Rumus Turunan

3. Rumus Turunan

Pada pasal ini disajikan beberapa Teorema 56 rumus atau aturan untuk menentukan turun- an fungsi-fungsi. Dimulai dengan notasi

Dipunyai fungsi f: I R, I R, dan K yang dimunculkan oleh Gottfried Leibniz,

suatu konstanta di R.

seorang matematikawan (1646 – 1716) se- Jika f(x) = K untuk setiap x di I bagai berikut:

Maka

0 . Notasi Leibniz 55

d [ f ( x )]

dx

Dipunyai fungsi f disajikan dengan per- samaan y = f(x). Turunan fungsi f

Bukti:

dinotasikan dengan

f ( x h ) f ( x Jelas ) =

lim K f K ( x ) atau atau . =

Teorema 57 Jika fungsi f, g : I R, I R, mempu-

nyai turunan di x I maka

Bukti: d [( f . g )( x )]

( f . g )( x h ) ( f . g )( x Jelas ) =

lim dx

f ( x h ). g ( x h ) f ( x ). g ( x = )

lim

f ( x h ). g ( x h ) f ( x ). g ( x h ) f ( x ). g ( x h ) f ( x ). g ( x = )

lim

lim

. lim g ( x h ) lim f ( x ). lim

d [ f ( x = )] f ( x ).

d [ g ( x )]

g ( x ).

dx

dx

j\ ¤· · ?P 132

j\ ¤· · ?P 133 j\ ¤· · ?P 133

Jika f: R R, f(x) = x , dan n semba- rang bilangan bulat tak nol maka

Contoh 63

Tentukan f (x) apabila: dx

(a) f(x) = tan x (c) f(x) = sec x (b) f(x) = cot x

(d) f(x) = csc x. Bukti:

Penyelesaian:

Tulis P(n):

dx

d (tan x (a) Jelas f (x) = ) =

Jelas P(1):

dx d (sin x ) d (cos x )

cos x .

sin x .

Jadi P(1) benar. dx

dx

cos 2 x Dipunyai P(k) benar.

d (cot x (b) Jelas f (x) = ) = Jadi

d (cos x ) d (sin x )

Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.

cos 2 x

= – csc 2 x . Jadi P(n) benar.

Dengan mudah dapat ditunjukkan bah- d ( x n )

n 1 d (sec x Jadi ) n . x . wa: sec x . tan x dan dx

dx d (csc x )

Jika fungsi f, g : I R, I R, mem-

Contoh 64 punyai turunan di x I , dan g(x) 0 '

maka Tentukan f (x) apabila:

f (a) f(x) = x . sin x

cos (b) f(x) = x

sin x cos (c) f(x) = x

1 tan x

j\ ¤· · ?P 134

j\ ¤· · P 135

Penyelesaian: '

x (a) Jelas f (x) = dx

1 7 d (sin x )

sin x .

Jadi nilai x yang memenuhi adalah = x. cos x + sin x.

(b) Jelas f (x) = dx

(b) Jelas f (x) . g (x) = –1 ' d ' ( )

cos x

= x 1 –sin x . cos x = –1

dx

sin x . cos x = 1 ( x 1 ) .

d (cos x )

( x 1 ) 2 Jelas tidak ada nilai x yang memenuhi. Ini berarti bahwa tidan ada garis

( 1 x ) . sin x cos x =

singgung pada kurva f dan g yang ( x 1 ) 2 sejajar.

' d [ f ( x )] (c) Jelas f (x) = dx

d (sin x cos x )

d ( 1 tan x )

( 1 tan x ).

(sin x cos x ).

( 1 tan x )(cos x sin x ) (sin x cos x ). sec 2 x

4. Aturan Rantai

( 1 tan x ) 2

Contoh 65 Tentukan nilai-nilai x pada selang [0,2 ]

Fungsi-fungsi yang rumit merupakan sehingga garis-garis singgung pada kurva fungsi komposisi dari fungsi-fungsi pem-

f (x) = sin x dan g(x) = cos x: bangun. Untuk mempermudah menentukan (a) sejajar

turunan fungsi-fungsi komposisi digunakan (b) tegak lurus.

suatu rumus yang disebut dengan aturan rantai.

Penyelesaian: Ambil sembarang x [0,2 ].

Teorema 60 (Aturan Rantai)

Jelas f (x) = cos x dan g (x) = – sin x. ' ' Jika g mempunyai turunan di xn dan f (a) Jelas f (x) = g (x) ' ' cos x = – sin x

mempunyai turunan di u = g(x) maka ( cos x = cos 3 x )

2 d [( f g )( x )] f ' [ g ( x )]. g ' ( x ) .

dx

j\ ¤· · ?P 136

j\ ¤· · ?P 137

Aturan rantai dapat dinyatakan

dengan notasi Leibniz sebagai berikut (b) Strategi: (1) Ingat rumus

dx dy dy du

(2) Jika x diganti sin x, diper- dx du dx

oleh:

Bukti:

d [(sin x ) 3 ] '

3 sin 2 x . Jelas ( f g ) ( x ) =

d [( f g )( x )]

d (sin x )

Jadi f (x) =

d (sin x )

h 0 h dx

Tulis g(x) = u dan g(x + h) – g(x) = v 3 d (sin x ) d (sin x )

g (x + h) = u + v.

d (sin x ) dx

Jelas h 0 v 0. = 3 sin 2 x . cos x .

Jadi ( f g ) ' ( x ) = lim

[g(x)]. g ' (x).

Tentukan f ' (x) apabila:

dx

(a) f(x) = (x + 3) 10

3 3 d ( 1 ) d ( 1 sin 3 x )

(b) f(x) = sin x

( 1 sin x ).

dx

(c) f(x) =

( 1 sin 3 x ) 2 1 sin 2 x

d ( 1 ) d (sin 3 x ) d (sin x )

( 1 sin 3 x ).

(d) f(x) = .

d (sin x ) dx ( x 2 9 ) 5