Nilai Hampiran Fungsi dan Diferensial
7. Nilai Hampiran Fungsi dan Diferensial
Dipunyai fungsi f : I R dengan Contoh 81
37 . Pertambahan nilai x untuk x o didefinisikan Penyelesaian: sebagai bilangan tak nol yang ditambahkan Tulis f(x) = x ,x o = 36, dan x 1 . ke x o yang menghasilkan bilangan
I R mempunyai turunan di I dan x o I . Tentukan hampiran nilai
=x 2 + .
d [ f ( x )] d ( x )
Jelas f ( x ) =
2 x Selanjutnya, pada pasal ini akan Jadi f(37) = f(36 + 1)
dx
dx
dicari hampiran nilai f(x o + x ) apabila nilai
f ' ( 36 ) f ( 36 ). x x o dan x diberikan. Jelas bahwa
.1 Gambar berikut merupakan ilus-
trasi tentang hampiran nilai f(x 1
o + x ) apabi-
la f(x o ), f ' (x o ), dan x diketahui.
Contoh 22
Tentukan hampiran nilai sin 62 o .
f Penyelesaian:
o f o (x o + x )
Tulis f(x) =sin x, x o = 60 , dan x 2.
d [ f ( x )] d (sin x )
(erorr)
Jelas f ( x ) =
f (x o ) x Jadi f(62 ) = f(60 +1 )
Gambar 97: f(x o + x ) dihampiri oleh f(x o )+f ' (x o )x.
Perhatian:
Jelas bahwa gradien garis singgung di titik x o adalah f ' ( x o ) dan koordinat y suatu titik
Dalam perhitungan nilai hampiran pada garis singgung di titik x o + x adalah untuk f(x o + x ) terdapat penyimpangan
(error) sebesar
yang telah diperli-
f (x o )+f ' (x o ) x . Ini berarti bahwa f ( x o x ) hatkan secara geometri pada Gambar dihampiri oleh f(x o )+f ' (x o ) x , ditulis:
97. Jelas bahwa
f (x o )+f ' (x o ) x .
=f(x o + x )–[f(x o )+f (x o ) x ]
dengan x 0 .
j\ ¤· · ?P 160
j\ ¤· · ?P 161
Berdasarkan uraian di muka diperoleh (b) Tentukan hampiran ukuran jari-jari suatu teorema berikut ini.
bola besi itu dengan kesalahan ukur- an jari-jari tidak lebih dari 0 , 05 cm . Teorema 62
Dipunyai fungsi f mempunyai
Penyelesaian:
turunan untuk setiap nilai x pada suatu selang yang memuat x o .
Tulis r: ukuran jari-jari bola (cm),
Jika x 0 , maka
V : ukuran volum bola (cm ), dan
W : ukuran berat bola (g).
f (x o + x ) = f(x o )+f (x o ) x +
dan dengan lim
Jelas V(r) =
W (r) = 12 r . (a) Jelas W(2) = 96 .
Pertambahan nilai suatu fungsi dapat Jadi berat bola 96 gram. pula dihampiri menggunakan rumus:
(b) Kenyataan menunjukkan bahwa ukur- y f ( x o
an jari-jari bola hasil yang diproduksi
mesin bervariasi dari r o = 2 oleh Jadi y f ( x o ). x .
Gambar berikut memperlihatkan bahwa
Jelas
y dihampiri oleh f ( x o ). x .
Ini berarti bahwa dengan kesalah-
f ( x o ) x an yang dibolehkan untuk r, yaitu
f (x o )
0 , 05 cm
X akan menghasilkan kesalahan berat bola
paling besar
7 , 2 gram .
Pertambahan berat
Gambar 98: Nilai y dihampiri W ' W ( 2 , 05 ) W ( 2 )
oleh f ' (x o )x.
3 = 3 12 ( 2 , 05 ) 12 . 2 Contoh 82
= 7 , 3815 . Suatu bola besi dalam suatu akan dima- Dengan demikian kesalahan relatif dalam
sukkan dalam suatu lingkaran dengan memproduksi bola adalah ukuran jari-jari 2 cm. Bola itu diproduksi
0 , 0246 . menggunakan bahan logam yang mem-
punyai berat 9 gram tiap 1 cm . Jadi persentase kesalahan adalah 2,46%. (a) Tentukan berat bola besi itu sesuai
dengan spesifikasinya.
j\ ¤· · ?P 162
j\ ¤· · ?P 163
2. Tentukan f ' ( x o ) menggunakan defi- gai pertambahan kecil untuk variabel x
Biasanya lambang dx diartikan seba-
nisi untuk setiap fungsi berikut: tepat seperti
x . Sedangkan dy telah
o = 3, digunakan untuk menyatakan hampiran (b) f(x) = 2 x ;x = 8, dari hasil pertambahan
(a) f(x) = 5x 2 ;x
. Jadi y o
dx = x
(c) f(x) =
;x o = 2, dan
dan
(d) f(x) = (x + 2) ;x o = 0.
3. Tentukan f ' ( x ) untuk setiap fungsi Ekspresi dx dan dy disebut diferensial dari
dy = f ( x ). dx .
berikut menggunakan definisi: x dan y. Dengan demikian turunan suatu
(a) f(x) = 5x 2 ,
fungsi dapat diartikan sebagai rasio
(b) f(x) = 2 x ,
pertambahan dy untuk y = f(x) dengan pertambahan dx untuk x. Jelas bahwa 1 (c) f(x) = ,
(d) f(x) = (x + 2) 3 , dan
f 2 ' ( x o ) = lim
o = lim
(e) f(x) = (x – 1) – 1.
dan
4. Dipunyai f:R 3 R dengan f(x)=(x+ 2)
dy
(a) tentukan f dx ' ( 2 ) , (b) tentukan f ' ( 2 ) , dan
Berikut ini beberapa contoh bentuk dife- (c) tentukan f ' ( 2 ) . rensial:
Fungsi Turunan
5. Dipunyai fungsi f: R R yang dibe-
dx
rikan oleh:
Tentukan f ' ( 0 ) dan f ' ( 1 ) apabila ada.
6. Periksa adanya turunan fungsi f yang diberikan oleh f(x)= x .x 1 di x = 1.
Latihan Soal Bab 3
7. Berikan suatu contoh fungsi yang kontinu di titik x = –3 akan tetapi
1. Tentukan persamaan garis-garis yang tidak mempunyai turunan di titik itu. dibangun melalui dua titik berikut ini, tentukan f ' ( x o ) untuk setiap x o yang
8. Tentukan f ' ( x ) untuk setiap fungsi disajikan:
berikut ini:
(a) A(1, 2) dan B(3, 5); x 32
(a) f(x)= (2x + 5) , (b) C(–3, 5) dan D(–5, 9); x 50
o = –6,
(b) f(x)= x(1 – 3x) , dan (c) E(0, –3) dan F(2, –5); x o = 9.
o = 4, dan
(c) f(x)= 1 .
j\ ¤· · ?P 164
j\ ¤· · ?P 165 j\ ¤· · ?P 165
13. Buktikan bahwa:
9. Tunjukkan bahwa
sec x . tan x .
dx
Jika g ( x ) f ( x ) , f ( n ) ( x ) ada, dan
10. Tentukan f '
, maka
apabila:
f ( x (a) f(x) = sin (7x), )
f ( x (b) f(x)= cos ) (1 + 5x), (c) f(x)= 1
tan
2 x 1 14. Tentukan hampiran nilai fungsi:
(d) f(x)= x . sin 4 x , dan
(a) sin 31 dan
sec 5 (b) 82 ( . 1 3 x ) (e) f(x)=
15. Rusuk suatu kubus diukur dengan panjang 11,4 cm dengan galat yang
10. Fungsi f diberikan oleh
1 diperbolehkan 0 , 05 cm , . Hitunglah x 1
x 1 volum kubus dan berikan taksiran Tentukan:
galat untuk volum kubus ini. (a) f 1 ( x ) ,
16. Tentukan besar kesalahan pengukuran (b) ( f 1 ) ' ( x ) menggunakan definisi,
luas permukaan kubus dengan (c) ( f 1 ) ' ( x ) menggunakan teorema,
panjang rusuk 1 m, apabila pada pengukuran panjang rusuk telah
(d) domain f 1 dan (f 1 ) ' .
terjadi
kesalahan yang tidak
melampaui 3%.
11. Tentukan fungsi turunan pertama dari (a) f ( x ) sec 1 x
17. Tentukan laju pertambahan x 2 16
pada x = 3.
18. Dipunyai y = x – x . Tentukan laju
2 12. Tentukan 2 apabila: pertambahan y terhadap x .
19. Tentukan hampiran nilai (b) x.tan y + sin xy = x + y, dan
1 , 4 dan 3 26 .
(c) x.sin y + y.cos x = xy.
20. Dipunyai fungsi f mempunyai turunan pada D f dan g ( x ) x . f ( x 2 ) . Lengkapilah daftar berikut ini:
f (x)
f (x)
[ g ( f i )] ' ( x )
j\ ¤· · ?P 166
j\ ¤· · ?P 167
Pada Bab 4 akan didiskusikan tipe-tipe limit yang lain, yaitu limit tak hingga dan limit di tak hingga. Pada Bab 4 juga didiskusikan teorema D’Lopital yang akan memudahkan menentukan nilai limit fungi-fungsi yang rumit.