, x
f ,...
, x
f ,
, x
f L
n 2
1
θ θ
θ θ =
=
∏
= n
i i
x f
1
,
θ =L
..., ,
,
2 1
n
x x
x θ
1.5 Taksiran maksimum likelihood untuk
θ adalah nilai θ yang memaksimumkan L. Nilai
θ yang memaksimumkan L adalah sama dengan nilai θ yang memaksimumkan ln L .
HoggTans, 1997 Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui
θ . Untuk memudahkan dalam menganalisis maka fungsi likelihood
L
θ diberi ln. Penaksir maksimum likelihood dari θ adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood
L
θ . maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah.
= ∂
∂ θ
θ L
1.6
dengan ketentuan jika ln
L
θ maksimum maka
L
θ juga maksimum, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah
ln =
∂ ∂
θ θ
L 1.7
1.4 Tujuan Penelitian
1. Untuk menguraikan dan menentukan estimator parameter µ dan
2
σ dari distribusi normal dengan metode bayes dan maksimum lakelihood
2. Membandingkan hasil estimator antara metode Bayes dengan metode Maksimum Likelihood terhadap nilai parameter populasi.
1.5 Kontribusi Penelitian
1. Mengetahui cara mengestimasi menggunakan bayes dan maksimum likelihood
2. Mengembangkan dan menerapkan probabilitas dan statistika dengan teorema bayes dan maksimum likelihood serta memperlihatkan prosedur
penggunaan metode bayes dan maksimum likelihood dalam mengestimasi parameter
µ dan
2
σ dari distribusi normal 3. Meningkatkan pemahaman yang baik bagi penulis dalam membangun teori
keputusan dan statistik inferensi dan mengetahui secara mendetail fungsi keputusan bayes dan maksimum likelihood untuk penaksiran parameter.
4. Menerapkan metode bayes dan maksimum likelihood dalam penunjang ilmu matematika statistika dan probabilitas sehingga dapat meningkatkan
penguasaan dan pemikiran teknik estimasi yang lebih baik . 5. Sebagai bahan acuan untuk mempelajari permasalahan estimasi guna
memudahkan dalam pengambilan keputusan.
1.6 Metode Penelitian
1. Dengan melakukan studi literatur terlebih dahulu mengenai metode bayes dan maksimum likelihood
2. Memaparkan dan menjelaskan pengertian dasar metode bayes dan maksimum likelihood
3. Mencari estimator parameter µ dan
2
σ dari distribusi normal menggunakan metode Bayes dan Maksimum Likelihood
4. Mengestimasi parameter µ dan
2
σ dari distribusi normal pada contoh kasus 5. Menentukan batas toleransi dari hasil estimasi
µ dan
2
σ 6. Mengambil kesimpulan dan saran dari kedua estimator
µ dan
2
σ
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Konsep Dasar Penaksiran Parameter
Statistik inferensi adalah Statistik yang dengan segala informasi dari sampel digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai karakteristik populasi dari mana
sampel itu diambil. Statistik inferensi digunakan untuk memprediksi keadaan dari suatu populasi berdasarkan sampel yang diambil dan berusaha untuk menyimpulkan
karakteristik dari suatu populasi tersebut. Untuk ini kelakuan populasi dipelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling ataupun sensus. Dalam
kenyataannya mengingat berbagai faktor, untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel yang representatif lalu berdasarkan pada hasil analisis terhadap data sampel
kesimpulan mengenai populasi dibuat. Kelakuan populasi yang akan ditinjau hanyalah mengenai parameter populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data
sampel dikumpulkan dan dianalisis, nilai-nilai yang perlu yaitu statistik, dihitung dan dari nilai-nilai statistik tersebut dapat disimpulkan bagaimana parameter bertingkah
laku, dan parameter yang akan ditaksir adalah rata-rata dan variansi Surwako, 2007.
Metode penaksiran parameter didasarkan pada asumsi bahwa distribusi probabilitas normal dapat digunakan dengan ketentuan n
≥ 30, jika n30 dengan syarat distribusi populasi adalah normal dan simpangan populasi diketahui Andi
Supangat, 2008. Secara umum penaksiran adalah dugaan atas sesuatu yang akan terjadi dalam kondisi tidak pasti Surwako, 2007. Setiap pengusaha selalu membuat
berbagai penaksiran untuk kegiatan-kegiatan pokok usahanya. Misalnya, pengusaha biro perjalanan wisata akan membuat perkiraan atas besarnya rata-rata biaya setiap
perjalanan bagi dua orang, bagian pemasaran perusahaan semen membuat perkiraan berapa zak semen penjualan tahun depan, dll. Semakin tepat penaksiran atau
perkiraan terhadap output yang dihasilkan, maka semakin efektif dan efisien alokasi sumber-sumber daya yang dimiliki oleh pengusaha untuk mendukung realisasi output
yang dihasilkan.
Sifat atau ciri penaksir yang baik, adalah tidak bias, variasi minimum, konsisten, dan statistik cukup
1. Tidak bias
Misalkan Θ adalah estimator yang nilai θ -nya adalah estimasi titik dari parameter
populasi tak diketahui θ .Tentu diinginkan bahwa sebaran cuplikan
Θ akan memiliki mean yang sama dengan parameter yang diestimasi. Parameter yang seperti ini
disebut bersifat takbias Ronald Raymond 1995. Dengan kata lain penaksir tak bias bagi parameter
θ jika θ
θ
= E
, jika dikatakan penaksir bias bagi parameter θ ,
jika θ
θ
≠ E
. Namun penaksir bias dapat diubah menjadi penaksir takbias jika ruas kanan dikalikan atau ditambahkan dengan konstanta tertentu.
2. Variansi Minimum
Apabila terdapat dua buah penaksir yang takbias, maka kedua penaksir tersebut akan dibandingkan dalam hal variansinya. Misalkan dua penaksir tak bias yaitu
1
θ dan
2
θ untuk
θ . Jika
1
θ mempunyai variansi yang lebih kecil dibanding dengan
2
θ ,
maka
1
θ dikatakan penaksir takbias bervariansi minimum.
3. Konsisten
Jika
n
θ adalah penaksir untuk
θ yang didasarkan pada sampel acak berukuran n, maka
n
θ dikatakan konsisten bagi parameter
θ , jika =
−
∞ →
ε θ
θ p
lim
n x
1 2.1
penentuan penaksir konsisten ini dapat dilakukan dengan menggunakan ketidaksamaan Chebyshev’s,
2 x
k 1
1 k
X p
lim −
≥ −
∞ →
σ µ
2.2
4. Statistik Cukup
Statistik ,...,
,
2 1
n
x x
x T
T =
dikatakan cukup bagi parameter, jika fungsi kepadatan peluang bersyarat:
t x
x x
x x
x P
n n
n
= =
,..., ,
Tx |
,..., ,
2 1
2 1
tidak bergantung pada θ .
Estimasi nilai parameter memiliki dua cara, yaitu penaksir titik point estimation dan estimasi selang interval estimation.
1. Penaksiran Titik point estimation
Penaksiran dari sebuah parameter populasi yang dinyatakan oleh sebuah bilangan tunggal disebut penaksir titik dari parameter tersebut Murray Larry, 1999.
Penaksiran titik sebuah parameter: sebuah nilai yang diperoleh dari sampel dan digunakan sebagai penaksir dari parameter yang nilainya tidak diketahui.
Misalkan
n
x x
x ...,
, ,
2 1
merupakan sampel acak berukuran n dari x, maka statistik ,...,
,
2 1
n
x x
x h
= θ
yang berkaitan dengan θ dinamakan penaksir dari θ . Setelah
sampel diambil, nilai-nilai yang dihitung dari sampel itu digunakan sebagai taksiran titik bagi
θ .
Beberapa taksiran titik yang dihitung dari data sampel untuk parameter populasi yang bersesuaian.
1. Rerata populasi µ , taksiran titiknya adalah µ =
x
2. Variansi populasi
2
σ , taksiran titiknya adalah
2
σ
=
2
s
3. Simpangan baku populasi σ , taksiran titiknya adalah σ = s
2. Penaksiran Selang interval estimation.
Penaksiran dari parameter populasi yang dinyatakan oleh dua buah bilangan di antara posisi parameternya diperkirakan berada disebut sebagai penaksiran
interval dari parameter tersebut Murray Larry, 1999.
Misalkan µ dan σ masing-masing adalah mean dan deviasi standar dari
distribusi sampling suatu statistik S. Maka jika distribusi sampling dari S
mendekati normal n ≥ 30, maka didapat statsitik sampel aktual S yang berada
di dalam interval µ -σ sampai dengan µ +σ . Atas dasar ini masing-masing
interval ini sebagai interval kepercayaan confidence interval untuk mengestimasi rata-rata. Bilangan-bilangan dari kedua ujung interval ini masing-masing dikenal
sebagai batas kepercayaan confidence limit. Jika statsitik S adalah mean sampel x , maka batas-batas kepercayaan 90, 95 dan 99 untuk menaksir mean
populasi µ masing-masing dirumuskan sebagai
x
± 1,65 σ ,
x
± 1,96 σ dan
x
± 2,58 σ . Dalam bentuk yang lebih umum, batas kepercayaannya dirumuskan
sebagai x ± z σ , z adalah yang bergantung kepada tingkat kepercayaan tertentu .
Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan α maka 0α 1. Harga α
yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi dan berapa besar si peneliti ingin yakin dalam membuat pernyataannya. Yang biasa digunakan adalah
0,90, 0,95 dan 0,99, yakni α = 0,90, α = 0,95 dan 0,99. Untuk menentukan
taksiran parameter θ dengan koefisien kepercayaan
α , maka sebuah sampel acak diambil, lalu dihitung statistiknya.
2.2 Distribusi Normal
