mendekati normal n ≥ 30, maka didapat statsitik sampel aktual S yang berada
di dalam interval µ -σ sampai dengan µ +σ . Atas dasar ini masing-masing
interval ini sebagai interval kepercayaan confidence interval untuk mengestimasi rata-rata. Bilangan-bilangan dari kedua ujung interval ini masing-masing dikenal
sebagai batas kepercayaan confidence limit. Jika statsitik S adalah mean sampel x , maka batas-batas kepercayaan 90, 95 dan 99 untuk menaksir mean
populasi µ masing-masing dirumuskan sebagai
x
± 1,65 σ ,
x
± 1,96 σ dan
x
± 2,58 σ . Dalam bentuk yang lebih umum, batas kepercayaannya dirumuskan
sebagai x ± z σ , z adalah yang bergantung kepada tingkat kepercayaan tertentu .
Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan α maka 0α 1. Harga α
yang digunakan tergantung pada persoalan yang dihadapi dan berapa besar si peneliti ingin yakin dalam membuat pernyataannya. Yang biasa digunakan adalah
0,90, 0,95 dan 0,99, yakni α = 0,90, α = 0,95 dan 0,99. Untuk menentukan
taksiran parameter θ dengan koefisien kepercayaan
α , maka sebuah sampel acak diambil, lalu dihitung statistiknya.
2.2 Distribusi Normal
Distribusi normal adalah distribusi probabilitas kontinu yang grafiknya disebut kurva normal seperti pada gambar 2.1. Sebuah distribusi normal dapat dideskripsikan secara
penuh oleh rata-rata dan variansnya. Distribusi normal menggambarkan dengan cukup baik banyak gejala yang muncul di alam, industri, dan penelitian. Pengukuran
fisik di bidang seperti percobaan meteorologi, penelitian curah hujan, dan pengukuran suku cadang yang diproduksi dapat diterangkan menggunakan distribusi normal.
Disamping itu galat dalam pengukuran ilmiah dapat dihampiri dengan sangat baik oleh distribusi normal.
Pada tahun 1733, Abraham DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal. Ini merupakan dasar bagi teori statistika induktif. Distribusi normal
sering pula disebut distribusi Gauss untuk menghormati Karl Friedrich Gauss 1777- 1855, yang juga menemukan persamannya waktu meneliti galat dalam pengukuran
yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama.
Karakteristik dari variabel acak kontinu berbeda dengan variabel acak diskrit. Variabel acak kontinu mencakup semua bilangan, baik utuh maupun pecahan. Oleh
karena itu tidak dapat dipisahkan nilai yang satu dengan yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel acak kontinu sering disebut fungsi kepadatan, karena tidak ada ruang
kosong diantara dua nilai tersebut. Dengan kata lain realitasnya keberadaan satu buah angka dalam variabel acak kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil,
bahkan mendekati nol. Karena itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah nilai dalam variabel acak kontinu, tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas
diantara dua buah nilai. Distribusi kontinu mempunyai fungsi matematis tertentu, jika fungsi tersebut
digambar, maka akan berbentuk kurva kepadatan dengan sifat sebagai berikut : 1. Probabilitas nilai x dalam variabel tersebut terdapat dalam rentang antara 0
dan 1 2. Probabilitas total dari semua nilai x adalah sama dengan satu sama dengan
luas daerah di bawah kurva
Fungsi kepadatan merupakan dasar untuk mencari nilai probabilitas diantara dua nilai variabel. Probabilitas di antara dua nilai adalah luas daerah di bawah kurva di
antara dua nilai dibandingkan dengan luas daerah total di bawah kurva. Dapat dicari luas daerah tersebut dengan menggunakan integral tertentu difinit integral.
Suatu variabel acak kontinu
X
yang distribusinya berbentuk lonceng disebut peubah acak normal. Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu
bergantung pada dua parameter µ dan σ
2
, yaitu rataan dan variansnya. Fungsi padat variabel acak normal X dengan rataan
µ dan variansi σ
2
, adalah
2
2 1
2 1
−
−
=
σ µ
π σ
x
e x
f
2.3 Yang menyatakan bahwa :
π = suatu konstanta matematika yang nilainya mendekati 3,14159
e = suatu konstanta matematika yang nilainya mendekati 2,71828
µ = parameter, merupakan rata-rata untuk distribusi
σ
2
= parameter, merupakan variansi untuk distribusi
dan nilai x mempunyai batas ∞
∞ −
x , maka dikatakan bahwa variabel acak
X
berdistribusi normal. Sifat-sifat penting distribusi normal:
1. grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x .
2. bentuknya simetrik terhadap µ
= x
3. mempunyai satu modus, jadi kurva unimodal, tercapai pada µ
= x
sebesar σ
3989 ,
4. grafiknya mendekati berasimtutkan sumbu datar x dimulai dari σ
µ
3 x
+ =
ke kanan dan
σ µ
3 x
− =
ke kiri 5. luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi
Untuk tiap pasang µ dan σ , sifat-sifat di atas seluruh dipenuhi, hanya bentuk
kurvanya saja yang berlainan. Jika σ makin besar , kurvanya makin rendah
platikurtik dan untuk σ makin kecil, kurvanya makin tinggi leptokurtik.
Gbr 2.1 Kurva normal
Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung integral fungsi padat normal maka dibuat tabel luas kurva normal sehingga memudahkan penggunaannya. Akan
tetapi, tidak akan mungkin membuat tabel yang berlainan untuk setiap nilai µ dan σ .
Untunglah, seluruh pengamatan setiap variabel acak normal X dapat
ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru satu variabel acak normal Z dengan rataan nol dan variansi 1. Hal ini dapat dikerjakan dengan transformasi.
σ µ
− =
X Z
2.4
µ
σ
Bilamana X mendapat suatu nilai x, nilai Z padanannya diberikan oleh. σ
µ
− =
x z
. Jadi bila X bernilai antara x=x
1
dan x=x
2
maka variabel acak Z akan bernilai antara
σ µ
1 1
− =
x z
dan σ
µ
2 2
− =
x z
. Karena itu dapat ditulis
dx e
x X
x P
x x
x
∫
−
−
=
2 1
2
2 1
2 1
2 1
σ µ
πσ
∫ ∫
=
−
=
2 2
2 1
exp 2
1
2 2
z z
z z
dz x
f dz
z πσ
2 1
z Z
z p
= 2.4
Dengan
Z
terlihat merupakan suatu variabel acak normal dengan rataan nol dan variansi 1.
Gbr 2.2 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan
2.3 Distribusi Sampel
