Grafik Fungsi yang Teliti

4. Grafik Fungsi yang Teliti

Grafik f:

Pada pasal ini didiskusikan ba-

gaimana menggambar grafik suatu fungsi dengan teliti memanfaatkan konsep dan prinsip yang telah dimiliki. Dimulai de-

ngan pengertian tentang asymtot. Di

muka telah dibahas tentang nilai ekstrim

relatif dan kecekungan suatu fungsi. Konsep ini akan dipergunakan untuk

membuat sket grafik suatu fungsi pada selang yang terbatas. Apabila selang yang

Gambar 137: Garis y = 1 merupakan

dimaksud tidak terbatas atau nilai fungsi

asymtot datar untuk f.

itu tak hingga, diperlukan suatu Contoh 118 pengertian baru, yaitu asymtot.

Dipunyai fungsi f : R { 1 } R dengan

f ( x ) 1 x . Definisi 88

Jelas lim f ( x ) = lim 1 x Garis y = L adalah asymtot datar un-

tuk grafik fungsi f salah satu berlaku

Dipunyai fungsi f : R { 0 } R yang dide-

finisikan oleh

Jadi garis y = –1 merupakan asymtot da- Jelas lim f ( x )

lim x = 2

tar untuk f.

xx

Grtafik f:

= 1. Jadi garis y = 1 merupakan asymtot datar Gambar 138: Garis y = –1 merupakan untuk f.

asymtot datar untuk f.

j\ ¤· · ?P 226

j\ ¤· · ?P 227

9 x Dipunyai 2 f : R R dan a R . Gra- fik f mempunyai asymtot tegak di

. x = a apabila terdapat limit tak hingga

lim

berikut: Jadi garis y = –1 adalah asymtot datar un-

lim f ( x )

tuk f. Jelas bahwa pembawah akan sama x a dengan nol x = –3 atau x = 3. Bilangan-

lim f ( x )

bilangan ini adalah calon untuk asymtot- x a asymtot tegak. Untuk mencari keempat

lim f ( x )

limit-limit sepihak, diperlukan informasi x a tentang tanda dari f yang dapat diperoleh

atau menggunakan garis-garis bilangan-bi-

lim f ( x )

x a langan berikut ini.

Dipunyai fungsi +

oleh f ( x )

+ 3+x

( x 3 ) 2 –3

Jelas bahwa

x 3 x 3 Gambar 140: Tanda f(x) berdasarkan

tanda pembangun f(x). x

lim f ( x ) 0 , dan lim f ( x ) 0 .

x Jadi garis x = 3 merupakan asymtot tegak Dengan fasilitas yang ditampilkan pada Gam- dan garis y = 0 merupakan asymtot datar. bar 124, dapat ditentukan:

Grafik f:

x 3 9 x 2 x 3 9 x 2 f Dengan demikian garis-garis x = –3 dan x = 3

merupakan asymtot-asymtot datar. Grafik f:

O Gambar 139: x=3 merupakan asymtot tegak

3 y =0 merupakan asymtot datar

x 2 Gambar 141: Asymtot datar y = –1

Dipunyai f : R { 3 , 3 } R , f ( x )

asymtot tegak x = –3 9 x 2 dan x = 3.

j\ ¤· · ?P 228

j\ ¤· · ?P 229

, runan fungsi dapat dimanfaatkan untuk

Informasi tentang limit dan tu-

x Jelas 1

lim

mengidentifikasi kelakuan grafik suatu

x 1 , fungsi. Untuk mempermudah membuat

lim

sket grafik suatu fungsi diperlukan

langkah-langkah sebagai beruikut: , dan

lim

(1) pertimbangkan domain dan range

. x 0 x ( 2 x fungsi tersebut. )

lim

(2) jika mungkin tentukan nilai nol fungsi dengan menyelesaikan Jadi garis x = 0 dan x = 2 merupakan persamaan f(x) = 0.

asymtot-asymtot tegak untuk f. Selanjut- (3) tentukan semua titik kritis, perik- nya

1 0 sa jenis ekstrimnya, pertim- x lim x 1 dan lim 0 .

x ( 2 x bangkan grafik fungsi naik atau ) turun pada selang-selang yang Jadi garis y = 0 merupakan asymtot datar

ditemukan

untuk f.

(4) tentukan semua asymtot datar

dan asymtot tegak.

(5) tentukan selang sehingga grafik Jelas f (x ) =

dx

fungsi itu cekung ke atas atau ke

bawah, dan titik infleksi.

(6) hitung nilai

fungsi

untuk

beberapa nilai x yng strategis.

Contoh 121

Buatlah sket grafik fungsi yang diberikan Jelas f (x ) tidak ada pada x = 0 dan x = 2. oleh

Selanjutnya f (x ) = 0 tidak mempunyai

. x x 2 2 selesaian. Bilangan-bilangan kritis f adalah x = 0

dan x = 2.

Penyelesaian:

Uji turunan pertama

x 1 x Jelas 1 = = .

f (x )

+ Pembawah bernilai nol untuk x = 0 dan

f (x )

tidak ada

x = 2.

f (x)

Tidak ada

Jadi domain f adalah D f R { 0 , 2 } .

Jelas f(0) = 0, f(x) menuju positif tak + x 2

2 2 hingga apabila x naik menuju 1, dan f(x)

+ menuju negatif tak hingga apabila x turun

f (x )

tidak ada

menuju 0.

f (x)

Tidak ada

Jadi R f R . Jadi fungsi f tidak mempunyai nilai eks-

x Jelas 1 =0 =0

f (x )

x = 1.

trim dan grafik f naik pada f .

j\ ¤· · ?P 230

j\ ¤· · ?P 231

2 ( x 4 x 3 4 x 2 12 x 8 )

Contoh 122

Jelas f (x ) =

Buatlah sket grafik fungsi

Jelas f (x ) =0 x = 1 dan f (x ) tidak f : R { 2 , 2 } R dengan f ( x ) .

ada untuk x = 0 dan x = 2.

0 1 2 Jelas lim

Gambar 142: tanda f (x ) berdasar tanda

lim

, dan

x 2 ( x 2 )( x 2 pembangun ) f (x ) .

f (0) = 0.

Dari fakta yang ada pada Gambar 142 dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi f Jadi D f R { 2 , 2 } , R f R , x = –2 me-

cekung ke atas pada selang ( , 0 ) dan rupakan asymtot tegak, dan x = 2 merupa- [1,2), serta cekung ke bawah pada selang kan asymtot tegak.

) . Jadi titik (1,0) merupakan titik in-

0 dan ( x 2 )( x 2 fleksi. Jelas bahwa )

Jelas lim

f ( 1 ) 2 , f(1) = 0,

dan 2

. Ini menunjukkan bahwa

lim

( x 2 )( x 2 )

2 2 Jadi garis x = 0 merupakan asymtot datar.

titik-titik ( 1 , ) , (1,0), dan ( 3 , ) terle-

. tak pada grafik f.

3 3 8 Jelas x f ( x )

Dengan demikian f ( 2 ) dan f ( 2 ) tidak Grafik f:

ada. Demikian pula

f (x ) 0 8x = 0

x = 0. Jadi bilangan-bilangan kritis untuk f ada- lah –2, 0, dan 1.

1 Uji turunan pertama di titik x = –2:

Gambar 143: Tanda f(x) berdasarkan tanda pembangun f(x).

Uji turunan pertama di titik x = 0:

Uji turunan pertama di titik x = 2: x

Gambar 145: Garis y = 0 asymtot datar, garis x = –2 dan x = 2 me- rupakan asymtot tegak, dan

f (0) nilai maksimum relatif.

Uji turunan pertama untuk f mem- perlihatkan bahwa nilai f(0) = 0 merupa- kan nilai maksimum relatif, grafik f naik

pada selang-selang ( , 2 ) serta ( 2 , 0 ) ,

dan tu-run pada selang-selang (0,2) dan ( 2 , ) . Selanjutnya

5. Penggunaan Turunan Yang

24 x 2 32

f (x ) 0 0 Lain

tidak mempunyai selesaian dan f (x ) ti-

Pemanfaatan turunan yang juga pen- dak ada di titik-titik x = –2 dan x = 2. ting adalah untuk membantu menyele- Tanda f (x ) dianalisis menggunakan saikan masalah-masalah pada kehidupan

garis-garis bilangan beruikut ini.

Masalah Maksmum dan Minimum

(x 2 – 4) 3

Langkah-langkah untuk menyelesai-

kan masalah maksimum-minimum adalah

2 melalui pemodelan matematika. Untuk menyelesaikan suatu masalah adakala-

Gambar 144: Tanda f (x )

nya tidak dapat langsung. Akan tetapi melalui suatu metode yang biasanya dise-

Dengan demikian dapat disimpulkan but dengan pemodelan matematika. grafik f cekung ke atas pada selang-se-

lang ( , 2 ) dan ( 2 , ) serta cekung ke Pertama:

bawah pada selang (–2, 2). Selanjutnya (a) Identifikasi semua besaran yang

nilai f ( 3 ) 9 , f(0) = 0, dan f ( 3 ) 9 . Jadi

terlibat dalam masalah nyata ter-

5 5 sebut.

5 5 (b) Memberi lambang setiap besaran pada grafik f. Grafik f adalah sebagai

titik-titik ( 3 , 9 ) , (0,0), dan ( 3 , 9 ) terletak

yang teridentifikasi. berikut.

j\ ¤· · ?P 234

j\ ¤· · ?P 235

(c) Memilah-milah

besaran-be- Contoh 123

saran itu mana yang variabel Suatu kotak terbuka di atas dibuat dari dan mana yang merupakan lembaran seng berbentuk persegi berukuran konstanta.

sisi 12 cm dengan memotong pada setiap (d) Menentukan hukum yang me- ujungnya persegi-persegi kongruen seperti ngendalikan pada masalah ter- nampak pada gambar 37. Tentukan ukuran sebut.

volum maksimum kotak. (e) Hukum yang mengendalikan ini menentukan hubungan an-

tara setiap variabel dan kons-

tanta yang merupakan model matematika.

Kedua:

(a) Menyatakan model matematika

yang diperoleh sebagai fungsi

dengan sebuah variabel. (b) Menentukan domain dan range

Gambar 147: Kotak dibangun meng-

fungsi.

gunakan lembaran seng.

(c) Menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi itu ber- Penyelesaian: dasarkan teori yang telah dike-

V mukakan. /K

Besaran Yang Terlibat

Lmb. Sat.

Ukuran panjang Alas

p cm Var

Ketiga:

Ukuran lebar Alas

l cm Var

(a) Menentukan solusi model mate- Ukuran tinggi kotak

x cm Var

matika.

Ukuran volum Kotak

V cm 3 Var

(b) Menginterpretasi solusi model Ukuran luas bahan

s = 12 cm K

sehingga menghasilkan solusi masalah nyata.

Jelas p(x) = 12 – 2x,

l (x) = 12 – 2x, dan Langkah-langkah tersebut dapat

V (x) = (12 – 2x).(12 – 2x).x.

dinyatakan sebagai diagram pemodelan Jelas D v [ 0 , 6 ]

matematika berikut ini.

d ( 4 x 3 48 x 2 144 x )

dan V (x ) =

* Identifikasi besaran

dx

Hukum Yang

* Memberi Lambang

= 12x – 96x + 144

Mengendalikan

* Menentukan satuan

* Pilah Var/ Kons.

= 12(x – 2)(x – 6). Dengan demikian V (x ) =0

Masalah

Model

12(x – 2)(x – 6) = 0 x = 2 atau x = 6.

Nyata

Matematika

Jadi bilangan kritis untuk V adalah 2 dan 6. Uji Turunan pertama di x = 2:

128 Jadi volum maksimum kotak 128 cm 3 .

V (x)

Diagram 146: Pemodelan Matematika

Untuk x = 6 tidak ada kotak yang terjadi.

j\ ¤· · ?P 236

j\ ¤· · ?P 237

Contoh 124

Dengan demikian

Seorang berada dalam perahu (posisi A) T (x ) =0

1 =0 x = 4. yang berjarak 3 mil dari pantai yang lu-

5 4x 2 9

rus. Ia ingin mencapai rumahnya di pantai Jadi bilangan kritis T adalah x = 4. (posisi C) yang berjarak 20 mil dari titik

di pantai yang terdekat padanya (posisi Uji turunan pertama di x = 4:

B). Jika ia dapat mendayung dengan ke-

cepatan + dan berjalan kaki dengan

4 mil

jam

0 + kecepatan 5 mil , tentukan titik di pantai jam

yang harus dituju agar ia sampai di rumah dalam waktu sesingkat mungkin.

A Jadi T(4)= 95 merupakan nilai minimum.

Jadi agar orang itu sampai di rumah da-

3 mil

lam waktu yang paling singkat, ia harus mendayung menuju D di pantai yang berjarak 4 mil dari B.

Contoh 125

20 mil

Sebuah bak berisi 50 liter air asin yang

Gambar 148: Route seseorang di laut

mengandung 10 gram larutan garam. Air

menuju rumah.

asin yang mengandung larutan garam tiap

Besaran yang terlibat

liter mengalir ke dalam bak dengan laju

Jarak BD

mil

Var

5 liter . Secara otomatis campuran

Kec. Mendayung

diaduk agar homogen dan hasil campuran

Kecepatan jalan kaki

ini mengalir ke luar bak dengan laju

jam

liter

3 . Tentukanlah model matematika

Waktu yg dibutuhkan

masalah ini. Dipunyai AD x 2 9 dan CD 20 x .

Model matematika:

Jelas D T [ 0 , 20 ] .

d x 2 9 20 x

Selanjutnya T (x ) =

dx

Gambar 149: Larutan garam masuk mela-

lui kran dan kemudian menga- 4x 2 9 5 galir keluar.

j\ ¤· · ?P 238

j\ ¤· · ?P 239

Tabel 11: Identifikasi besaran

rubahan dengan mendiferensialkan kedua

yang terlibat.

ruas persamaan itu terhadap t (waktu).

Besaran yang Lmb.

Sat.

V /K

Perhatikan contoh berikut ini.

Banyak garam di x (t)

gram

V Contoh 126

bak

Dipunyai fungsi-fungsi f dan g dikaitkan

V oleh persamaan

garam di bak

liter

f 2 (t) = 3[g(t)] + 10,

Volum air di bak x (t)

gram

V Tentukan laju perubahan fungsi f di t = 4,

menit

V apabila diketahui

Laju pertambahan dx

gram

garam di bak dt

G (4) = 2 dan g ( 4 ) 5 .

menit

Laju volum Vm =5

larutan masuk bak

menit

Kedua ruas persamaan diturunkan terha-dap

Laju volum Vk =3

liter

t , diperoleh

larutan keluar bak

menit

d 3 [ g ( t )] 2 10

Pertambahan volum cairan di bak tiap menit

(5 – 3)l = 2l. Jadi y(t) = 50 + 2t.

d 3 [ g ( t )] 2

d ( 10 = ) + Dengan demikian konsentrasi garam di

dt

dt

bak pada saat detik adalah:

Laju garam masuk bak adalah

= 6.g(t). g (t ) .

gram liter

2 gramn .5 = 10 . Jadi f ( 4 ) = 6.g(4). g ( 4 ) .

liter det

det

= 6.2.(-5)

Laju garam yang keluar adalah

Jadi model matematika masalah di atas Sebuah balon berbentuk bola dipompa se- adalah

cm 3

hingga ukuran volumnya naik 100 det . De-

dx 10 3 x dt

30 2 t

ngan laju berapa jari-jari balon naik, ketika x ( 0 ) 10 ukuran jari-jari balon mencapai 6 cm.

yang diselesaikan memanfaatkan anti tu-runan, jadi akan dibahas dalam Penyelesaian: matakuiah Kalkulus 2.

Tabel 11: Identifikasi besaran yang terlibat.

Besaran yang

6. Masalah Laju Yang

Waktu

Detik V

Berkaitan

Volum Balon

V (r)

cm 3 V

Jejari balon

r (t)

cm V

dV Jika dua atau lebih fungsi (dalam 3 100 cm

Laju perubah-

an volum per-

dt

waktu) yang terdeferensial dikaitkan detik

det

dalam sebuah persamaan, selalu diper- oleh

j\ ¤· · ?P 240

j\ ¤· · ?P 241

Jelas V(t) = 4 [ r ( t )] 3 .

substitusikan data yang diketahui

3 untuk menyatakan penyelesaian Andaikan V dan r mempunyai turunan

yang diperoleh. terhadap t. Jadi

dV dV dr

Contoh 128

dt dr dt Seorang mahasiswa fisika berdiri 30 mil

4 3 d ( r ) dr di muka suatu bagian rel pacu yang lurus 100 =

3 dr dt dalam rangka melaksanakan percobaan tentang Efek Dopller. Sebuah kereta

2 dr 100 = 4 . . r .

menghampiri, bergerak sepanjang rel pa- dt

km dr

25 cu dengan kecepatan 30 . Berapa

2 . jam dt

. r penurunan jarak antara kereta dan maha-

dr

Untuk r = 9, diperoleh

siswa ketika kereta api berjarak 50 m dari

dt 81 .

mahasiswa.

Interpretasi: Laju perubahan jejari balon pada saat je- Penyelesaian: jari belum mencapai 9 cm adalah

25 cm

81 . det Berdasarkan pembahasan dan contoh di muka, dapat disusun langkah-langkah

30 cm

menyelesaikan masalah laju yang berka- y itan adalah sebagai berikut:

(1) Jika masalahnya adalah masalah yang dapat diinterpretasi secara

geometrik, sketlah gambarnya.

Gambar 150: Peta lokasi percobaan

(2) Sebutkan semua besaran yang

Efek Dopller

terlibat, tentukan satuannya, dan Tulis K: posisi kereta api pilah mana yang variabel dan

M : posiosi mahasiswa, dan mana yang konstanta.

P : titik di rel pacu yang mempu- (3) Berdasarkan sketlah gambarnya,

nyai jarak terdekat dengan bersama-sama dengan hubungan

dengan mahasiswa. yang diketahui antara variabel-va- Besaran-besaran yang terlibat dicatat pa- riabelnya tulislah persamaan yang

da daftar berikut ini:

mengkaitkan Tabel 11: Identifikasi besaran variabel-variabel

yang terlibat.

yang sesuai.

Besaran

Lamb. Sat. V /K

(4) Turunkan kedua ruas persamaan

Yang terlibat

itu, menggunakan aturan rantai Waktu

t jam V

apabila perlu, untuk memperoleh KP

xm V

suatu persamaan yang mengkait- KM

ym V

kan laju perubahan-laju perubah- V

90 (5) Selesaikan untuk laju yang dicari.

Kereta

jam Setelah mengerjakan ini semua,

dt

j\ ¤· · ?P 242

j\ ¤· · ?P 243

Masalah:

2 dx 3 (c) f ( x ) 4 x , Mencari

pada saat KM = 50. dt 2 (d) f ( x ) 4 x ,

2 Jelas y 2 =x + 900.

3 (e) 3 f ( x ) x 5 x 3 , Selanjutnya diasumsikan bahwa x(t) dan

y (t) mempunyai turunan terhadap varia-

, dan bel t. Jadi

2 2 2. Dipunyai fungsi f : R R dengan

d ( y ) dy

d ( x ) dx .

3 f 2 ( x ) x ax bx 7 mempunyai dy dt

dx dt ekstrim relatif di x = 1 dan x = –3. dy

dx

2 y . = 2 x . (a) Tentukan nilai a dan b, dt

dt (b) Periksa jenis ekstrim relatif terse- dy

x dx = . .

but.

dt y dt Kasus y = 50:

3. Tentukan nilai ekstrim untuk setiap

2 2 fungsi f yang diberikan berikut ini: Jelas x

(c) 2 f ( x ) 4 x , ( , ) , Interpretasi: Laju penurunan jarak antara kereta dan

km

(d) f ( x )

x 5 , [3,5], dan

mahasiswa 50 m adalah 72 .

4. Periksa apakah fungsi f yang diberikan pada selang yang disajikan memenuhi kondisi teorema Rolle:

(a) f ( x )

, [ 1 , 4 ] dan

Latihan Soal Bab. 5

1. Untuk fungsi-fungsi f yang berikut ini,

(b) f ( x )

1 tentukan selang terbesar sehingga

grafik f naik atau turun, tentukan ekstrim relatif dan jenisnya, kemudian

5. Berikan sebuah contoh fungsi f yang dengan informasi yang diperoleh

tak memenuhi kondisi teorema Rolle, sketlah grafik f:

tetapi simpulan pada teorema ini ada

2 opada selang [0,4].

(a) f ( x ) x 4 x 6 , (b) 2 f ( x ) 9 ( x 2 ) ,

j\ ¤· · ?P 244

j\ ¤· · ?P 245

11. Dipunyai fungsi f : R { 4 } R yang fungsi berikut menggunakan uji turun-

6. Periksa naik atau turunnya fungsi-

1 x 7 an pertama:

diberikan oleh f ( x ) mem-

4 x (a) f ( x ) 1 x ,

punyai asimtot datar y = 3. Tentukan

3 nilai a dan b.

(b) f ( x ) x 2 , dan

4 12. Dipunyai fungsi f : D R , D R , (c) f ( x )

dan f ( x )

2 . Garis-garis

7. Tentukan selang terbesar sehingga x ax b fungsi berikut ini cekung ke bawah

x = 3 dan x = 5 merupakan asimtot- atau cekung ke atas:

asimtot tegak grafik f. Tentukan nilai x

a dan b.

(a) f ( x ) , x 1

1 13. Buatlah sket grafik fungsi yang (b) f ( x ) ( x 2 ) 3 , dan

disajikan berikut ini:

8. Dipunyai fungsi f : R

R . Jika f(0) =

0 dan f cekung ke bawah untuk setiap

(c) f ( x ) 9 x

x R , buktikan f (x ) 0 untuk seti-

(d) 2 f ( x ) 4 x , ap x R .

5 9. Tentukan nilai ekstrim relatif dan 2

3 jenisnya untuk fungsi-fungsi berikut 3 (e) f ( x ) ( x 1 ) ( x 1 ) , menggunakan uji turunan kedua:

14. Tentukan persamaan garis singgung pada grafik fungsi f : R

R dengan

10. Tentukan:

3 f ( x ) x 3 x 5 x yang memiliki x ( 4 x )

(a) x lim 4 2 , lim

gradien paling kecil.

sin x (b)

15. Suatu wabah (epidemi) berjangkit di x lim ,

lim _ tan x ,

2 lingkungan masyarakat. Dalam x bu-

5 lan setelah wabah mulai berjangkit, P

(c) x lim ,

persen penduduk telah terjangkit, x

lim ,

dengan laju

3 ( 1 x ( ) x 1 ) Setelah berapa bulan paling banyak

penduduk yang terjangkit dan berapa

j\ ¤· · ?P 246

j\ ¤· · ?P 247 j\ ¤· · ?P 247

16. Arus searah generator mempunyai gaya elektromotif sebesar E volt dan tahanan sebesar r ohm (E dan r meru- pakan konstanta). Bila R ohm tahan- an luar, (r + R) adalah tahanan total, dan P Watt adalah tenaga, maka

30 2 x

Setelah berapa bulan banyak pendu- duk yang terjangkit mencapai puncak dan berapa persenkah penduduk yang terjangkit.

17. Suatu bak berisi 50 liter air asin yang mengandung 10 gram garam. Air asin yang mengandung 2 gram larutan garam tiap liter mengalir ke dalam

liter

bak dengan laju 5 . Secara oto-

menit matis larutan diaduk agar larutan ini homogen. Hasil campuran ini me- ngalir keluar dari bak dengan laju

liter

5 . Tentukan model matematika menit

masalah tersebut. Tentukan pula ba- nyak garam di bak pada 10 menit yang pertama.

j\ ¤· · ?P 248

j\ ¤· · ?P 249