Limit Fungsi Secara Intuitif
3. Limit Fungsi Secara Intuitif
Konsep tentang gradien garis singgung ( x 1 ) 2 1 , x 1
h (x)=
merupakan suatu kasus khusus dalam konsep tentang limit fungsi. Secara umum, Grafik f: limit fungsi ditulis dengan
L = lim f ( x )
x a yang dibaca dengan “Limit fungsi f untuk x
mendekati a bernilai L”. O
Secara intuitif, pengertian L = lim f ( x ) x a f
berarti nilai f(x) dekat dengan L apabila nilai x dekat dengan a.
Gambar 73: Secara intuitif, nilai f(0) = 0
Konsep ini dapat dijelaskan melalui gam- dan nilai lim f ( x ) tidak ada. bar berikut.
j\ ¤· · ?P 084
j\ ¤· · ?P 085
Grafik g:
Contoh 41
f Y Berilah contoh sebaran variabel x untuk
f x 1 . Penyelesaian:
Pilih suatu barisan yang konvergen ke 1,
sebagi contoh n 1 ( 1
10 ) n N .
Gambar 74: Secara intuitif: nilai f(1) = 0 dan nilai
Daftar 1:
lim f ( x ) tidak ada.
Sebaran variabel x
x = 1+ ( 10 )
Grafik h:
Gambar 75: Secara intuitif: nilai f(1) tidak ada dan
nilai lim f ( x ) = 1.
1,01 Sebaran variabel x dapat dilihat pada
4. Limit Fungsi Secara Formal
kolom ke-3: tampak bahwa variabel x menghampiri 1 bergayut dari atas dan
Berikut ini akan disajikan konsep limit bawah. secara formal. Dimulai dengan pengertian
Dipunyai x variabel di R dan a suatu (1) Terdapat tak hingga barisan bilang-
an yang konvergen ke 1. nyai arti bahwa sebaran variabel x pa-
konstanta. Ungkapan x a mempu-
(2) Dapat dipilih sembarang barisan
da suatu barisan yang konvergen ke a. yang konvergen ke 1 yang dirasa merupakan fasilitas yang paling menguntungkan.
j\ ¤· · ?P 086
j\ ¤· · ?P 087
Dipunyai f : [ 1 , 4 ] R dengan f(x)=2x–1. Dalam rangka mendefinisikan limit Tentukan lim f ( x ) .
fungsi secara formal menggunakan bahasa x 1 yang akurat perlu dipikirkan beberapa hal
Penyelesaian:
sebagai berikut:
Pilih suatu barisan yang konvergen ke 1,
1 sebagi contoh n 1 (
(1) pernyataan nilai f(x) dekat dengan nilai
L dapat dinyatakan dengan
Daftar 2:
a (2) pernyataan variabel x dekat dengan x
Sebaran f (x) untuk x
nilai a dapat dinyatakan dengan 0,9
(3) kedua butir (1) dan (2) dapat dirangkai 0,99999
sebagai berikut:
untuk setiap bilangan positif kecil dapat dipilih bilangan positif
sehingga apabila 0 x a akan
1 2 1 berlaku f ( x ) L . Berdasarkan ketiga butir tersebut,
1,00000001 2,000000002 1,000000002 dapatlah didefinisikan pengertian limit 1,0000001
fungsi secara formal sebagai berikut: 1,0001
Dipunyai fungsi f : I R , I R , Sebaran nilai f(x) dapat dilihat pada
dan a I . Limit fungsi f bernilai L kolom ke-3: terlihat bahwa nilai f(x) meng-
a ditulis hampiri 1 bergayut dari atas dan bawah.
untuk x
lim f ( x ) =L
Secara numerik dapat disimpulkan bahwa a jika dan hanya jika untuk setiap terdapat bilangan positif , sehingga
lim f ( x ) = 1.
apabila 0 x a . Sekarang akan didefinisikan konsep
Pernyataan untuk setiap limit fungsi secara formal. Di muka telah
terdapat bilang-an positif , sehingga dikenalkan bahwa
apabila 0 x a
dapat disingkat dengan: diartikan bahwa dapat ditentukan nilai f(x)
lim x a f ( x ) =L
0 0 f ( x ) L apabila dekat ke L dengan cara memilih x yang
cukup dekat dengan a.
j\ ¤· · ?P 088
j\ ¤· · ?P 089
Berdasarkan strategi yang dikembangkan, Bukti: penyelesaiannya adalah sebagai berikut:
(a) Tulis f(x) = c.
Ambil sembarang
> 0.
2 Tulis x 2 – 2x + 6 = (x – 1) + 5 = f(x).
Pilih
Ambil sembarang
Dipunya 0 x a . Pilih
min{ 1 , } . Jelas f ( x ) c = c c =0< =
Dipunyai 0 x 2 .
Jadi
0 0 f ( x ) c apabila
Dicari batas x pada selang 0 x 2 1 :
0 x a . Jelas 0 x 2 1 1<x<3
Jadi lim c c .
Jadi 2 f (x ) 6 = ( x 1 ) 1
(b) Buktinya sederhana, diserahkan pem-
= x (x 2 )
baca sebagai latihan.
Jika a,b R maka
Jadi
0 a = b. 0x 2 .
0 0 f ( x ) 6 apabila
a b untuk setiap
Jadi 2 lim [( x 1 ) 5 ] = 6.
x 2 Bukti: Ambil sembarang a,b R .
( ) Dipunyai a b untuk setiap
Andaikan a
Jadi a – b
0. Jadi a b 0 .
5. Sifat-Sifat Limit
Pilih o > 0 sehingga a b o . Jadi a b untuk suatu 1 = o .
Beberapa sifat limit fungsi disajikan 1 2 untuk menghitung nilai limit fungsi yang
Ini suatu kontradiksi. rumit.
Jadi a = b.
Teorema 28 Jadi a b untuk setiap (a) Jika a dan c suatu konstanta real
a =b.
maka lim c c . x a ( ) Dipunyai a = b.
Jelas a – b = 0.
(b) Jika x R Jadi a b 0 untuk setiap
maka lim x a .
x a Jadi a=b
0 . Jadi a b untuk setiap
a b untuk setiap
0 a = b.
j\ ¤· · ?P 090
j\ ¤· · ?P 091
Teorema 30
Bukti (a): Ambil sembarang > 0.
Nilai limit suatu fungsi adalah tung- Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga gal, yaitu
apabila 0 x a 5 1
jika lim f ( x ) L dan lim f ( x ) M
dan
10 2 maka L = M. .
apabila 0 x a
Pilih = min{ 1 , 2 }. Bukti:
Jelas [ f ( x ) g ( x )] [ L M ]
Dipunyai lim f ( x ) L dan lim f ( x ) M .
= [ f ( x ) L ] [ M g ( x )]
f ( x ) L M g ( x ) Ambil sembarang > 0.
Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga
apabila 0 x a
apabila 0 x a 2 .
Pilih = min{ 1 , 2 }.
Jadi
0 0 [ f ( x ) g ( x )] ( L M )
Jelas L M = [ L f ( x )] [ f ( x ) M ]
apabila 0 x a .
Jadi lim [ f ( x ) g ( x )] L M .
5 Bukti (b):
Ambil sembarang > 0. Jadi L M
untuk setiap > 0.
Pilih > 0 sehingga
Jadi L = M.
apabila 0 x a .
Teorema 31 Jelas K . f ( x ) K . L = K . f ( x ) L
Dipunyai lim f ( x ) L , lim g ( x ) M ,
dan K sembarang bilangan real. = . (a) lim [ f ( x ) g ( x )] L M
0 0 [ K . f ( x ) K . L apabila x a
Jadi
(b) lim K . f ( x ) K . L x a Jadi lim K . f ( x ) K . L .
(c) lim f ( x ). g ( x ) L . M
Bukti lainnya diserahkan pembaca (d) lim
L apabila M
sebagai latihan.
j\ ¤· · ?P 092
j\ ¤· · ?P 093
Teorema 32
apabila 0 x a 2 , (a) Jika P 4 n (x) suatu suku banyak dan
dan
a R maka
f (x) g (x) h (x) apabila 0 x a 3 .
lim P n ( x ) P n ( a ) .
x a Pilih = min{ 1 , 2 , 3 }. Ambil sembarang x di 0 x a . P n ( x (b) Jika )
,P n (x) dan Q m (x)
Jelas f(x) g (x) h (x)
g (x) – L h (x) ) – L. masing-masing merupakan suku ba-
f (x) – L
Jadi g ( x ) L maks { f ( x ) L , h ( x ) L }
nyak berderajat n dan m, a D f dan
Q (x)
0 maka < maks { , m }
lim
Jadi
0 0 g ( x ) L apabila
Teorema 33
Jadi lim g ( x ) L .
Jika n bilangan bulat positif dan
lim f ( x ) L x a Prinsip apit dapat diilustrasikan dengan
maka
gambar berikut ini.
lim n f ( x ) n lim f ( x ) nL x a x a
Teorema 34 (Prinsip apit)
TL
Dipunyai fungsi-fungsi f, g, h:I R
terdefinisi pada selang buka I yang me-
muat a.
Jika f(x) g (x) h (x) x I dan lim f ( x ) L lim h ( x )
x a x a Gambar 76: f(x) g (x) h (x) pada I dan maka lim g ( x ) L .
lim f ( x ) L lim h ( x ) x a
Contoh 43
Bukti: Hitunglah: (a) lim ( 3 x 2 2 x 1 )
Dipunyai f(x) g (x) h (x) x I dan
lim f ( x ) L lim h ( x )
(b) lim ( 2 x 2 1 ).( 1 2 x )
Ambil sembarang > 0.
2 x (c) 5 Pilih lim
1 > 0, 2 > 0, dan 3 > 0 sehingga
apabila 0 x a ,
3 1 (d) lim 2 5 x 9
j\ ¤· · ?P 094
j\ ¤· · ?P 095
Penyelesaian:
Bukti:
(a) Jelas lim x 2 x 1 )
(b) Jelas lim ( 2 x 2 1 ).( 1 2 x )
= lim ( 2 x 2 1 ) . lim ( 1 2 x )
1 Gambar 77: Titik P pada lingkaran satuan, =1+3 sudut x cukup kecil, dan t ga-
ris singgung di titik R.
= 4. Untuk nilai x yang cukup kecil (dekat
2 x 5 dengan 0), nilai sin x dengan nilai x sendiri (c) Jelas lim
lim ( 2 x 5 )
= x 2 yang ditulis dengan
x 2 x 2 x 1 lim ( x 2 x 1 )
2 sin x x .
Kasus 0 < x < :
(d) Jelas lim 2 5 x 9 = 2 lim ( 5 x 9 )
Tulis A: ukuran luas OPR
x 0 x 0 B: ukuran luas sektor OPR
C: ukuran luas OSQ.
Jelas A < B < C
6. Limit Fungsi Trigonometri
cos x sin x 1 .
Jadi sin x < x.
Pada teorema berikut ukuran sudut
yang digunakan adalah radian. Ganti x dengan , jadi
sin 2 x x Teorema 35 2
sin x x
2 2 2 4 2 x x 2 2 sin sin x
2 2 lim
2 1 cos x x 2
j\ ¤· · ?P 096
j\ ¤· · ?P 097 j\ ¤· · ?P 097
sin x
Jadi 1 cos x
x 1 . lim Jelas lim tan x =
x 0 x 0 cos x lim sin Kasus x
lim cos x
Jelas
Jadi 1 cos( x )
sin( x )
x 2 cos x sin x
Bukti (c):
sin x 2
lim tan Jelas x = lim cos x
1 Jadi x
cos x sin x 1 untuk
lim sin x
Jelas lim ( 1 x ) 1 lim 1 .
x 0 x x 0 2 x 0 = lim cos x
x Jadi 0
sin x
lim
Dari proses pembuktian Teorema 11,
Bukti lainnya sederhana, diserahkan pem- diperoleh simpulan:
baca sebagai latihan.
Teorema Akibat 36
Contoh 44 sin (a) Tentukan x lim 2
lim cos x 1 x 0
x 0 lim x sin 3 (b) Tentukan x
x 0 2 x tan x
lim 1 cos (c) Tentukan x
(a) Strategi:
x 0 lim sin (1) Ingat rumus x 1 (b) lim tan x 0 ,
(2) Jika x diganti 2x, diperoleh (c) lim
0 , Berdasarkan strategi yang dibangun,
x 0 tan x
penyelesaiannya adalah:
(e) lim sin x sin a , dan
x a Jelas lim
x sin 3 (b) Jelas x
lim
x 0 2 x tan 5 x
j\ ¤· · ?P 098
j\ ¤· · ?P 099
1 3 . sin 3 x
Grafik f:
1 (c) Jelas cos
lim xx x 0 x sin x
Gambar 78: Grafik f ( x )
Dapat dilihat bahwa nilai f(x) akan
mendekati 1 apabila x mendekati 0 dari se- = 1 . lim
belah kanan. Dikatakan fungsi f mempu-
x 0 sin x
nyai limit kanan di 0 yang nilainya 1,
1 = situasi ini ditulis .1.1.1 2 = 1 .
lim f ( x ) 1 . 2
Demikian pula nilai f(x) akan mendekati –1 apabila x mendekati nol dari sebelah kiri. Dikatakan fungsi f mempunyai limit kiri di
0 yang nilainya –1, situasi ini ditulis
lim f ( x )
Perhatian 1 :
7. Limit sepihak
Dengan menggunakan definisi limit, dapat
ditunjukkan bahwa lim tidak ada.
x 0 Perhatikan fungsi f: R–{0) x yang didefinisikan sebagai
Alasan lain yang menyatakan bahwa
lim
tidak ada adalah disebabkan
Fungsi f dapat dinyatakan tanpa tanda nilai x 0 x
mutlak, yaitu lim f ( x ) =1 –1 = lim f ( x ) .
f (x) = =
Limit kiri atau limit kanan di suatu titik suatu fungsi dinamakan limit sepihak.
j\ ¤· · ?P 100
j\ ¤· · ?P 101
Definisi 38 Berdasarkan intuisi tersebut, disimpulkan teorema berikut ini.
Dipunyai fungsi f: (a,b)
R , dan c di
selang (a,b). Limit fungsi f untuk x
1 . mendekati c dari kanan adalah L, ditulis
Jelas
lim f ( x ) 1 0 lim f ( x )
dengan Ke-nyataan ini memberikan petunnjuk
lim f ( x ) L
bahwa nilai lim f ( x ) tidak ada.
jika dan hanya jika untuk setiap
terdapat
> 0 sehingga f ( x ) L
Teorema 40:
R , dan a I . Nilai lim f ( x ) ada dan bernilai L jika Definisi 39
apabila c < x < c + .
Dipunyai f: I
R ,I
dan hanya jika
Dipunyai fungsi f: (a,b)
R , dan c di
selang (a,b). Limit fungsi f untuk x lim f ( x ) =L= lim f ( x ) . mendekati c dari kiri adalah L, ditulis
dengan
lim f ( x ) L
Buktinya fakultatif dan diserahkan jika dan hanya jika untuk setiap
pembaca sebagai latihan. terdapat
> 0 sehingga f ( x ) L
apabila c – <x<c.
Contoh 46 Perhatikan fungsi f pada Contoh 7. Bukti-
Dipunyai f: [–1,3]
x , x 0 (b)
lim f ( x ) 0 .
Grafik f:
Bukti (a): Strategi: (1) Ambil sembarang > 0.
1 (2) Pilih > 0, sehingga f (x ) 1
3 apabi- la –
< x < 0: Dipunyai – < x < 0.
Jelas 0 < –x < 0< x < . Jelas f(x) = x + 1.
Gambar 79: Grafik fungsi f pada [–1,3].
Secara intuitif, dapat dilihat bahwa: Jadi f (x ) 1 = x < . (i) f(0) = 0 2 = 0, Dipilih = .
(ii) lim f ( x ) 1 , dan x 0 Berdasarkan strategi yang dikembang-
(iii) lim f ( x ) 0 . kan disusun bukti sebagai berikut:
j\ ¤· · ?P 102
j\ ¤· · ?P 103
Contoh 47
Ambil sembarang > 0. Dipunyai f: [ 1 , 3 ] R dengan f ( x ) x . Pilih = .
Grafik f:
Dipunyai – < x < 0. Jelas 0 < –x <
0< x < .
Jelas f (x ) 1 = x
Jadi untuk setiap > 0 terdapat
0 sehingga f (x ) 1 <
Jadi lim f ( x ) 1 .
Bukti (b): Gambar 80: Grafik fungsi f ( x ) x Strategi:
pada [–1,3].
(1) Ambil sembarang > 0. (2) Pilih > 0, sehingga f (x ) 0 Jelas lim f ( x ) 1 , lim f ( x ) 1 ,
apabi- la 0 < x < :
Dipunyai 0 < x < .
1 , lim f ( x ) 0 , Jelas 0 < x <
lim f ( x )
0< x <.
2 lim f ( x ) 0 lim f ( x ) Jelas f(x) = x 1 . , ,
Jadi f (x ) 0 = x 2 2 = 2 x < .
Berdasarkan strategi yang dikembangkan
disusun bukti sebagai berikut: Berdasarkan fakta ini, dapat disim-
Ambil sembarang > 0.
pulkan:
Pilih = . Dipunyai 0 < x < .
(a) Dipunyai titik –1 merupakan titik ujung. Jelas 0 < x <
0< x <
Dengan demikian
0< 2 x < .
lim f ( x ) = lim f ( x ) = –1.
1 Jelas f (x ) 0 = x 2 (b) Nilai lim f ( x ) 1 , dapat dicek bahwa
Jadi untuk setiap > 0 terdapat
(c) Jelas lim f ( x ) 1 0 lim f ( x ) 0 .
x 0 x 0 sehingga 0
f (x ) 0 <
apabila
Jadi lim f ( x ) 1 tidak ada. – < x < 0.
Jadi lim f ( x ) 0 .
(d) Jelas lim f ( x ) 1 2 lim f ( x ) .
Jadi lim f ( x ) tidak ada.
j\ ¤· · ?P 104
j\ ¤· · ?P 105 j\ ¤· · ?P 105
Jelas 4 x 4 1 x 3 1
Contoh 48 0 [( x 3 ) 2 1 ] 1 ( 1 ) 2
Dipunyai fungsi 1
Hitunglah lim f ( x ) apabila ada, kemudian Jadi f (x ) 0 = (x 3 ) 2 1 x 4
buktikan. < 1 ( 1 ) 2 = .
Penyelesaian: Kasus 4 x 4 :
Grafik f:
Jelas
X Jadi f (x ) 0 = x 4 < = .
Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se- hingga f (x ) 0 < apabila 0 x 4 .
Gambar 81: Nilai lim f ( x ) 0 . x 4
Jadi lim f ( x ) = 0.
x 4 Jelas lim f ( x ) = lim x ( 3 ) 2 1 0 dan
lim f ( x ) = lim ( x 4 ) 0
Jelas lim f ( x ) =0= lim f ( x ) .
8. Kekontinuan Fungsi
Jadi lim f ( x ) ada dan lim f ( x ) = 0.
Pada pengertian limit fungsi di titik Butki formalnya:
a , fungsi f terdefinisi pada suatu selang buka I , kecuali mungkin di titik a sendiri. Ambil sembarang > 0.
Sekarang dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat titik a. Jikla limit
Pilih = min { , 1 1 } .
fungsi f di titik a ada dan nilainya sama
Dipunyai 0 x 4 .
dengan nilai fungsi di titik a, maka fungsi f
Jelas 4 x 4 .
dikatakan kontinu di titik a. Definisi ini dapat dinyatakan sebagai berikut.
j\ ¤· · ?P 107 Definisi 41
j\ ¤· · ?P 106
Jelas lim ( x 1 ) 2 f ( 1 ) .
Jadi fungsi f tak kontinu di titik 1. Contoh 50
(a) Fungsi f(x) =
Grafik f:
Contoh 49
Dipunyai fungsi f: R 3 R , f(x) = x + 1. Jelas 2
lim ( x 1 ) 2 , lim ( x 1 ) 2 , dan
O 1 x 1 Jadi f kontinu di titik 1.
f (1) = 2. Jadi lim ( x 1 ) 2 f ( 1 ) .
Contoh 49
Gambar 83: Fungsi f tak kontinu x 2 1 loncat di titik 1 ter-
Dipunyai fungsi f(x) =
x 1 . Periksa
definisi di titik 1.
apakah f kontinu di titik 1.
(b) Dipunyai fungsi f(x) = .
Penyelesaian:
Grafil f:
Jelas f(x) = Y .
Grafik f:
Gambar 84: Fungsi f tak kontinu loncat di titik 1 tak
Gambar 82: Fungsi f tak kontinu yang terdefinisi di titik 1. dapat dihilangkan di titik 1.
Pembaca diminta memeriksa mengapa:
Jelas lim f ( x ) lim ( x 1 ) 2 ,
fungsi pada butir (a) dan (b) tak kontinu, x 1 x 1 selanjutnya buktikan secara formal.
lim f ( x ) lim ( x 1 ) 2 , dan
x 1 x 1 Konsep kontinunya fungsi f di titik a
f (1) = 1. dapat disajikan sebagai berikut.
j\ ¤· · ?P 108
j\ ¤· · ?P 109
Teorema 42
apabila x a 2 1 Dipunyai fungsi f: I
R dan a
dan
Fungsi f dikatakan kontinu di titik a
apabila x a 2 . jika dan hanya jika
Untuk setiap > 0 terdapat
Pilih = min{ 1 , 2 }. sehingga
Dipunyai x a .
apabila x a .
Jelas ( f g )( x ) ( f g )( a ) = f ( x ) g ( x ) f ( a ) g ( a ) = [ f ( x ) f ( a )] [ g ( x ) g ( a )]
Contoh 51 [ f ( x ) f ( a )] g ( x ) g ( a Dipunyai f: R ) R , f(x) = x + 1.
Buktikan f kontinu di titik 1.
Bukti:
Ambil sembarang > 0.
Pilih = . Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se- Dipunyai x 1 .
hingga ( f g )( x ) ( f g )( a ) < apabila
Jelas f (x ) 2 = x 1 <
Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se- Jadi fungsi f + g kontinu di titik a. hingga f (x ) 2 apabila x 1 .
Jadi f kontinu di titik 1. Bukti lainnya diserahkan pembaca sebagai latihan.
Berikut ini disajikan beberapa sifat tentang kekontinuan fungsi.
Definisi 44
(i) Fungsi f : (a,b) R dikatakan Teorema 43 kontinu pada (a,b) jika dan hanya
Jika fungsi-fungsi f, g: I
jika fkontinu di setiap titik pada di titik a
R kontinu
I , dan K suatu konstanta di
(a,b)
R maka fungsi-fungsi: (ii) Fungsi f : [a,b] R dikatakan (i) f + g,
kontinu pada [a,b] jika dan hanya (ii) K.f,
jika f kontinu di setiap titik pada (iii) f . g, dan
(a,b),
f lim f ( x ) f ( a ) , (iv)
apabila g(a) 0
kontinu di titik a.
dan
lim f ( x ) f ( b ) .
Bukti (i): Dipunyai f dan g kontinu di titik a.
R yang kontinu Ambil sembarang > 0.
Suatu fungsi f: I
di setiap titik di I dikatakan kontinu pada
Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga
selang I.
j\ · · ?P 110
j\ ¤· · ?P 111
Contoh 52
Bukti (i):
Dipunyai fungsi n f : ( 2 , ) R yang disa- Tulis P(n): f(x) = x kontinu pada R.
jikan dengan rumus dan f ( x )
1 . Pe-
x 2 Jelas P(1): f(x) = x kontinu pada R.
riksa apakah f kontinu pada ( 2 , ) .
Jelas f kontinu pada R. Jadi P(1) benar.
Pemeriksaan:
Dipunyai P(k) benar.
Grafik f: k Jelas f(x) = x kontinu pada R. Tulis x k = g(x) dan x = h(x).
X Jelas g . h kontinu pada R. k+ 1
f Jadi f(x) = x kontinu pada R. Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.
Jadi P(n) benar.
f (x o )
X Jadi f: R
R , f(x) = x kontinu pada R.
Bukti (ii) diserahkan pembaca sebagai latihan. Gambar 85: Fungsi f : ( 2 , ) R ,
Sama seperti konsep limit, kekonti- f ( x )
1 kontinu
x 2 nuan fungsi juga dikenal dengan adanya kontinu sepihak. Sebagai contoh perhatikan
Ambil sembarang x o
fungsi f: (1,4] 1 R , f(x) = . 1
x 1 Jelas f(x o )= x o 2 dan Y
lim f ( x ) lim
Jadi lim f ( x ) f ( x o ) untuk setiap x o di x x o
selang (2,+ ). Jadi fungsi f kontinu pada selang (2,+ ).
Teorema 45
Gambar 86: f kontinu kiri di titik 4 dan
f Untuk setiap bilangan asli n berlaku: tak kontinu kanan di titik 1.
Berdasarkan intuisi dapat dilihat (i) f: R
R , f(x) = x kontinu pada R.
f ( 4 ) dan f(1) tidak (ii) Jika fungsi g: R
1 bahwa 1
R kontinu di
lim
titik a maka f(x) = [g(x)] juga ada. Kondisi ini menyatakan bahwa fungsi
kontinu di titik a.
f kontinu kiri di titik 4 dan f tak kontinu kanan di titik 1.
j\ ¤· · ?P 112
j\ ¤· · ?P 113
Definisi 46 Kekontinuan sepihak suatu fungsi di- definisikan sebagai berikut. Dipunyai fungsi f: I
R dan a
Definisi 47
(i) fungsi f dikatakan kontinu kanan
I . x a (i) lim f ( x ) f ( a ) jika dan hanya ji- dan
jika lim f ( x ) f ( a )
Dipunyai fungsi f: I
R dan a
ka untuk setiap >0 terdapat >0 (ii) fungsi f dikatakan kontinu kanan
sehingga f ( x ) f ( a ) apabila
jika lim f ( x ) f ( a )
a <x<a+ .
x a (ii)
lim f ( x ) f ( a ) jika dan hanya ji-
Contoh 53 ka untuk setiap >0 terdapat >0 Dipunyai fungsi f: [1,5]
R yang diberi-
sehingga f ( x ) f ( a ) apabila
kan oleh f ( x )
<x<a.
Grafik f:
Contoh 54 Dipunyai fungsi f : R
R yang diberikan
f oleh
x 3 , x 1 . Buktikan f tak kontinu
kiri dan kontinu kanan di titik 1.
Grafik f:
Gambar 87: Gambar fungsi dengan x , 1 x 3 1 f
f (x)=
O1
(a) Jelas lim f ( x ) lim x 1 f ( 1 ) . x 1 x 1
Jadi f kontinu kanan di titik 1.
(b) Jelas lim f ( x ) lim x 3 f ( 3 ) . x 3 x 3
Jadi f kontinu kiri di titik 3. (c) Jelas Gambar 88: f tak kontinu kiri dan
lim f ( x ) lim ( x 5 ) 2 akan te-
x 3 x 3 kontinu kanan di titik 1. tapi f(3) tidak ada.
Bukti:
Jadi f tak kontinu kanan di titik 3.
(a) Ambil sembarang
(d) Jelas lim f ( x ) lim ( x 5 ) 0 f ( 5 ) .
= min{1, }. 3 Jadi f kontinu kiri di titik 5.
x 5 x 5 Pilih
j\ ¤· · ?P 114
j\ ¤· · ?P 115
Dipunyai 1 – < x < 1.
Teorema 48
Jelas – < x–1< 0
0 <–(x – 1)<
Jika fungsi f, g: I
R ,a
2 lim g ( x ) L , dan f kontinu di titik L Dicari batas x + x + 1 pada 0 < x < 1:
Jelas x 2 (x 1 ) 2 +x+1= 3 .
maka
Jelas 0 < x < 1
1 x 1 3 lim f [ g ( x )] f lim g ( x ) . 2 2 2 x a x a
2 4 Bukti:
3 Jadi Dipunyai f kontinu di titik L dan f (x ) 1 = x 1 lim g ( x ) L .
= ( x 1 )( x 2 x 1 )
Tulis g(x) = y. Ambil sembarang > 0.
= x 1 . x 2 x 1 Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga <3
apabila y L 1 = .
dan
Jadi untuk setiap > 0 terdapat
g ( x ) L 1 apabila 0 x a 2 .
sehingga f (x ) 1 apabila 1– <x Pilih = 2 .
Dipunyai 0 x a .
Jelas g ( x ) L 1 y L 1 . x 1
Jadi lim f ( x ) 1 f ( 1 ) .
Jadi f ( y ) f ( L )
Jadi f kontinu kiri di titik 1. f [ g ( x )] f ( g ( L ))
. (b) Ambil sembarang
> 0 terdapat >0 Pilih
Jadi untuk setiap
= . se- hingga f [ g ( x )] f ( g ( L )) apabila Dipunyai 1 < x < 1 + .
Jelas 0 < x – 1 <
. Jadi lim f [ g ( x )] f lim g ( x ) = f(L). x a x Jadi a
f (x ) 1 = x 1 <
Jadi untuk setiap
> 0 terdapat
>0 Contoh 55
sehingga f (x ) 1 apabila 1<x <1+ Penyelesaian:
. Tentukan lim x ( 2 ) 10 1 .
Jadi lim f ( x ) 1 .
x 1 Tulis (x – 2) = g(x) dan x 10 + 1 = f(x). Akan tetapi f(1) tidak ada.
Jelas lim g ( x ) lim ( x 2 ) 1 . Jadi f tak kontinu kanan di titik 1.
Jadi lim x ( 2 ) 2 1 = f lim g ( x ) x 1 x 1 Berikut ini disajikan beberapa sifat
= f(–1) kekontinuan fungsi untuk fungsi komposi-
= 2. si yang dapat digunakan untuk memeriksa
kekontinuan fungsi-fungsi yang rumit.
j\ ¤· · ?P 116
j\ ¤· · ?P 117
Teorema 49
Latihan Soal Bab 2
Jika fungsi f, g: I
R , I selang buka
memuat a, g kontinu pada I, dan f
1. Dipunyai fungsi f disajikan dengan f(x) = kontinu di L = g(a) maka
x 2x 1 . Hitung dan buktikan:
(a) lim f ( x )
fungsi komposisi f g kontinu di a.
(b) lim f ( x ) x 5
Bukti:
2. Periksa adanya limit fungsi f yang disajikan dengan f(x) = 2x 1 2 untuk
Dipunyai g kontinu pada I dan
x mendekati:
f kontinu di g(a) = L.
(a) 3,
Tulis g(x) = y.
(b) –1, dan
Ambil sembarang
Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga
(c) .
apabila y L 1
dan
3. Hitunglah nilai limit berikut: g ( x ) L
1 apabila x a 2 .
x . sin Jelas x f [ g ( x )] f [ g ( a )]
apabila x a .
(b) lim
x 0 1 cos 6 x
Jadi lim f [ g ( x )] f [ g ( a )] .
x a (c) lim
1 cos x
Jadi f g kontinu di titik a.
4. Hitunglah limit berikut ini: Contoh 56
sin x
Periksa apakah fungsi f: R
R dengan f(x)
(a) lim (
= sin (x – 10) kontinu pada R.
Tulis x – 10 = g(x) dan sin x = h(x).
(d) lim
sec 2 x . tan x
Ambil sembarang x o
x 0 sin x
Jelas lim g ( x ) x 2 o 10 g ( x o ) .
lim tan 5 (e) x
Jadi g kontinu untuk setiap x o
Jadi g kontinu pada R. Ambil sembarang u
5. Hitunglah lim f ( x ) apabila: x g 0 (x
R sehingga u =
o ).
2 (a) 2 – 3x 3 f (x) 2 + 7x untuk setiap Jelas h kontinu di titik u.
Jadi f = h g kontinu di u untuk setiap u. (b) 1 – 3x 2 f (x) cos x untuk setiap x Jadi f kontinu pada R.
j\ ¤· · ?P 118
j\ ¤· · ?P 119
6. Dipunyai fungsi f diberikan oleh
12. Periksa apakah fungsi berikut kontinu x , x 1 di titik yang disajikan:
x 1 , x 2 (a) Sketlah grafik fungsi f,
(a) f ( x )
;a=2
(b) Periksa adanya lim f ( x ) , dan
(c) Buktikan butir (b) secara formal.
13. Dipunyai fungsi f: R R , f(x) = K
(a) 2 lim 2 (d)
untuk suatu K
R . Buktikan bahwa f
kontinu pada R.
lim x ( 3 8 ) 7 x 1
14. Dipunyai a, b, c
1 , x 2 . Tentukan ni-
2 4 , (c) x
lim ( x 2 2 x ) 15 (f) lim x
lai a agar f kontinu di titik 2.
7. Butkikan bahwa pernyataan berikut tidak
15. Dipunyai fungsi f disajikan oleh benar:
x 2 , 1 x 2 . Hitunglah: x 1
1 x 8. Buktikan: 2
(b) lim f n x (e) lim f ( x ) Jika lim y c untuk setiap bilangan
(f) lim f ( x ) bilangan bulat positif n.
y c (c) lim f ( x )
9. Tentukan selang terbesar fungsi yang
16. Periksa kekontinuan fungsi-fungsi: tan diberikan oleh x
1 4 x 2 kontinu.
, x (a) 0
10. Jika fungsi f : I
R kontinu di titik a,
, x buktikan fungsi (9. f) juga kontinu di 0 (b)
sin x
titik a.
11. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut kontinu di titik yang diberikan:
17. Dipunyai fungsi-fungsi f, g: I R , (a) f ( x ) x 2 5 ,a=0
f (x)
g (x) untuk setiap a
I , dan
lim g ( x ) L .
(b) f ( x ) 1 x ,a=1
1 Buktikan bahwa lim f ( x ) L . (c) f ( x ) 1 ,a=1
2 (d) x f ( x )
, a = –3 x
j\ ¤· · ?P 120
j\ ¤· · ?P 121
Pada Bab 3 ini didiskusikan tentang turunan (derivative) suatu fungsi. Pembicara-an dimulai dengan menghitung gradien garis singgung suatu kurva di suatu titik menggunakan konsep limit yang telah dikembangkan pada Bab 2. Ide tentang gradien garis singgung ini diperluas menjadi turunan suatu fungsi. Beberapa teorema atau sifat-sifat turunan disajikan yang beberapa diantaranya dilengkapi dengan bukti. Setiap konsep, teorema, atau sifat yang disajikan dilengkapi dengan suatu contoh agar daya serap pembaca dapat ditingkatkan.
Gradien garis singgung pada kurva f di titik P(x o ,y o ) telah dibicarakan pada Bab 2, yaitu:
lim o
o apabila nilai limit ini ada. Nilai
o disebut perbedaan
hasil bagi, sebab ini merupakan perubahan perbandingan nilai fungsi apabila nilai x berubah, yaitu dari titik (x o ,y o ) menjadi titik (x o + h, f (x o + h)). Nilai h dapat bernilai positif atau negatif. Nilai h yang positif berarti 0 dihampiri h dari kanan dan nilai h yang negatif berarti 0 dihampiri h dari kiri. Situasi ini dapat diperlihatkan pada gambar berikut ini.
Y Q(x o +h,f(x o +h))
Q(x o +h,f(x o +h))
P(x ,f(x
o ))
P(x
o ,f(x o ))
x o +h
x o +h O
Gambar 89: gradien garis PQ adalah Gambar 90: gradien garis PQ adalah
,h>0
,h<0
j\ ¤· · ?P 122
j\ ¤· · ?P 123