Nilai Hampiran Fungsi dan Diferensial

7. Nilai Hampiran Fungsi dan Diferensial

Dipunyai fungsi f : I R dengan Contoh 81

37 . Pertambahan nilai x untuk x o didefinisikan Penyelesaian: sebagai bilangan tak nol yang ditambahkan Tulis f(x) = x ,x o = 36, dan x 1 . ke x o yang menghasilkan bilangan

I R mempunyai turunan di I dan x o I . Tentukan hampiran nilai

=x 2 + .

d [ f ( x )] d ( x )

Jelas f ( x ) =

2 x Selanjutnya, pada pasal ini akan Jadi f(37) = f(36 + 1)

dx

dx

dicari hampiran nilai f(x o + x ) apabila nilai

f ' ( 36 ) f ( 36 ). x x o dan x diberikan. Jelas bahwa

.1 Gambar berikut merupakan ilus-

trasi tentang hampiran nilai f(x 1

o + x ) apabi-

la f(x o ), f ' (x o ), dan x diketahui.

Contoh 22

Tentukan hampiran nilai sin 62 o .

f Penyelesaian:

o f o (x o + x )

Tulis f(x) =sin x, x o = 60 , dan x 2.

d [ f ( x )] d (sin x )

(erorr)

Jelas f ( x ) =

f (x o ) x Jadi f(62 ) = f(60 +1 )

Gambar 97: f(x o + x ) dihampiri oleh f(x o )+f ' (x o )x.

Perhatian:

Jelas bahwa gradien garis singgung di titik x o adalah f ' ( x o ) dan koordinat y suatu titik

Dalam perhitungan nilai hampiran pada garis singgung di titik x o + x adalah untuk f(x o + x ) terdapat penyimpangan

(error) sebesar

yang telah diperli-

f (x o )+f ' (x o ) x . Ini berarti bahwa f ( x o x ) hatkan secara geometri pada Gambar dihampiri oleh f(x o )+f ' (x o ) x , ditulis:

97. Jelas bahwa

f (x o )+f ' (x o ) x .

=f(x o + x )–[f(x o )+f (x o ) x ]

dengan x 0 .

j\ ¤· · ?P 160

j\ ¤· · ?P 161

Berdasarkan uraian di muka diperoleh (b) Tentukan hampiran ukuran jari-jari suatu teorema berikut ini.

bola besi itu dengan kesalahan ukur- an jari-jari tidak lebih dari 0 , 05 cm . Teorema 62

Dipunyai fungsi f mempunyai

Penyelesaian:

turunan untuk setiap nilai x pada suatu selang yang memuat x o .

Tulis r: ukuran jari-jari bola (cm),

Jika x 0 , maka

V : ukuran volum bola (cm ), dan

W : ukuran berat bola (g).

f (x o + x ) = f(x o )+f (x o ) x +

dan dengan lim

Jelas V(r) =

W (r) = 12 r . (a) Jelas W(2) = 96 .

Pertambahan nilai suatu fungsi dapat Jadi berat bola 96 gram. pula dihampiri menggunakan rumus:

(b) Kenyataan menunjukkan bahwa ukur- y f ( x o

an jari-jari bola hasil yang diproduksi

mesin bervariasi dari r o = 2 oleh Jadi y f ( x o ). x .

Gambar berikut memperlihatkan bahwa

Jelas

y dihampiri oleh f ( x o ). x .

Ini berarti bahwa dengan kesalah-

f ( x o ) x an yang dibolehkan untuk r, yaitu

f (x o )

0 , 05 cm

X akan menghasilkan kesalahan berat bola

paling besar

7 , 2 gram .

Pertambahan berat

Gambar 98: Nilai y dihampiri W ' W ( 2 , 05 ) W ( 2 )

oleh f ' (x o )x.

3 = 3 12 ( 2 , 05 ) 12 . 2 Contoh 82

= 7 , 3815 . Suatu bola besi dalam suatu akan dima- Dengan demikian kesalahan relatif dalam

sukkan dalam suatu lingkaran dengan memproduksi bola adalah ukuran jari-jari 2 cm. Bola itu diproduksi

0 , 0246 . menggunakan bahan logam yang mem-

punyai berat 9 gram tiap 1 cm . Jadi persentase kesalahan adalah 2,46%. (a) Tentukan berat bola besi itu sesuai

dengan spesifikasinya.

j\ ¤· · ?P 162

j\ ¤· · ?P 163

2. Tentukan f ' ( x o ) menggunakan defi- gai pertambahan kecil untuk variabel x

Biasanya lambang dx diartikan seba-

nisi untuk setiap fungsi berikut: tepat seperti

x . Sedangkan dy telah

o = 3, digunakan untuk menyatakan hampiran (b) f(x) = 2 x ;x = 8, dari hasil pertambahan

(a) f(x) = 5x 2 ;x

. Jadi y o

dx = x

(c) f(x) =

;x o = 2, dan

dan

(d) f(x) = (x + 2) ;x o = 0.

3. Tentukan f ' ( x ) untuk setiap fungsi Ekspresi dx dan dy disebut diferensial dari

dy = f ( x ). dx .

berikut menggunakan definisi: x dan y. Dengan demikian turunan suatu

(a) f(x) = 5x 2 ,

fungsi dapat diartikan sebagai rasio

(b) f(x) = 2 x ,

pertambahan dy untuk y = f(x) dengan pertambahan dx untuk x. Jelas bahwa 1 (c) f(x) = ,

(d) f(x) = (x + 2) 3 , dan

f 2 ' ( x o ) = lim

o = lim

(e) f(x) = (x – 1) – 1.

dan

4. Dipunyai f:R 3 R dengan f(x)=(x+ 2)

dy

(a) tentukan f dx ' ( 2 ) , (b) tentukan f ' ( 2 ) , dan

Berikut ini beberapa contoh bentuk dife- (c) tentukan f ' ( 2 ) . rensial:

Fungsi Turunan

5. Dipunyai fungsi f: R R yang dibe-

dx

rikan oleh:

Tentukan f ' ( 0 ) dan f ' ( 1 ) apabila ada.

6. Periksa adanya turunan fungsi f yang diberikan oleh f(x)= x .x 1 di x = 1.

Latihan Soal Bab 3

7. Berikan suatu contoh fungsi yang kontinu di titik x = –3 akan tetapi

1. Tentukan persamaan garis-garis yang tidak mempunyai turunan di titik itu. dibangun melalui dua titik berikut ini, tentukan f ' ( x o ) untuk setiap x o yang

8. Tentukan f ' ( x ) untuk setiap fungsi disajikan:

berikut ini:

(a) A(1, 2) dan B(3, 5); x 32

(a) f(x)= (2x + 5) , (b) C(–3, 5) dan D(–5, 9); x 50

o = –6,

(b) f(x)= x(1 – 3x) , dan (c) E(0, –3) dan F(2, –5); x o = 9.

o = 4, dan

(c) f(x)= 1 .

j\ ¤· · ?P 164

j\ ¤· · ?P 165 j\ ¤· · ?P 165

13. Buktikan bahwa:

9. Tunjukkan bahwa

sec x . tan x .

dx

Jika g ( x ) f ( x ) , f ( n ) ( x ) ada, dan

10. Tentukan f '

, maka

apabila:

f ( x (a) f(x) = sin (7x), )

f ( x (b) f(x)= cos ) (1 + 5x), (c) f(x)= 1

tan

2 x 1 14. Tentukan hampiran nilai fungsi:

(d) f(x)= x . sin 4 x , dan

(a) sin 31 dan

sec 5 (b) 82 ( . 1 3 x ) (e) f(x)=

15. Rusuk suatu kubus diukur dengan panjang 11,4 cm dengan galat yang

10. Fungsi f diberikan oleh

1 diperbolehkan 0 , 05 cm , . Hitunglah x 1

x 1 volum kubus dan berikan taksiran Tentukan:

galat untuk volum kubus ini. (a) f 1 ( x ) ,

16. Tentukan besar kesalahan pengukuran (b) ( f 1 ) ' ( x ) menggunakan definisi,

luas permukaan kubus dengan (c) ( f 1 ) ' ( x ) menggunakan teorema,

panjang rusuk 1 m, apabila pada pengukuran panjang rusuk telah

(d) domain f 1 dan (f 1 ) ' .

terjadi

kesalahan yang tidak

melampaui 3%.

11. Tentukan fungsi turunan pertama dari (a) f ( x ) sec 1 x

17. Tentukan laju pertambahan x 2 16

pada x = 3.

18. Dipunyai y = x – x . Tentukan laju

2 12. Tentukan 2 apabila: pertambahan y terhadap x .

19. Tentukan hampiran nilai (b) x.tan y + sin xy = x + y, dan

1 , 4 dan 3 26 .

(c) x.sin y + y.cos x = xy.

20. Dipunyai fungsi f mempunyai turunan pada D f dan g ( x ) x . f ( x 2 ) . Lengkapilah daftar berikut ini:

f (x)

f (x)

[ g ( f i )] ' ( x )

j\ ¤· · ?P 166

j\ ¤· · ?P 167

Pada Bab 4 akan didiskusikan tipe-tipe limit yang lain, yaitu limit tak hingga dan limit di tak hingga. Pada Bab 4 juga didiskusikan teorema D’Lopital yang akan memudahkan menentukan nilai limit fungi-fungsi yang rumit.