u(3), ...}. (b) Barisan yang dibangun oleh fungsi Karena R u suatu himpunan, urutan di R u
R dengan u(n) = 1 adalah tak diperhatikan. Selanjutnya perhatikan
u :N
1 tam-pilan 1
u ( 1 ), u ( 2 ), u ( 3 ), . Pada tampilan
ini urutan diperhatikan, artinya
(c) Barisan ( 1 ) n
u ( 1 ), u ( 2 ), u ( 3 ),
u ( 2 ), u ( 1 ), u ( 3 ),
Tulis u ( 1 ), u ( 2 ), u ( 3 ),
Grafik suatu barisan bilangan sama Tampilan u 1 , u 2 , u 2 ,
= u n n N disebut dengan grafik suatu fungsi. Sebagai contoh barisan yang dibangun oleh fungsi f. 1 barisan
j\ ¤· · ?P 075 Grafik barisan 1
j\ ¤· · ?P 074
Gambar 60: Grafik barisan 1 .
Secara intuitif, barisan ini mempunyai kecenderungan
( 1 ) menuju 0. n
Grafik 2n 1 dan 2 mempunyai
Barisan 1 dikatakan
perbedaan yang cukup jelas seperti tampak ”mempunyai limit 0”
Gambar 61 dan Gambar 62. Grafik 2n 1 atau
seragam dan tak menghampiri bilangan ”konvergen ke 0”.
manapun. Ini menunjukkan bahwa dan ditulis dengan
2n 1 atau lim ( 2 n 1 ) .
0 atau lim 1 0 .
Sedangkan
grafik
Contoh 34 menghampiri suatu bilangan L = 2 apabila
Grafik barisan 2n 1 dan 2 ada- n
+ . Jadi
2 2 atau lim ( 2 ) . lah sebagai berikut:
nn R
Contoh 35
11 Tentukan lim ( 1 ) n . n 1 .
5 Penyelesaian:
3 Kasus n genap:
Jelas lim ( 1 ) n . n 1 = lim n N 1
= lim ( 1 1 ) n
n Gambar 61: Grafik barisan 2n 1 = 1.
j\ ¤· · ?P 076
j\ ¤· · ?P 077
Kasus n gasal:
Contoh 36
Jelas lim ( 1 ) n . n 1 = lim n 1 Buktikan lim 1 0 .
= lim ( 1 1 )
Bukti:
Ambil sembarang