Teorema Rolle dan Teore-

2. Teorema Rolle dan Teore-

dx

2 ma Nilai Rata-Rata

3x + 2x – 1 = 0 (3x – 1)(x + 1) = 0

1 x Teorema Rolle merupakan teorema dan x = –1.

3 tentang eksistensi suatu titik di domain suatu fungsi yang turunan fungsi di titik

Jelas f ( 1 ) 2 f 1 dan 22 ( ) .

itu sama dengan nol.

Teorema 77 (Teorema Rolle) Sket grafik f:

Dipunyai fungsi f : [ a , b ] R . Jika (1) f kontinu pada [a,b],

X (2) f mempunyai turunan pada

2 (a,b), dan (3) f(a) = f(b)

22 maka terdapat titik c ( a , b ) sehingga

3 Bukti: Tulis K = f(a) = f(b).

Kasus f fungsi konstan:

Gambar 113: Grafik f(x)=x 3 +x 2 –x+1

Jelas f ( x ) K untuk setiap x [ a , b ] . Jadi f (c ) 0 untuk setiap c [b a , ] . Kasus f bukan fungsi konstan:

Sebagai latihan, untuk fungsi yang Dipunyai f kontinu pada [a,b]. disajikan pada Contoh 100 buktikan:

Pilih M dan m sehingga

f (x) M untuk setiap x [ a , b ] dan (a) f(–1) maksimum mutlak,

f (x) m untuk setiap x [ a , b ] . (b) 1

f ( ) suatu minimum relatif, Pilih c, d ( a , b ) sehingga f (c ) 0

3 dan

f (d ) 0

Jadi terdapat titik c ( a , b ) sehingga Jadi terdapat titik c ( a , b ) sehingga

j\ ¤· · ?P 198

Jelas (1) f kontinu pada [1,4],

f Jadi f tak memenuhi kondisi Teorema Rolle dan f (c ) 0 untuk setiap c di

selang (1,4).

(b) Fungsi f : [ 0 , 4 ] R diberikan oleh

Gambar 114: Nilai f(c ) maksimum dan x , 0 x 2

nilai f(c 2 ) minimum, jadi

f (c 1 ) 0 dan f (c 2 ) 0 .

Grafik f:

Contoh 101 Dipunyai fungsi Y

R disajikan de-

ngan f ( x ) x 3 2 x 2 x 2 . Periksa apa-

kah fungsi f memenhui teorema Rolle. f

Pemeriksaan:

(1) Jelas f kontinu pada [1,2]. (2) Jelas 2 f (x ) = 3x – 4x – 1.

Gambar 116: Fungsi f tak memenuhi

Jadi f (x ) ada pada (1, 2).

kondisi teorema Rolle.

(3) Jelas f(1) = 0 = f(2). Jelas f kontinu pada [0,4], f(0) = 0 = f(4), akan tetapi f ( 2 ) tidak ada.

Jadi f memenuhi kondisi Teorema Rolle.

Pilih c ( 1 , 2 ) sehingga f (c ) = 0.

2 (c) Fungsi f diberikan oleh Jelas f (c ) =0

3x – 4x – 1 = 0.

Jelas c 1= 2 7 dan c 2 = 2 7 .

Jelas f ( 2 7 ) =0= f ( 2 7 ) .

Sket grafik f:

Contoh 102 (a) Fungsi f : [ 1 , 4 ] R dengan f(x) = x.

Grafik f:

YX

Gambar 117: Fungsi f tak memenuhi kondisi teorema Rolle.

Jelas f(0) = 0 = f(5), akan tetapi f tak kontinu di x = 2.

j\ ¤· · ?P 201 Contoh 103

j\ ¤· · ?P 200

f ( b ) f ( a (a) nilai ) merupakan talibusur Fungsi f disajikan oleh

1 , 1 x 2 AB . dengan A(a,f(a)) dan B(b,f(b)) (b) jika f memenuhi kondisi teorema ini

4 x , 2 x 4 maka terdapat suatu garis singgung Grafik f:

yang memiliki gradient sama dengan

gradien talibusur AB. Interpretasi geometri tersebut dapat

dilihat pada gambar berikut ini.

X f (b)

-1 O 12 4 f

Gambar 118: f tak memenuhi kondisi teorema Rolle, akan te-

f (a) A

tapi ada 0 [ 1 , 4 ] se-

hingga f ( 0 ) 0 .

Jelas f tak kontinu di x = 2. Jadi f tak memnuhi kondisi teorema Rolle. Gambar 119: f memenuhi kondisi Teo-

Rema Nilai Rata-Rata,

Akan tetapi terdapat 0 [ 1 , 4 ] sehingga

m s = f (c )

Contoh 103 menunjukkan bahwa kebalikan Teorema Rolle tidak berlaku. Bukti TNR: Berikut ini disajikan teorema yang lebih umum dari Teorema Rolle yang disebut Perhatikan fungsi f yang memenuhi TNR dengan teorema nilai rata-rata (TNR).

berikut ini.

Teorema 78 Y

Dipunyai Fungsi f : [ a , b ] R .

f (b)

Jika (i) f kontinu pada [a,b] dan Q

(ii) f (x ) ada pada (a,b)

maka terdapat c ( a , b ) sehingga

f (a) A P

Interpretasi geometri teorema ini

Gambar 120: Fungsi f memenuhi

adalah: kondisi TNR.

Jelas A(a,f(a)) dan B(b,f(b)). Jadi f memenhi kondisi TNR.

f ( 0 ) f ( 4 Jadi m ) AB =

Pilih c ( 0 , 4 ) sehingga f ( c ) .

Jelas AB: y – f(a) =

.(x – a)

Jelas f ( c )

y = f(a) +

.(x – a).

c = 1.

Ambil sembarang x ( a , b ) .

Contoh 105

Bangun d: [ a , b ] R dengan Dipunyai f : [ 1 , 1 ] R yang didefinisikan

d (x )

= f(x) – [f(a) + 2 .(x – a)].

b a sebagai f ( x ) x 3 .

Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa

d merupakan suatu fungsi.

Grafik f:

Jelas d kontinu pada [a,b],

d (x ) ada pada (a,b), dan

d (a) = 0 = d(b).

Jadi d memenuhi kondisi teorema Rolle.

Pilih c ( a , b ) sehingga d (c ) 0 .

Jelas d (c ) 0 X

Gambar 122: f tak memenuhi kondisi f ( c )

b a TNR dan f (x ) 0 un-

Jadi terdapat c ( a , b ) sehingga

tuk setiap x ( 1 , 1 ) .

b a Berikut ini disajikan suatu teorema yang merupakan kriteria untuk menun-

jukkan suatu fungsi merupakan fungsi Contoh 104

konstan. Dipunyai fungsi f : [ 0 , 4 ] R yang disaji-

kan oleh f ( x ) x .

Teorema 79

Grafik f: Dipunyai fungsi f : I R , I R .

Jika f (x ) 0 untuk setiap x I maka f merupakan fungsi konstan.

Bukti:

Dipunyai f (x ) 0 untuk setiap x I .

Andaikan f bukan fungsi konstan.

2 4 Pilih x

1 ,x 2 I ,x 1 <x 2 , dan f ( x 1 ) f ( x 2 ) .

Gambar 121: f ( x )

x memenuhi

Jelas f kontinu pada [x 1 ,x 2 ] dan

f (x ) ada pada (x 1 ,x 2 ). Jelas f kontinu pada [0,4] dan

kondisi TNR

1 Pilih c ( x 1 , x 2 ) f ( c )

f (x ) = =

x 2 x 1 dx

ada pada (0,4).

j\ ¤· · ?P 204

j\ ¤· · ?P 205

0 Jelas f(x 1 ) – f(x 2 Jadi )

f ( x 1 ) f ( x 2 ) . Ini suatu kontradiksi.

= (x 1 –x 2 ) ( x 2 1 x 1 . x 2 x 2 2 ) . Jadi f merupakan fungsi konstan.

Jelas x 1 –x 2 < 0 dan x 2 1 2 x 1 . x 2 x 2 0 .

Jadi f(x 1 ) – f(x 2 )<0

f (x 1 ) < f(x 2 ).

Jadi x 1 , x 2 R , x 1 x 2 , f ( x 1 ) f ( x 2 ) .

Jadi grafik f naik. Grafik f: