Grafik Fungsi yang Teliti
4. Grafik Fungsi yang Teliti
Grafik f:
Pada pasal ini didiskusikan ba-
gaimana menggambar grafik suatu fungsi dengan teliti memanfaatkan konsep dan prinsip yang telah dimiliki. Dimulai de-
ngan pengertian tentang asymtot. Di
muka telah dibahas tentang nilai ekstrim
relatif dan kecekungan suatu fungsi. Konsep ini akan dipergunakan untuk
membuat sket grafik suatu fungsi pada selang yang terbatas. Apabila selang yang
Gambar 137: Garis y = 1 merupakan
dimaksud tidak terbatas atau nilai fungsi
asymtot datar untuk f.
itu tak hingga, diperlukan suatu Contoh 118 pengertian baru, yaitu asymtot.
Dipunyai fungsi f : R { 1 } R dengan
f ( x ) 1 x . Definisi 88
Jelas lim f ( x ) = lim 1 x Garis y = L adalah asymtot datar un-
tuk grafik fungsi f salah satu berlaku
Dipunyai fungsi f : R { 0 } R yang dide-
finisikan oleh
Jadi garis y = –1 merupakan asymtot da- Jelas lim f ( x )
lim x = 2
tar untuk f.
xx
Grtafik f:
= 1. Jadi garis y = 1 merupakan asymtot datar Gambar 138: Garis y = –1 merupakan untuk f.
asymtot datar untuk f.
j\ ¤· · ?P 226
j\ ¤· · ?P 227
9 x Dipunyai 2 f : R R dan a R . Gra- fik f mempunyai asymtot tegak di
. x = a apabila terdapat limit tak hingga
lim
berikut: Jadi garis y = –1 adalah asymtot datar un-
lim f ( x )
tuk f. Jelas bahwa pembawah akan sama x a dengan nol x = –3 atau x = 3. Bilangan-
lim f ( x )
bilangan ini adalah calon untuk asymtot- x a asymtot tegak. Untuk mencari keempat
lim f ( x )
limit-limit sepihak, diperlukan informasi x a tentang tanda dari f yang dapat diperoleh
atau menggunakan garis-garis bilangan-bi-
lim f ( x )
x a langan berikut ini.
Dipunyai fungsi +
oleh f ( x )
+ 3+x
( x 3 ) 2 –3
Jelas bahwa
x 3 x 3 Gambar 140: Tanda f(x) berdasarkan
tanda pembangun f(x). x
lim f ( x ) 0 , dan lim f ( x ) 0 .
x Jadi garis x = 3 merupakan asymtot tegak Dengan fasilitas yang ditampilkan pada Gam- dan garis y = 0 merupakan asymtot datar. bar 124, dapat ditentukan:
Grafik f:
x 3 9 x 2 x 3 9 x 2 f Dengan demikian garis-garis x = –3 dan x = 3
merupakan asymtot-asymtot datar. Grafik f:
O Gambar 139: x=3 merupakan asymtot tegak
3 y =0 merupakan asymtot datar
x 2 Gambar 141: Asymtot datar y = –1
Dipunyai f : R { 3 , 3 } R , f ( x )
asymtot tegak x = –3 9 x 2 dan x = 3.
j\ ¤· · ?P 228
j\ ¤· · ?P 229
, runan fungsi dapat dimanfaatkan untuk
Informasi tentang limit dan tu-
x Jelas 1
lim
mengidentifikasi kelakuan grafik suatu
x 1 , fungsi. Untuk mempermudah membuat
lim
sket grafik suatu fungsi diperlukan
langkah-langkah sebagai beruikut: , dan
lim
(1) pertimbangkan domain dan range
. x 0 x ( 2 x fungsi tersebut. )
lim
(2) jika mungkin tentukan nilai nol fungsi dengan menyelesaikan Jadi garis x = 0 dan x = 2 merupakan persamaan f(x) = 0.
asymtot-asymtot tegak untuk f. Selanjut- (3) tentukan semua titik kritis, perik- nya
1 0 sa jenis ekstrimnya, pertim- x lim x 1 dan lim 0 .
x ( 2 x bangkan grafik fungsi naik atau ) turun pada selang-selang yang Jadi garis y = 0 merupakan asymtot datar
ditemukan
untuk f.
(4) tentukan semua asymtot datar
dan asymtot tegak.
(5) tentukan selang sehingga grafik Jelas f (x ) =
dx
fungsi itu cekung ke atas atau ke
bawah, dan titik infleksi.
(6) hitung nilai
fungsi
untuk
beberapa nilai x yng strategis.
Contoh 121
Buatlah sket grafik fungsi yang diberikan Jelas f (x ) tidak ada pada x = 0 dan x = 2. oleh
Selanjutnya f (x ) = 0 tidak mempunyai
. x x 2 2 selesaian. Bilangan-bilangan kritis f adalah x = 0
dan x = 2.
Penyelesaian:
Uji turunan pertama
x 1 x Jelas 1 = = .
f (x )
+ Pembawah bernilai nol untuk x = 0 dan
f (x )
tidak ada
x = 2.
f (x)
Tidak ada
Jadi domain f adalah D f R { 0 , 2 } .
Jelas f(0) = 0, f(x) menuju positif tak + x 2
2 2 hingga apabila x naik menuju 1, dan f(x)
+ menuju negatif tak hingga apabila x turun
f (x )
tidak ada
menuju 0.
f (x)
Tidak ada
Jadi R f R . Jadi fungsi f tidak mempunyai nilai eks-
x Jelas 1 =0 =0
f (x )
x = 1.
trim dan grafik f naik pada f .
j\ ¤· · ?P 230
j\ ¤· · ?P 231
2 ( x 4 x 3 4 x 2 12 x 8 )
Contoh 122
Jelas f (x ) =
Buatlah sket grafik fungsi
Jelas f (x ) =0 x = 1 dan f (x ) tidak f : R { 2 , 2 } R dengan f ( x ) .
ada untuk x = 0 dan x = 2.
0 1 2 Jelas lim
Gambar 142: tanda f (x ) berdasar tanda
lim
, dan
x 2 ( x 2 )( x 2 pembangun ) f (x ) .
f (0) = 0.
Dari fakta yang ada pada Gambar 142 dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi f Jadi D f R { 2 , 2 } , R f R , x = –2 me-
cekung ke atas pada selang ( , 0 ) dan rupakan asymtot tegak, dan x = 2 merupa- [1,2), serta cekung ke bawah pada selang kan asymtot tegak.
) . Jadi titik (1,0) merupakan titik in-
0 dan ( x 2 )( x 2 fleksi. Jelas bahwa )
Jelas lim
f ( 1 ) 2 , f(1) = 0,
dan 2
. Ini menunjukkan bahwa
lim
( x 2 )( x 2 )
2 2 Jadi garis x = 0 merupakan asymtot datar.
titik-titik ( 1 , ) , (1,0), dan ( 3 , ) terle-
. tak pada grafik f.
3 3 8 Jelas x f ( x )
Dengan demikian f ( 2 ) dan f ( 2 ) tidak Grafik f:
ada. Demikian pula
f (x ) 0 8x = 0
x = 0. Jadi bilangan-bilangan kritis untuk f ada- lah –2, 0, dan 1.
1 Uji turunan pertama di titik x = –2:
Gambar 143: Tanda f(x) berdasarkan tanda pembangun f(x).
Uji turunan pertama di titik x = 0:
Uji turunan pertama di titik x = 2: x
Gambar 145: Garis y = 0 asymtot datar, garis x = –2 dan x = 2 me- rupakan asymtot tegak, dan
f (0) nilai maksimum relatif.
Uji turunan pertama untuk f mem- perlihatkan bahwa nilai f(0) = 0 merupa- kan nilai maksimum relatif, grafik f naik
pada selang-selang ( , 2 ) serta ( 2 , 0 ) ,
dan tu-run pada selang-selang (0,2) dan ( 2 , ) . Selanjutnya
5. Penggunaan Turunan Yang
24 x 2 32
f (x ) 0 0 Lain
tidak mempunyai selesaian dan f (x ) ti-
Pemanfaatan turunan yang juga pen- dak ada di titik-titik x = –2 dan x = 2. ting adalah untuk membantu menyele- Tanda f (x ) dianalisis menggunakan saikan masalah-masalah pada kehidupan
garis-garis bilangan beruikut ini.
Masalah Maksmum dan Minimum
(x 2 – 4) 3
Langkah-langkah untuk menyelesai-
kan masalah maksimum-minimum adalah
2 melalui pemodelan matematika. Untuk menyelesaikan suatu masalah adakala-
Gambar 144: Tanda f (x )
nya tidak dapat langsung. Akan tetapi melalui suatu metode yang biasanya dise-
Dengan demikian dapat disimpulkan but dengan pemodelan matematika. grafik f cekung ke atas pada selang-se-
lang ( , 2 ) dan ( 2 , ) serta cekung ke Pertama:
bawah pada selang (–2, 2). Selanjutnya (a) Identifikasi semua besaran yang
nilai f ( 3 ) 9 , f(0) = 0, dan f ( 3 ) 9 . Jadi
terlibat dalam masalah nyata ter-
5 5 sebut.
5 5 (b) Memberi lambang setiap besaran pada grafik f. Grafik f adalah sebagai
titik-titik ( 3 , 9 ) , (0,0), dan ( 3 , 9 ) terletak
yang teridentifikasi. berikut.
j\ ¤· · ?P 234
j\ ¤· · ?P 235
(c) Memilah-milah
besaran-be- Contoh 123
saran itu mana yang variabel Suatu kotak terbuka di atas dibuat dari dan mana yang merupakan lembaran seng berbentuk persegi berukuran konstanta.
sisi 12 cm dengan memotong pada setiap (d) Menentukan hukum yang me- ujungnya persegi-persegi kongruen seperti ngendalikan pada masalah ter- nampak pada gambar 37. Tentukan ukuran sebut.
volum maksimum kotak. (e) Hukum yang mengendalikan ini menentukan hubungan an-
tara setiap variabel dan kons-
tanta yang merupakan model matematika.
Kedua:
(a) Menyatakan model matematika
yang diperoleh sebagai fungsi
dengan sebuah variabel. (b) Menentukan domain dan range
Gambar 147: Kotak dibangun meng-
fungsi.
gunakan lembaran seng.
(c) Menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi itu ber- Penyelesaian: dasarkan teori yang telah dike-
V mukakan. /K
Besaran Yang Terlibat
Lmb. Sat.
Ukuran panjang Alas
p cm Var
Ketiga:
Ukuran lebar Alas
l cm Var
(a) Menentukan solusi model mate- Ukuran tinggi kotak
x cm Var
matika.
Ukuran volum Kotak
V cm 3 Var
(b) Menginterpretasi solusi model Ukuran luas bahan
s = 12 cm K
sehingga menghasilkan solusi masalah nyata.
Jelas p(x) = 12 – 2x,
l (x) = 12 – 2x, dan Langkah-langkah tersebut dapat
V (x) = (12 – 2x).(12 – 2x).x.
dinyatakan sebagai diagram pemodelan Jelas D v [ 0 , 6 ]
matematika berikut ini.
d ( 4 x 3 48 x 2 144 x )
dan V (x ) =
* Identifikasi besaran
dx
Hukum Yang
* Memberi Lambang
= 12x – 96x + 144
Mengendalikan
* Menentukan satuan
* Pilah Var/ Kons.
= 12(x – 2)(x – 6). Dengan demikian V (x ) =0
Masalah
Model
12(x – 2)(x – 6) = 0 x = 2 atau x = 6.
Nyata
Matematika
Jadi bilangan kritis untuk V adalah 2 dan 6. Uji Turunan pertama di x = 2:
128 Jadi volum maksimum kotak 128 cm 3 .
V (x)
Diagram 146: Pemodelan Matematika
Untuk x = 6 tidak ada kotak yang terjadi.
j\ ¤· · ?P 236
j\ ¤· · ?P 237
Contoh 124
Dengan demikian
Seorang berada dalam perahu (posisi A) T (x ) =0
1 =0 x = 4. yang berjarak 3 mil dari pantai yang lu-
5 4x 2 9
rus. Ia ingin mencapai rumahnya di pantai Jadi bilangan kritis T adalah x = 4. (posisi C) yang berjarak 20 mil dari titik
di pantai yang terdekat padanya (posisi Uji turunan pertama di x = 4:
B). Jika ia dapat mendayung dengan ke-
cepatan + dan berjalan kaki dengan
4 mil
jam
0 + kecepatan 5 mil , tentukan titik di pantai jam
yang harus dituju agar ia sampai di rumah dalam waktu sesingkat mungkin.
A Jadi T(4)= 95 merupakan nilai minimum.
Jadi agar orang itu sampai di rumah da-
3 mil
lam waktu yang paling singkat, ia harus mendayung menuju D di pantai yang berjarak 4 mil dari B.
Contoh 125
20 mil
Sebuah bak berisi 50 liter air asin yang
Gambar 148: Route seseorang di laut
mengandung 10 gram larutan garam. Air
menuju rumah.
asin yang mengandung larutan garam tiap
Besaran yang terlibat
liter mengalir ke dalam bak dengan laju
Jarak BD
mil
Var
5 liter . Secara otomatis campuran
Kec. Mendayung
diaduk agar homogen dan hasil campuran
Kecepatan jalan kaki
ini mengalir ke luar bak dengan laju
jam
liter
3 . Tentukanlah model matematika
Waktu yg dibutuhkan
masalah ini. Dipunyai AD x 2 9 dan CD 20 x .
Model matematika:
Jelas D T [ 0 , 20 ] .
d x 2 9 20 x
Selanjutnya T (x ) =
dx
Gambar 149: Larutan garam masuk mela-
lui kran dan kemudian menga- 4x 2 9 5 galir keluar.
j\ ¤· · ?P 238
j\ ¤· · ?P 239
Tabel 11: Identifikasi besaran
rubahan dengan mendiferensialkan kedua
yang terlibat.
ruas persamaan itu terhadap t (waktu).
Besaran yang Lmb.
Sat.
V /K
Perhatikan contoh berikut ini.
Banyak garam di x (t)
gram
V Contoh 126
bak
Dipunyai fungsi-fungsi f dan g dikaitkan
V oleh persamaan
garam di bak
liter
f 2 (t) = 3[g(t)] + 10,
Volum air di bak x (t)
gram
V Tentukan laju perubahan fungsi f di t = 4,
menit
V apabila diketahui
Laju pertambahan dx
gram
garam di bak dt
G (4) = 2 dan g ( 4 ) 5 .
menit
Laju volum Vm =5
larutan masuk bak
menit
Kedua ruas persamaan diturunkan terha-dap
Laju volum Vk =3
liter
t , diperoleh
larutan keluar bak
menit
d 3 [ g ( t )] 2 10
Pertambahan volum cairan di bak tiap menit
(5 – 3)l = 2l. Jadi y(t) = 50 + 2t.
d 3 [ g ( t )] 2
d ( 10 = ) + Dengan demikian konsentrasi garam di
dt
dt
bak pada saat detik adalah:
Laju garam masuk bak adalah
= 6.g(t). g (t ) .
gram liter
2 gramn .5 = 10 . Jadi f ( 4 ) = 6.g(4). g ( 4 ) .
liter det
det
= 6.2.(-5)
Laju garam yang keluar adalah
Jadi model matematika masalah di atas Sebuah balon berbentuk bola dipompa se- adalah
cm 3
hingga ukuran volumnya naik 100 det . De-
dx 10 3 x dt
30 2 t
ngan laju berapa jari-jari balon naik, ketika x ( 0 ) 10 ukuran jari-jari balon mencapai 6 cm.
yang diselesaikan memanfaatkan anti tu-runan, jadi akan dibahas dalam Penyelesaian: matakuiah Kalkulus 2.
Tabel 11: Identifikasi besaran yang terlibat.
Besaran yang
6. Masalah Laju Yang
Waktu
Detik V
Berkaitan
Volum Balon
V (r)
cm 3 V
Jejari balon
r (t)
cm V
dV Jika dua atau lebih fungsi (dalam 3 100 cm
Laju perubah-
an volum per-
dt
waktu) yang terdeferensial dikaitkan detik
det
dalam sebuah persamaan, selalu diper- oleh
j\ ¤· · ?P 240
j\ ¤· · ?P 241
Jelas V(t) = 4 [ r ( t )] 3 .
substitusikan data yang diketahui
3 untuk menyatakan penyelesaian Andaikan V dan r mempunyai turunan
yang diperoleh. terhadap t. Jadi
dV dV dr
Contoh 128
dt dr dt Seorang mahasiswa fisika berdiri 30 mil
4 3 d ( r ) dr di muka suatu bagian rel pacu yang lurus 100 =
3 dr dt dalam rangka melaksanakan percobaan tentang Efek Dopller. Sebuah kereta
2 dr 100 = 4 . . r .
menghampiri, bergerak sepanjang rel pa- dt
km dr
25 cu dengan kecepatan 30 . Berapa
2 . jam dt
. r penurunan jarak antara kereta dan maha-
dr
Untuk r = 9, diperoleh
siswa ketika kereta api berjarak 50 m dari
dt 81 .
mahasiswa.
Interpretasi: Laju perubahan jejari balon pada saat je- Penyelesaian: jari belum mencapai 9 cm adalah
25 cm
81 . det Berdasarkan pembahasan dan contoh di muka, dapat disusun langkah-langkah
30 cm
menyelesaikan masalah laju yang berka- y itan adalah sebagai berikut:
(1) Jika masalahnya adalah masalah yang dapat diinterpretasi secara
geometrik, sketlah gambarnya.
Gambar 150: Peta lokasi percobaan
(2) Sebutkan semua besaran yang
Efek Dopller
terlibat, tentukan satuannya, dan Tulis K: posisi kereta api pilah mana yang variabel dan
M : posiosi mahasiswa, dan mana yang konstanta.
P : titik di rel pacu yang mempu- (3) Berdasarkan sketlah gambarnya,
nyai jarak terdekat dengan bersama-sama dengan hubungan
dengan mahasiswa. yang diketahui antara variabel-va- Besaran-besaran yang terlibat dicatat pa- riabelnya tulislah persamaan yang
da daftar berikut ini:
mengkaitkan Tabel 11: Identifikasi besaran variabel-variabel
yang terlibat.
yang sesuai.
Besaran
Lamb. Sat. V /K
(4) Turunkan kedua ruas persamaan
Yang terlibat
itu, menggunakan aturan rantai Waktu
t jam V
apabila perlu, untuk memperoleh KP
xm V
suatu persamaan yang mengkait- KM
ym V
kan laju perubahan-laju perubah- V
90 (5) Selesaikan untuk laju yang dicari.
Kereta
jam Setelah mengerjakan ini semua,
dt
j\ ¤· · ?P 242
j\ ¤· · ?P 243
Masalah:
2 dx 3 (c) f ( x ) 4 x , Mencari
pada saat KM = 50. dt 2 (d) f ( x ) 4 x ,
2 Jelas y 2 =x + 900.
3 (e) 3 f ( x ) x 5 x 3 , Selanjutnya diasumsikan bahwa x(t) dan
y (t) mempunyai turunan terhadap varia-
, dan bel t. Jadi
2 2 2. Dipunyai fungsi f : R R dengan
d ( y ) dy
d ( x ) dx .
3 f 2 ( x ) x ax bx 7 mempunyai dy dt
dx dt ekstrim relatif di x = 1 dan x = –3. dy
dx
2 y . = 2 x . (a) Tentukan nilai a dan b, dt
dt (b) Periksa jenis ekstrim relatif terse- dy
x dx = . .
but.
dt y dt Kasus y = 50:
3. Tentukan nilai ekstrim untuk setiap
2 2 fungsi f yang diberikan berikut ini: Jelas x
(c) 2 f ( x ) 4 x , ( , ) , Interpretasi: Laju penurunan jarak antara kereta dan
km
(d) f ( x )
x 5 , [3,5], dan
mahasiswa 50 m adalah 72 .
4. Periksa apakah fungsi f yang diberikan pada selang yang disajikan memenuhi kondisi teorema Rolle:
(a) f ( x )
, [ 1 , 4 ] dan
Latihan Soal Bab. 5
1. Untuk fungsi-fungsi f yang berikut ini,
(b) f ( x )
1 tentukan selang terbesar sehingga
grafik f naik atau turun, tentukan ekstrim relatif dan jenisnya, kemudian
5. Berikan sebuah contoh fungsi f yang dengan informasi yang diperoleh
tak memenuhi kondisi teorema Rolle, sketlah grafik f:
tetapi simpulan pada teorema ini ada
2 opada selang [0,4].
(a) f ( x ) x 4 x 6 , (b) 2 f ( x ) 9 ( x 2 ) ,
j\ ¤· · ?P 244
j\ ¤· · ?P 245
11. Dipunyai fungsi f : R { 4 } R yang fungsi berikut menggunakan uji turun-
6. Periksa naik atau turunnya fungsi-
1 x 7 an pertama:
diberikan oleh f ( x ) mem-
4 x (a) f ( x ) 1 x ,
punyai asimtot datar y = 3. Tentukan
3 nilai a dan b.
(b) f ( x ) x 2 , dan
4 12. Dipunyai fungsi f : D R , D R , (c) f ( x )
dan f ( x )
2 . Garis-garis
7. Tentukan selang terbesar sehingga x ax b fungsi berikut ini cekung ke bawah
x = 3 dan x = 5 merupakan asimtot- atau cekung ke atas:
asimtot tegak grafik f. Tentukan nilai x
a dan b.
(a) f ( x ) , x 1
1 13. Buatlah sket grafik fungsi yang (b) f ( x ) ( x 2 ) 3 , dan
disajikan berikut ini:
8. Dipunyai fungsi f : R
R . Jika f(0) =
0 dan f cekung ke bawah untuk setiap
(c) f ( x ) 9 x
x R , buktikan f (x ) 0 untuk seti-
(d) 2 f ( x ) 4 x , ap x R .
5 9. Tentukan nilai ekstrim relatif dan 2
3 jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut 3 (e) f ( x ) ( x 1 ) ( x 1 ) , menggunakan uji turunan kedua:
14. Tentukan persamaan garis singgung pada grafik fungsi f : R
R dengan
10. Tentukan:
3 f ( x ) x 3 x 5 x yang memiliki x ( 4 x )
(a) x lim 4 2 , lim
gradien paling kecil.
sin x (b)
15. Suatu wabah (epidemi) berjangkit di x lim ,
lim _ tan x ,
2 lingkungan masyarakat. Dalam x bu-
5 lan setelah wabah mulai berjangkit, P
(c) x lim ,
persen penduduk telah terjangkit, x
lim ,
dengan laju
3 ( 1 x ( ) x 1 ) Setelah berapa bulan paling banyak
penduduk yang terjangkit dan berapa
j\ ¤· · ?P 246
j\ ¤· · ?P 247 j\ ¤· · ?P 247
16. Arus searah generator mempunyai gaya elektromotif sebesar E volt dan tahanan sebesar r ohm (E dan r meru- pakan konstanta). Bila R ohm tahan- an luar, (r + R) adalah tahanan total, dan P Watt adalah tenaga, maka
30 2 x
Setelah berapa bulan banyak pendu- duk yang terjangkit mencapai puncak dan berapa persenkah penduduk yang terjangkit.
17. Suatu bak berisi 50 liter air asin yang mengandung 10 gram garam. Air asin yang mengandung 2 gram larutan garam tiap liter mengalir ke dalam
liter
bak dengan laju 5 . Secara oto-
menit matis larutan diaduk agar larutan ini homogen. Hasil campuran ini me- ngalir keluar dari bak dengan laju
liter
5 . Tentukan model matematika menit
masalah tersebut. Tentukan pula ba- nyak garam di bak pada 10 menit yang pertama.
j\ ¤· · ?P 248
j\ ¤· · ?P 249