Limit di Tak hingga
2. Limit di Tak hingga
(c) Jika L < 0 dan g(x) 0
f ( x maka )
lim
Perhatikan grafik fungsi f beri-
(d) Jika L < 0 dan g(x) 0 kut ini:
f ( x maka )
lim
Contoh 85 L f (x)
Hitung dan buktikan secara formal nilai
2 limit x lim .
Penyelesaian: Tulis –2x = f(x) dan x 2 – 6x + 9 = g(x).
Gambar 103: Secara intuisi: x 3
Jelas lim ( 2 x ) 6 0 dan
lim f ( x ) = L.
lim + ( x 2 6 x 9 ) = lim x ( 3 ) 2 =0 .
2 Jadi x
lim
Apabila diambil sembarang x 3 x 2 6 x 9 , terdapat bilangan M > 0 sehingga nilai
Bukti:
apabila x > M. Berdasarkan
2 Jelas x =
kenyataan ini dapat diturunkan suatu x 2 6 x 9 ( x 3 ) 2 teorema berikut ini:
Ambil sembarang N < 0. Pilih 3 .
Definisi 66
Dipunyai 0 x 3 .
Dipunyai fungsi f: R R . Jelas (x 3 ) 2 2 lim f ( x ) L
( x 3 ) 2 2 0M 0 f ( x ) l
1 1 apabila x . M .
Dicari batas 2x pada 0 x 3 1 :
Contoh 86
Jelas 1
0 x 3 1 2<x<4
Tunjukkan lim
4 < 2x < 8.
Penyelesaian:
Jadi f(x) < 8 = N.
2 Tulis
Jadi N 0 0 f ( x ) N apabila
Ambil sembarang
Pilih M = 1 .
2 Jadi x =
lim
Dipunyai x > M.
1 1 1 Jelas 1 .
Contoh 87
1 Hitung dan buktikan secara formal: Jadi f (x ) =
= . (a) Intuisi: lim 1 0 . Jadi
0 M 0 sehingga f (x ) 0 <
apabila x > M.
Tulis 1
Jadi x lim 1 0 .
xx
Ambil sembarang
Pilih N = – 1 .
Sekarang perhatikan grafik fungsi
f berikut ini: Dipunyai x < N . Jelas x < N < 0.
– x > –N > 0
Jadi f ( x ) 0 1 1 1 1
0N 0 f (x ) 0 apabila x < N.
Jadi 1 lim 0 .
Gambar 104: Secara intuisi:
lim f ( x ) = L.
(b) Intuisi:
lim
0 ,n A.
Apabila diambil sembarang
0 Penyelesaian:
, terdapat bilangan N < 0 sehingga nilai
Tulis 1 f ( x ) .
apabila x < N. Berdasarkan
kenyataan ini dapat diturunkan suatu Ambil sembarang
0 . teorema berikut ini: 1 Pilih M = .
Definisi 67 Dipunyai x > M > 0. Jelas x n M n 0
Dipunyai fungsi f: R
apabila x N . = .
Jadi
0 . apabila x M .
0 M 0 f (x ) 0 Ambil sembarang
Pilih M 1 > 0 dan M 2 > 0 sehingga
Jadi lim 1 0 ,n A .
apabila x > M 1 dan
apabila x > M 2 . (c) Intuisi:
lim
0 ,n A .
Pilih M > maks{ M 1 ,M 2 }. Penyelesaian:
Jadi K L = K f ( x ) f ( x ) L Tulis 1
L Ambil sembarang
Pilih N = 1 .
0 . Dipunyai x < N < 0.
Jadi K L <
Jadi K = L.
Jelas 0 < –x < –N
(–x) n < (–N) Bukti untuk teorema berikut seder-
1 1 hana dan diserahkan pembaca sebagai
latihan.
Teorema 69
Jadi f (x ) 0 1 1 = 1 = = < Jika lim f ( x ) K dan
lim f ( x ) L
maka K = L.
Jika lim f ( x ) K dan apabila x N .
Berikut ini disajikan beberapa teo- (a) lim [ f ( x ) g ( x )] K L ,
rema yang berkaitan dengan limit tak (b) lim C . f ( x ) = C . lim f ( x ) , hingga dan limit di tak hingga.
x (c) lim [ f ( x ). g ( x )] K . L , dan
Teorema 68
Jika lim f ( x ) K dan
(d) lim
apabila L 0.
x lim f ( x ) L
x maka K = L.
Bukti (c): Ambil sembarang
0 . Pilih M 1 > 0, M 2 > 0, dan M 3 > 0 sehing- 0 . Pilih M 1 > 0, M 2 > 0, dan M 3 > 0 sehing-
j\ ¤· · ?P 179
apabila x > M 1 ,
Teorema 72
Jika terdapat M > 0 sehingga
apabila x > M 2 , dan
2 C f ( x ) g ( x ) h ( x ) untuk semua x > M
f ( x ) C apabila x > M 3 .
dan
lim f ( x ) L lim h ( x )
Pilih M = maks{ M x
1 ,M 2 ,M 3 }.
maka
Jelf(x)-las f ( x ). g ( x ) KL lim g ( x ) L .
= f ( x ). g ( x ) KL L . f ( x ) L . f ( x )
= f ( x )[ g ( x ) L ] L [ f ( x ) K ] Bukti:
Ambil sembarang
Pilih M 1 > 0, M 2 > 0, dan M 3 > 0 sehing- =
< C. g ( x ) L L . f ( x ) K
ga
apabila x > M 1 , = .
apabila x > M 2 , dan Jadi
0 M 0 f ( x ) . g ( x ) KL
f ( x ) g ( x ) h ( x ) apabila x > M 3 . Pilih M = maks{ M ,M ,M }.
apabila x M .
Jelas f ( x ) g ( x ) h ( x )
Jadi lim [ f ( x ). g ( x )] K . L . x
Bukti lainnya diserahkan pembaca g ( x ) L maks { f ( x ) L , g ( x ) L } sebagai latihan.
0 M 0 g ( x ) L Teorema 71
Jadi
apabila x M . Jika lim f ( x ) K dan
Jadi lim g ( x ) L .
lim f ( x ) L x
maka
Contoh 88 Hitunglah:
(d) K apabila L 0.
Buktinya diserahkan pembaca seba- Penyelesaian: gai latihan.
Selanjutnya disajikan teorema yang (a) Jelas lim = lim
cukup penting, yang disebut dengan
teorema apit.
j\ ¤· · ?P 180
j\ ¤· · ?P 181