Limit Fungsi Secara Intuitif

3. Limit Fungsi Secara Intuitif

Konsep tentang gradien garis singgung ( x 1 ) 2 1 , x 1

h (x)=

merupakan suatu kasus khusus dalam konsep tentang limit fungsi. Secara umum, Grafik f: limit fungsi ditulis dengan

L = lim f ( x )

x a yang dibaca dengan “Limit fungsi f untuk x

mendekati a bernilai L”. O

Secara intuitif, pengertian L = lim f ( x ) x a f

berarti nilai f(x) dekat dengan L apabila nilai x dekat dengan a.

Gambar 73: Secara intuitif, nilai f(0) = 0

Konsep ini dapat dijelaskan melalui gam- dan nilai lim f ( x ) tidak ada. bar berikut.

j\ ¤· · ?P 084

j\ ¤· · ?P 085

Grafik g:

Contoh 41

f Y Berilah contoh sebaran variabel x untuk

f x 1 . Penyelesaian:

Pilih suatu barisan yang konvergen ke 1,

sebagi contoh n 1 ( 1

10 ) n N .

Gambar 74: Secara intuitif: nilai f(1) = 0 dan nilai

Daftar 1:

lim f ( x ) tidak ada.

Sebaran variabel x

x = 1+ ( 10 )

Grafik h:

Gambar 75: Secara intuitif: nilai f(1) tidak ada dan

nilai lim f ( x ) = 1.

1,01 Sebaran variabel x dapat dilihat pada

4. Limit Fungsi Secara Formal

kolom ke-3: tampak bahwa variabel x menghampiri 1 bergayut dari atas dan

Berikut ini akan disajikan konsep limit bawah. secara formal. Dimulai dengan pengertian

Dipunyai x variabel di R dan a suatu (1) Terdapat tak hingga barisan bilang-

an yang konvergen ke 1. nyai arti bahwa sebaran variabel x pa-

konstanta. Ungkapan x a mempu-

(2) Dapat dipilih sembarang barisan

da suatu barisan yang konvergen ke a. yang konvergen ke 1 yang dirasa merupakan fasilitas yang paling menguntungkan.

j\ ¤· · ?P 086

j\ ¤· · ?P 087

Dipunyai f : [ 1 , 4 ] R dengan f(x)=2x–1. Dalam rangka mendefinisikan limit Tentukan lim f ( x ) .

fungsi secara formal menggunakan bahasa x 1 yang akurat perlu dipikirkan beberapa hal

Penyelesaian:

sebagai berikut:

Pilih suatu barisan yang konvergen ke 1,

1 sebagi contoh n 1 (

(1) pernyataan nilai f(x) dekat dengan nilai

L dapat dinyatakan dengan

Daftar 2:

a (2) pernyataan variabel x dekat dengan x

Sebaran f (x) untuk x

nilai a dapat dinyatakan dengan 0,9

(3) kedua butir (1) dan (2) dapat dirangkai 0,99999

sebagai berikut:

untuk setiap bilangan positif kecil dapat dipilih bilangan positif

sehingga apabila 0 x a akan

1 2 1 berlaku f ( x ) L . Berdasarkan ketiga butir tersebut,

1,00000001 2,000000002 1,000000002 dapatlah didefinisikan pengertian limit 1,0000001

fungsi secara formal sebagai berikut: 1,0001

Dipunyai fungsi f : I R , I R , Sebaran nilai f(x) dapat dilihat pada

dan a I . Limit fungsi f bernilai L kolom ke-3: terlihat bahwa nilai f(x) meng-

a ditulis hampiri 1 bergayut dari atas dan bawah.

untuk x

lim f ( x ) =L

Secara numerik dapat disimpulkan bahwa a jika dan hanya jika untuk setiap terdapat bilangan positif , sehingga

lim f ( x ) = 1.

apabila 0 x a . Sekarang akan didefinisikan konsep

Pernyataan untuk setiap limit fungsi secara formal. Di muka telah

terdapat bilang-an positif , sehingga dikenalkan bahwa

apabila 0 x a

dapat disingkat dengan: diartikan bahwa dapat ditentukan nilai f(x)

lim x a f ( x ) =L

0 0 f ( x ) L apabila dekat ke L dengan cara memilih x yang

cukup dekat dengan a.

j\ ¤· · ?P 088

j\ ¤· · ?P 089

Berdasarkan strategi yang dikembangkan, Bukti: penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

(a) Tulis f(x) = c.

Ambil sembarang

> 0.

2 Tulis x 2 – 2x + 6 = (x – 1) + 5 = f(x).

Pilih

Ambil sembarang

Dipunya 0 x a . Pilih

min{ 1 , } . Jelas f ( x ) c = c c =0< =

Dipunyai 0 x 2 .

Jadi

0 0 f ( x ) c apabila

Dicari batas x pada selang 0 x 2 1 :

0 x a . Jelas 0 x 2 1 1<x<3

Jadi lim c c .

Jadi 2 f (x ) 6 = ( x 1 ) 1

(b) Buktinya sederhana, diserahkan pem-

= x (x 2 )

baca sebagai latihan.

Jika a,b R maka

Jadi

0 a = b. 0x 2 .

0 0 f ( x ) 6 apabila

a b untuk setiap

Jadi 2 lim [( x 1 ) 5 ] = 6.

x 2 Bukti: Ambil sembarang a,b R .

( ) Dipunyai a b untuk setiap

Andaikan a

Jadi a – b

0. Jadi a b 0 .

5. Sifat-Sifat Limit

Pilih o > 0 sehingga a b o . Jadi a b untuk suatu 1 = o .

Beberapa sifat limit fungsi disajikan 1 2 untuk menghitung nilai limit fungsi yang

Ini suatu kontradiksi. rumit.

Jadi a = b.

Teorema 28 Jadi a b untuk setiap (a) Jika a dan c suatu konstanta real

a =b.

maka lim c c . x a ( ) Dipunyai a = b.

Jelas a – b = 0.

(b) Jika x R Jadi a b 0 untuk setiap

maka lim x a .

x a Jadi a=b

0 . Jadi a b untuk setiap

a b untuk setiap

0 a = b.

j\ ¤· · ?P 090

j\ ¤· · ?P 091

Teorema 30

Bukti (a): Ambil sembarang > 0.

Nilai limit suatu fungsi adalah tung- Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga gal, yaitu

apabila 0 x a 5 1

jika lim f ( x ) L dan lim f ( x ) M

dan

10 2 maka L = M. .

apabila 0 x a

Pilih = min{ 1 , 2 }. Bukti:

Jelas [ f ( x ) g ( x )] [ L M ]

Dipunyai lim f ( x ) L dan lim f ( x ) M .

= [ f ( x ) L ] [ M g ( x )]

f ( x ) L M g ( x ) Ambil sembarang > 0.

Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga

apabila 0 x a

apabila 0 x a 2 .

Pilih = min{ 1 , 2 }.

Jadi

0 0 [ f ( x ) g ( x )] ( L M )

Jelas L M = [ L f ( x )] [ f ( x ) M ]

apabila 0 x a .

Jadi lim [ f ( x ) g ( x )] L M .

5 Bukti (b):

Ambil sembarang > 0. Jadi L M

untuk setiap > 0.

Pilih > 0 sehingga

Jadi L = M.

apabila 0 x a .

Teorema 31 Jelas K . f ( x ) K . L = K . f ( x ) L

Dipunyai lim f ( x ) L , lim g ( x ) M ,

dan K sembarang bilangan real. = . (a) lim [ f ( x ) g ( x )] L M

0 0 [ K . f ( x ) K . L apabila x a

Jadi

(b) lim K . f ( x ) K . L x a Jadi lim K . f ( x ) K . L .

(c) lim f ( x ). g ( x ) L . M

Bukti lainnya diserahkan pembaca (d) lim

L apabila M

sebagai latihan.

j\ ¤· · ?P 092

j\ ¤· · ?P 093

Teorema 32

apabila 0 x a 2 , (a) Jika P 4 n (x) suatu suku banyak dan

dan

a R maka

f (x) g (x) h (x) apabila 0 x a 3 .

lim P n ( x ) P n ( a ) .

x a Pilih = min{ 1 , 2 , 3 }. Ambil sembarang x di 0 x a . P n ( x (b) Jika )

,P n (x) dan Q m (x)

Jelas f(x) g (x) h (x)

g (x) – L h (x) ) – L. masing-masing merupakan suku ba-

f (x) – L

Jadi g ( x ) L maks { f ( x ) L , h ( x ) L }

nyak berderajat n dan m, a D f dan

Q (x)

0 maka < maks { , m }

lim

Jadi

0 0 g ( x ) L apabila

Teorema 33

Jadi lim g ( x ) L .

Jika n bilangan bulat positif dan

lim f ( x ) L x a Prinsip apit dapat diilustrasikan dengan

maka

gambar berikut ini.

lim n f ( x ) n lim f ( x ) nL x a x a

Teorema 34 (Prinsip apit)

TL

Dipunyai fungsi-fungsi f, g, h:I R

terdefinisi pada selang buka I yang me-

muat a.

Jika f(x) g (x) h (x) x I dan lim f ( x ) L lim h ( x )

x a x a Gambar 76: f(x) g (x) h (x) pada I dan maka lim g ( x ) L .

lim f ( x ) L lim h ( x ) x a

Contoh 43

Bukti: Hitunglah: (a) lim ( 3 x 2 2 x 1 )

Dipunyai f(x) g (x) h (x) x I dan

lim f ( x ) L lim h ( x )

(b) lim ( 2 x 2 1 ).( 1 2 x )

Ambil sembarang > 0.

2 x (c) 5 Pilih lim

1 > 0, 2 > 0, dan 3 > 0 sehingga

apabila 0 x a ,

3 1 (d) lim 2 5 x 9

j\ ¤· · ?P 094

j\ ¤· · ?P 095

Penyelesaian:

Bukti:

(a) Jelas lim x 2 x 1 )

(b) Jelas lim ( 2 x 2 1 ).( 1 2 x )

= lim ( 2 x 2 1 ) . lim ( 1 2 x )

1 Gambar 77: Titik P pada lingkaran satuan, =1+3 sudut x cukup kecil, dan t ga-

ris singgung di titik R.

= 4. Untuk nilai x yang cukup kecil (dekat

2 x 5 dengan 0), nilai sin x dengan nilai x sendiri (c) Jelas lim

lim ( 2 x 5 )

= x 2 yang ditulis dengan

x 2 x 2 x 1 lim ( x 2 x 1 )

2 sin x x .

Kasus 0 < x < :

(d) Jelas lim 2 5 x 9 = 2 lim ( 5 x 9 )

Tulis A: ukuran luas OPR

x 0 x 0 B: ukuran luas sektor OPR

C: ukuran luas OSQ.

Jelas A < B < C

6. Limit Fungsi Trigonometri

cos x sin x 1 .

Jadi sin x < x.

Pada teorema berikut ukuran sudut

yang digunakan adalah radian. Ganti x dengan , jadi

sin 2 x x Teorema 35 2

sin x x

2 2 2 4 2 x x 2 2 sin sin x

2 2 lim

2 1 cos x x 2

j\ ¤· · ?P 096

j\ ¤· · ?P 097 j\ ¤· · ?P 097

sin x

Jadi 1 cos x

x 1 . lim Jelas lim tan x =

x 0 x 0 cos x lim sin Kasus x

lim cos x

Jelas

Jadi 1 cos( x )

sin( x )

x 2 cos x sin x

Bukti (c):

sin x 2

lim tan Jelas x = lim cos x

1 Jadi x

cos x sin x 1 untuk

lim sin x

Jelas lim ( 1 x ) 1 lim 1 .

x 0 x x 0 2 x 0 = lim cos x

x Jadi 0

sin x

lim

Dari proses pembuktian Teorema 11,

Bukti lainnya sederhana, diserahkan pem- diperoleh simpulan:

baca sebagai latihan.

Teorema Akibat 36

Contoh 44 sin (a) Tentukan x lim 2

lim cos x 1 x 0

x 0 lim x sin 3 (b) Tentukan x

x 0 2 x tan x

lim 1 cos (c) Tentukan x

(a) Strategi:

x 0 lim sin (1) Ingat rumus x 1 (b) lim tan x 0 ,

(2) Jika x diganti 2x, diperoleh (c) lim

0 , Berdasarkan strategi yang dibangun,

x 0 tan x

penyelesaiannya adalah:

(e) lim sin x sin a , dan

x a Jelas lim

x sin 3 (b) Jelas x

lim

x 0 2 x tan 5 x

j\ ¤· · ?P 098

j\ ¤· · ?P 099

1 3 . sin 3 x

Grafik f:

1 (c) Jelas cos

lim xx x 0 x sin x

Gambar 78: Grafik f ( x )

Dapat dilihat bahwa nilai f(x) akan

mendekati 1 apabila x mendekati 0 dari se- = 1 . lim

belah kanan. Dikatakan fungsi f mempu-

x 0 sin x

nyai limit kanan di 0 yang nilainya 1,

1 = situasi ini ditulis .1.1.1 2 = 1 .

lim f ( x ) 1 . 2

Demikian pula nilai f(x) akan mendekati –1 apabila x mendekati nol dari sebelah kiri. Dikatakan fungsi f mempunyai limit kiri di

0 yang nilainya –1, situasi ini ditulis

lim f ( x )

Perhatian 1 :

7. Limit sepihak

Dengan menggunakan definisi limit, dapat

ditunjukkan bahwa lim tidak ada.

x 0 Perhatikan fungsi f: R–{0) x yang didefinisikan sebagai

Alasan lain yang menyatakan bahwa

lim

tidak ada adalah disebabkan

Fungsi f dapat dinyatakan tanpa tanda nilai x 0 x

mutlak, yaitu lim f ( x ) =1 –1 = lim f ( x ) .

f (x) = =

Limit kiri atau limit kanan di suatu titik suatu fungsi dinamakan limit sepihak.

j\ ¤· · ?P 100

j\ ¤· · ?P 101

Definisi 38 Berdasarkan intuisi tersebut, disimpulkan teorema berikut ini.

Dipunyai fungsi f: (a,b)

R , dan c di

selang (a,b). Limit fungsi f untuk x

1 . mendekati c dari kanan adalah L, ditulis

Jelas

lim f ( x ) 1 0 lim f ( x )

dengan Ke-nyataan ini memberikan petunnjuk

lim f ( x ) L

bahwa nilai lim f ( x ) tidak ada.

jika dan hanya jika untuk setiap

terdapat

> 0 sehingga f ( x ) L

Teorema 40:

R , dan a I . Nilai lim f ( x ) ada dan bernilai L jika Definisi 39

apabila c < x < c + .

Dipunyai f: I

R ,I

dan hanya jika

Dipunyai fungsi f: (a,b)

R , dan c di

selang (a,b). Limit fungsi f untuk x lim f ( x ) =L= lim f ( x ) . mendekati c dari kiri adalah L, ditulis

dengan

lim f ( x ) L

Buktinya fakultatif dan diserahkan jika dan hanya jika untuk setiap

pembaca sebagai latihan. terdapat

> 0 sehingga f ( x ) L

apabila c – <x<c.

Contoh 46 Perhatikan fungsi f pada Contoh 7. Bukti-

Dipunyai f: [–1,3]

x , x 0 (b)

lim f ( x ) 0 .

Grafik f:

Bukti (a): Strategi: (1) Ambil sembarang > 0.

1 (2) Pilih > 0, sehingga f (x ) 1

3 apabi- la –

< x < 0: Dipunyai – < x < 0.

Jelas 0 < –x < 0< x < . Jelas f(x) = x + 1.

Gambar 79: Grafik fungsi f pada [–1,3].

Secara intuitif, dapat dilihat bahwa: Jadi f (x ) 1 = x < . (i) f(0) = 0 2 = 0, Dipilih = .

(ii) lim f ( x ) 1 , dan x 0 Berdasarkan strategi yang dikembang-

(iii) lim f ( x ) 0 . kan disusun bukti sebagai berikut:

j\ ¤· · ?P 102

j\ ¤· · ?P 103

Contoh 47

Ambil sembarang > 0. Dipunyai f: [ 1 , 3 ] R dengan f ( x ) x . Pilih = .

Grafik f:

Dipunyai – < x < 0. Jelas 0 < –x <

0< x < .

Jelas f (x ) 1 = x

Jadi untuk setiap > 0 terdapat

0 sehingga f (x ) 1 <

Jadi lim f ( x ) 1 .

Bukti (b): Gambar 80: Grafik fungsi f ( x ) x Strategi:

pada [–1,3].

(1) Ambil sembarang > 0. (2) Pilih > 0, sehingga f (x ) 0 Jelas lim f ( x ) 1 , lim f ( x ) 1 ,

apabi- la 0 < x < :

Dipunyai 0 < x < .

1 , lim f ( x ) 0 , Jelas 0 < x <

lim f ( x )

0< x <.

2 lim f ( x ) 0 lim f ( x ) Jelas f(x) = x 1 . , ,

Jadi f (x ) 0 = x 2 2 = 2 x < .

Berdasarkan strategi yang dikembangkan

disusun bukti sebagai berikut: Berdasarkan fakta ini, dapat disim-

Ambil sembarang > 0.

pulkan:

Pilih = . Dipunyai 0 < x < .

(a) Dipunyai titik –1 merupakan titik ujung. Jelas 0 < x <

0< x <

Dengan demikian

0< 2 x < .

lim f ( x ) = lim f ( x ) = –1.

1 Jelas f (x ) 0 = x 2 (b) Nilai lim f ( x ) 1 , dapat dicek bahwa

Jadi untuk setiap > 0 terdapat

(c) Jelas lim f ( x ) 1 0 lim f ( x ) 0 .

x 0 x 0 sehingga 0

f (x ) 0 <

apabila

Jadi lim f ( x ) 1 tidak ada. – < x < 0.

Jadi lim f ( x ) 0 .

(d) Jelas lim f ( x ) 1 2 lim f ( x ) .

Jadi lim f ( x ) tidak ada.

j\ ¤· · ?P 104

j\ ¤· · ?P 105 j\ ¤· · ?P 105

Jelas 4 x 4 1 x 3 1

Contoh 48 0 [( x 3 ) 2 1 ] 1 ( 1 ) 2

Dipunyai fungsi 1

Hitunglah lim f ( x ) apabila ada, kemudian Jadi f (x ) 0 = (x 3 ) 2 1 x 4

buktikan. < 1 ( 1 ) 2 = .

Penyelesaian: Kasus 4 x 4 :

Grafik f:

Jelas

X Jadi f (x ) 0 = x 4 < = .

Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se- hingga f (x ) 0 < apabila 0 x 4 .

Gambar 81: Nilai lim f ( x ) 0 . x 4

Jadi lim f ( x ) = 0.

x 4 Jelas lim f ( x ) = lim x ( 3 ) 2 1 0 dan

lim f ( x ) = lim ( x 4 ) 0

Jelas lim f ( x ) =0= lim f ( x ) .

8. Kekontinuan Fungsi

Jadi lim f ( x ) ada dan lim f ( x ) = 0.

Pada pengertian limit fungsi di titik Butki formalnya:

a , fungsi f terdefinisi pada suatu selang buka I , kecuali mungkin di titik a sendiri. Ambil sembarang > 0.

Sekarang dipunyai fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat titik a. Jikla limit

Pilih = min { , 1 1 } .

fungsi f di titik a ada dan nilainya sama

Dipunyai 0 x 4 .

dengan nilai fungsi di titik a, maka fungsi f

Jelas 4 x 4 .

dikatakan kontinu di titik a. Definisi ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

j\ ¤· · ?P 107 Definisi 41

j\ ¤· · ?P 106

Jelas lim ( x 1 ) 2 f ( 1 ) .

Jadi fungsi f tak kontinu di titik 1. Contoh 50

(a) Fungsi f(x) =

Grafik f:

Contoh 49

Dipunyai fungsi f: R 3 R , f(x) = x + 1. Jelas 2

lim ( x 1 ) 2 , lim ( x 1 ) 2 , dan

O 1 x 1 Jadi f kontinu di titik 1.

f (1) = 2. Jadi lim ( x 1 ) 2 f ( 1 ) .

Contoh 49

Gambar 83: Fungsi f tak kontinu x 2 1 loncat di titik 1 ter-

Dipunyai fungsi f(x) =

x 1 . Periksa

definisi di titik 1.

apakah f kontinu di titik 1.

(b) Dipunyai fungsi f(x) = .

Penyelesaian:

Grafil f:

Jelas f(x) = Y .

Grafik f:

Gambar 84: Fungsi f tak kontinu loncat di titik 1 tak

Gambar 82: Fungsi f tak kontinu yang terdefinisi di titik 1. dapat dihilangkan di titik 1.

Pembaca diminta memeriksa mengapa:

Jelas lim f ( x ) lim ( x 1 ) 2 ,

fungsi pada butir (a) dan (b) tak kontinu, x 1 x 1 selanjutnya buktikan secara formal.

lim f ( x ) lim ( x 1 ) 2 , dan

x 1 x 1 Konsep kontinunya fungsi f di titik a

f (1) = 1. dapat disajikan sebagai berikut.

j\ ¤· · ?P 108

j\ ¤· · ?P 109

Teorema 42

apabila x a 2 1 Dipunyai fungsi f: I

R dan a

dan

Fungsi f dikatakan kontinu di titik a

apabila x a 2 . jika dan hanya jika

Untuk setiap > 0 terdapat

Pilih = min{ 1 , 2 }. sehingga

Dipunyai x a .

apabila x a .

Jelas ( f g )( x ) ( f g )( a ) = f ( x ) g ( x ) f ( a ) g ( a ) = [ f ( x ) f ( a )] [ g ( x ) g ( a )]

Contoh 51 [ f ( x ) f ( a )] g ( x ) g ( a Dipunyai f: R ) R , f(x) = x + 1.

Buktikan f kontinu di titik 1.

Bukti:

Ambil sembarang > 0.

Pilih = . Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se- Dipunyai x 1 .

hingga ( f g )( x ) ( f g )( a ) < apabila

Jelas f (x ) 2 = x 1 <

Jadi untuk setiap > 0 terdapat > 0 se- Jadi fungsi f + g kontinu di titik a. hingga f (x ) 2 apabila x 1 .

Jadi f kontinu di titik 1. Bukti lainnya diserahkan pembaca sebagai latihan.

Berikut ini disajikan beberapa sifat tentang kekontinuan fungsi.

Definisi 44

(i) Fungsi f : (a,b) R dikatakan Teorema 43 kontinu pada (a,b) jika dan hanya

Jika fungsi-fungsi f, g: I

jika fkontinu di setiap titik pada di titik a

R kontinu

I , dan K suatu konstanta di

(a,b)

R maka fungsi-fungsi: (ii) Fungsi f : [a,b] R dikatakan (i) f + g,

kontinu pada [a,b] jika dan hanya (ii) K.f,

jika f kontinu di setiap titik pada (iii) f . g, dan

(a,b),

f lim f ( x ) f ( a ) , (iv)

apabila g(a) 0

kontinu di titik a.

dan

lim f ( x ) f ( b ) .

Bukti (i): Dipunyai f dan g kontinu di titik a.

R yang kontinu Ambil sembarang > 0.

Suatu fungsi f: I

di setiap titik di I dikatakan kontinu pada

Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga

selang I.

j\ · · ?P 110

j\ ¤· · ?P 111

Contoh 52

Bukti (i):

Dipunyai fungsi n f : ( 2 , ) R yang disa- Tulis P(n): f(x) = x kontinu pada R.

jikan dengan rumus dan f ( x )

1 . Pe-

x 2 Jelas P(1): f(x) = x kontinu pada R.

riksa apakah f kontinu pada ( 2 , ) .

Jelas f kontinu pada R. Jadi P(1) benar.

Pemeriksaan:

Dipunyai P(k) benar.

Grafik f: k Jelas f(x) = x kontinu pada R. Tulis x k = g(x) dan x = h(x).

X Jelas g . h kontinu pada R. k+ 1

f Jadi f(x) = x kontinu pada R. Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.

Jadi P(n) benar.

f (x o )

X Jadi f: R

R , f(x) = x kontinu pada R.

Bukti (ii) diserahkan pembaca sebagai latihan. Gambar 85: Fungsi f : ( 2 , ) R ,

Sama seperti konsep limit, kekonti- f ( x )

1 kontinu

x 2 nuan fungsi juga dikenal dengan adanya kontinu sepihak. Sebagai contoh perhatikan

Ambil sembarang x o

fungsi f: (1,4] 1 R , f(x) = . 1

x 1 Jelas f(x o )= x o 2 dan Y

lim f ( x ) lim

Jadi lim f ( x ) f ( x o ) untuk setiap x o di x x o

selang (2,+ ). Jadi fungsi f kontinu pada selang (2,+ ).

Teorema 45

Gambar 86: f kontinu kiri di titik 4 dan

f Untuk setiap bilangan asli n berlaku: tak kontinu kanan di titik 1.

Berdasarkan intuisi dapat dilihat (i) f: R

R , f(x) = x kontinu pada R.

f ( 4 ) dan f(1) tidak (ii) Jika fungsi g: R

1 bahwa 1

R kontinu di

lim

titik a maka f(x) = [g(x)] juga ada. Kondisi ini menyatakan bahwa fungsi

kontinu di titik a.

f kontinu kiri di titik 4 dan f tak kontinu kanan di titik 1.

j\ ¤· · ?P 112

j\ ¤· · ?P 113

Definisi 46 Kekontinuan sepihak suatu fungsi di- definisikan sebagai berikut. Dipunyai fungsi f: I

R dan a

Definisi 47

(i) fungsi f dikatakan kontinu kanan

I . x a (i) lim f ( x ) f ( a ) jika dan hanya ji- dan

jika lim f ( x ) f ( a )

Dipunyai fungsi f: I

R dan a

ka untuk setiap >0 terdapat >0 (ii) fungsi f dikatakan kontinu kanan

sehingga f ( x ) f ( a ) apabila

jika lim f ( x ) f ( a )

a <x<a+ .

x a (ii)

lim f ( x ) f ( a ) jika dan hanya ji-

Contoh 53 ka untuk setiap >0 terdapat >0 Dipunyai fungsi f: [1,5]

R yang diberi-

sehingga f ( x ) f ( a ) apabila

kan oleh f ( x )

<x<a.

Grafik f:

Contoh 54 Dipunyai fungsi f : R

R yang diberikan

f oleh

x 3 , x 1 . Buktikan f tak kontinu

kiri dan kontinu kanan di titik 1.

Grafik f:

Gambar 87: Gambar fungsi dengan x , 1 x 3 1 f

f (x)=

O1

(a) Jelas lim f ( x ) lim x 1 f ( 1 ) . x 1 x 1

Jadi f kontinu kanan di titik 1.

(b) Jelas lim f ( x ) lim x 3 f ( 3 ) . x 3 x 3

Jadi f kontinu kiri di titik 3. (c) Jelas Gambar 88: f tak kontinu kiri dan

lim f ( x ) lim ( x 5 ) 2 akan te-

x 3 x 3 kontinu kanan di titik 1. tapi f(3) tidak ada.

Bukti:

Jadi f tak kontinu kanan di titik 3.

(a) Ambil sembarang

(d) Jelas lim f ( x ) lim ( x 5 ) 0 f ( 5 ) .

= min{1, }. 3 Jadi f kontinu kiri di titik 5.

x 5 x 5 Pilih

j\ ¤· · ?P 114

j\ ¤· · ?P 115

Dipunyai 1 – < x < 1.

Teorema 48

Jelas – < x–1< 0

0 <–(x – 1)<

Jika fungsi f, g: I

R ,a

2 lim g ( x ) L , dan f kontinu di titik L Dicari batas x + x + 1 pada 0 < x < 1:

Jelas x 2 (x 1 ) 2 +x+1= 3 .

maka

Jelas 0 < x < 1

1 x 1 3 lim f [ g ( x )] f lim g ( x ) . 2 2 2 x a x a

2 4 Bukti:

3 Jadi Dipunyai f kontinu di titik L dan f (x ) 1 = x 1 lim g ( x ) L .

= ( x 1 )( x 2 x 1 )

Tulis g(x) = y. Ambil sembarang > 0.

= x 1 . x 2 x 1 Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga <3

apabila y L 1 = .

dan

Jadi untuk setiap > 0 terdapat

g ( x ) L 1 apabila 0 x a 2 .

sehingga f (x ) 1 apabila 1– <x Pilih = 2 .

Dipunyai 0 x a .

Jelas g ( x ) L 1 y L 1 . x 1

Jadi lim f ( x ) 1 f ( 1 ) .

Jadi f ( y ) f ( L )

Jadi f kontinu kiri di titik 1. f [ g ( x )] f ( g ( L ))

. (b) Ambil sembarang

> 0 terdapat >0 Pilih

Jadi untuk setiap

= . se- hingga f [ g ( x )] f ( g ( L )) apabila Dipunyai 1 < x < 1 + .

Jelas 0 < x – 1 <

. Jadi lim f [ g ( x )] f lim g ( x ) = f(L). x a x Jadi a

f (x ) 1 = x 1 <

Jadi untuk setiap

> 0 terdapat

>0 Contoh 55

sehingga f (x ) 1 apabila 1<x <1+ Penyelesaian:

. Tentukan lim x ( 2 ) 10 1 .

Jadi lim f ( x ) 1 .

x 1 Tulis (x – 2) = g(x) dan x 10 + 1 = f(x). Akan tetapi f(1) tidak ada.

Jelas lim g ( x ) lim ( x 2 ) 1 . Jadi f tak kontinu kanan di titik 1.

Jadi lim x ( 2 ) 2 1 = f lim g ( x ) x 1 x 1 Berikut ini disajikan beberapa sifat

= f(–1) kekontinuan fungsi untuk fungsi komposi-

= 2. si yang dapat digunakan untuk memeriksa

kekontinuan fungsi-fungsi yang rumit.

j\ ¤· · ?P 116

j\ ¤· · ?P 117

Teorema 49

Latihan Soal Bab 2

Jika fungsi f, g: I

R , I selang buka

memuat a, g kontinu pada I, dan f

1. Dipunyai fungsi f disajikan dengan f(x) = kontinu di L = g(a) maka

x 2x 1 . Hitung dan buktikan:

(a) lim f ( x )

fungsi komposisi f g kontinu di a.

(b) lim f ( x ) x 5

Bukti:

2. Periksa adanya limit fungsi f yang disajikan dengan f(x) = 2x 1 2 untuk

Dipunyai g kontinu pada I dan

x mendekati:

f kontinu di g(a) = L.

(a) 3,

Tulis g(x) = y.

(b) –1, dan

Ambil sembarang

Pilih 1 > 0 dan 2 > 0 sehingga

(c) .

apabila y L 1

dan

3. Hitunglah nilai limit berikut: g ( x ) L

1 apabila x a 2 .

x . sin Jelas x f [ g ( x )] f [ g ( a )]

apabila x a .

(b) lim

x 0 1 cos 6 x

Jadi lim f [ g ( x )] f [ g ( a )] .

x a (c) lim

1 cos x

Jadi f g kontinu di titik a.

4. Hitunglah limit berikut ini: Contoh 56

sin x

Periksa apakah fungsi f: R

R dengan f(x)

(a) lim (

= sin (x – 10) kontinu pada R.

Tulis x – 10 = g(x) dan sin x = h(x).

(d) lim

sec 2 x . tan x

Ambil sembarang x o

x 0 sin x

Jelas lim g ( x ) x 2 o 10 g ( x o ) .

lim tan 5 (e) x

Jadi g kontinu untuk setiap x o

Jadi g kontinu pada R. Ambil sembarang u

5. Hitunglah lim f ( x ) apabila: x g 0 (x

R sehingga u =

o ).

2 (a) 2 – 3x 3 f (x) 2 + 7x untuk setiap Jelas h kontinu di titik u.

Jadi f = h g kontinu di u untuk setiap u. (b) 1 – 3x 2 f (x) cos x untuk setiap x Jadi f kontinu pada R.

j\ ¤· · ?P 118

j\ ¤· · ?P 119

6. Dipunyai fungsi f diberikan oleh

12. Periksa apakah fungsi berikut kontinu x , x 1 di titik yang disajikan:

x 1 , x 2 (a) Sketlah grafik fungsi f,

(a) f ( x )

;a=2

(b) Periksa adanya lim f ( x ) , dan

(c) Buktikan butir (b) secara formal.

13. Dipunyai fungsi f: R R , f(x) = K

(a) 2 lim 2 (d)

untuk suatu K

R . Buktikan bahwa f

kontinu pada R.

lim x ( 3 8 ) 7 x 1

14. Dipunyai a, b, c

1 , x 2 . Tentukan ni-

2 4 , (c) x

lim ( x 2 2 x ) 15 (f) lim x

lai a agar f kontinu di titik 2.

7. Butkikan bahwa pernyataan berikut tidak

15. Dipunyai fungsi f disajikan oleh benar:

x 2 , 1 x 2 . Hitunglah: x 1

1 x 8. Buktikan: 2

(b) lim f n x (e) lim f ( x ) Jika lim y c untuk setiap bilangan

(f) lim f ( x ) bilangan bulat positif n.

y c (c) lim f ( x )

9. Tentukan selang terbesar fungsi yang

16. Periksa kekontinuan fungsi-fungsi: tan diberikan oleh x

1 4 x 2 kontinu.

, x (a) 0

10. Jika fungsi f : I

R kontinu di titik a,

, x buktikan fungsi (9. f) juga kontinu di 0 (b)

sin x

titik a.

11. Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut kontinu di titik yang diberikan:

17. Dipunyai fungsi-fungsi f, g: I R , (a) f ( x ) x 2 5 ,a=0

f (x)

g (x) untuk setiap a

I , dan

lim g ( x ) L .

(b) f ( x ) 1 x ,a=1

1 Buktikan bahwa lim f ( x ) L . (c) f ( x ) 1 ,a=1

2 (d) x f ( x )

, a = –3 x

j\ ¤· · ?P 120

j\ ¤· · ?P 121

Pada Bab 3 ini didiskusikan tentang turunan (derivative) suatu fungsi. Pembicara-an dimulai dengan menghitung gradien garis singgung suatu kurva di suatu titik menggunakan konsep limit yang telah dikembangkan pada Bab 2. Ide tentang gradien garis singgung ini diperluas menjadi turunan suatu fungsi. Beberapa teorema atau sifat-sifat turunan disajikan yang beberapa diantaranya dilengkapi dengan bukti. Setiap konsep, teorema, atau sifat yang disajikan dilengkapi dengan suatu contoh agar daya serap pembaca dapat ditingkatkan.

Gradien garis singgung pada kurva f di titik P(x o ,y o ) telah dibicarakan pada Bab 2, yaitu:

lim o

o apabila nilai limit ini ada. Nilai

o disebut perbedaan

hasil bagi, sebab ini merupakan perubahan perbandingan nilai fungsi apabila nilai x berubah, yaitu dari titik (x o ,y o ) menjadi titik (x o + h, f (x o + h)). Nilai h dapat bernilai positif atau negatif. Nilai h yang positif berarti 0 dihampiri h dari kanan dan nilai h yang negatif berarti 0 dihampiri h dari kiri. Situasi ini dapat diperlihatkan pada gambar berikut ini.

Y Q(x o +h,f(x o +h))

Q(x o +h,f(x o +h))

P(x ,f(x

o ))

P(x

o ,f(x o ))

x o +h

x o +h O

Gambar 89: gradien garis PQ adalah Gambar 90: gradien garis PQ adalah

,h>0

,h<0

j\ ¤· · ?P 122

j\ ¤· · ?P 123