Maksimum Likelihood Batas Toleransi

2.4 Maksimum Likelihood

Penaksiran kemungkinan maksimum merupakan salah satu pendekatan yang penting dalam sebuah statistika inferensi. Metode terbaik yang dapat digunakan dalam menentukan penaksir titik sebuah parameter. Misalkan X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang berbentuk , θ x f , dengan θ adalah suatu parameter yang tidak diketahui. Misalkan n 2 1 x ,... x , x merupakan sebuah sampel acak berukuran n, fungsi likelihood dari sampel acak itu adalah: , x f ,... , x f , , x f L n 2 1 θ θ θ θ = 2.5 Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui θ . Untuk memudahkan dalam menganalisis maka fungsi likelihood L θ diberi ln. Penaksir maksimum likelihood dari θ adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood L θ . Dalam aplikasi L θ menunjukkan fungsi densitas probabilitas bersama dari sampel random. Jika S ruang parameter yang merupakan interval terbuka dan L θ merupakan fungsi yang dapat diturunkan serta diasumsikan maksimum pada S maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah. = ∂ ∂ θ θ L 2.6 Jika penyelesaian dari persamaan tersebut ada, maka maksimum dari L θ dapat terpenuhi. Apabila tak terpenuhi maka fungsi L θ dapat dibuat logaritma naturalnya, dengan ketentuan jika ln L θ maksimum maka L θ juga maksimum, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah ln = ∂ ∂ θ θ L 2.7

2.5 Metode Bayes

Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang pada S dan berlaku maka A dan B dikatakan dua kejadian yang saling lepas. Dua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi secara bersamaan seperti pada gambar 2.3 dibawah ini: Gbr 2.3 Kejadian yang saling lepas Dengan demikian probabilitas adalah : Peristiwa A dapat ditulis sebagai gabungan dua buah kejadian yang saling lepas adalah: A E ∩ dan A E c ∩ maka A= A E ∩ ∪ A E c ∩ dan dapat dibuat dalam bentuk gambar 2.4 di bawah ini: Gbr 2.4 Gabungan dua kejadian yang saling lepas Dengan menggunakan probabilitas bersyarat maka : PA= [ ] A E A E P c ∩ ∪ ∩ = A E P A E P c ∩ ∪ ∩ = A E P A E P c ∩ + ∩ = c c E A P E P E A P E P + 2.8 B A = ∩ B A ∪ B P A P B A P + = ∪ Peristiwa k B B B ,..., , 2 1 merupakan suatu sekatan partisi dari ruang sampel S dengan P i B ≠ 0 untuk i=1,2,…,k maka setiap peristiwa A anggota S berlaku: 2.9 Digunakan bila ingin diketahui probabilitas P 1 B |A,P 2 B |A….,P k B |A dengan rumus sebagai berikut : 2.10 Peluang B r disebut peluang a-priori, peluang B r |B disebut peluang a-posteriori. Metode Bayes adalah metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter distribusi normal. Bayes memperkenalkan suatu metode dimana kita perlu mengetahui bentuk distribusi awal prior dari populasi yang dikenal dengan metode Bayes. Sebelum menarik sampel dari suatu populasi terkadang kita peroleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi. Informasi ini kemudian digabungkan dengan informasi dari sampel untuk digunakan dalam mengestimasi parameter populasii dan parameter populasi berasal dari suatu distribusi, sehingga nilainya tidaklah tunggal dan merupakan variabel random. Bayes menggunakan interpretasi probabilitas secara subyektif di dalam analisa statistika formal. Pendekatan Bayes terhadap metode estimasi statistik menggabungkan informasi yang dikandung dalam sampel dengan informasi lain yang telah tersedia sebelumnya. Dari segi asumsi statistikawan klasik memandang bahwa parameter populasi mempunyai harga tertentu yang tidak diketahui sehingga pernyataan probabilitas tentang parameter populasi tidak mempunyai arti.

2.5.1 Distribusi Prior

Distribusi awal prior adalah keterangan tambahan mengenai θ , misalnya bahwa θ diketahui berubah sesuai dengan distribusi peluang f θ dengan rataan awal µ dan varians 2 σ yaitu dianggap bahwa θ merupakan nilai peubah acak θ dengan ∑ ∑ = = = ∩ = k i k i i i i B A P B P A B P A P 1 1 | k r B A P B P B A P B P A B P B A P A B P k i i i r r k i i r ,.. 2 , 1 ; | | | 1 1 = = ∩ ∩ = ∑ ∑ = = distribusi peluang f θ dan ingin ditaksir nilai θ tertentu untuk populasi yang diambil sampelnya . Peluang yang dikaitkan dengan distribusi awal ini disebut peluang pribadi, karena mengukur derajat keyakinan seseorang mengenai letak parameter yang ingin ditaksir dan estimator mengunakan pengalaman dan pengetahuan sebagai dasar untuk memperoleh peluang pribadi yang berasal dari distribusi awal. 2.5.2 Distribusi Posterior Teknis bayes menggunakan distribusi awal f θ bersama dengan fungsi gabungan sampel fx 1, x 2, …, x n : θ untuk menghitung distribusi posterior fθ |x 1, x 2, …, x n . Distribusi posterior pasca terdiri atas keterangan dari distribusi awal yang subjektif maupun distribusi sampel yang objektif dan menyatakan derajat keyakinan kita mengenai letak parameter θ setelah sampel diamati. fx 1, x 2, …, x n | θ sama dengan fx 1, x 2, …, x n : θ untuk distribusi peluang gabungan sampel bilamana ingin menunjukkan bahwa parameter juga merupakan peubah acak. Distribusi gabungan sampel n 2 1 x ,... x , x dan parameter θ adalah: fx 1, x 2, …, x n , θ = fx 1, x 2, …, x n ; θ fθ . Sehingga distribusi marginalnya sebagai berikut : gx 1, x 2, …, x n =       ∫ ∑ ∞ ∞ − kontinu bila d ; x ,... x , x f diskrit bila ; x ,... x , x f n 2 1 n 2 1 θ θ θ θ 2.11 jadi distribusi posteriornya dapat ditulis sebagai berikut: x , , x , gx θ , x , … , x , fx x x x | f n 2 1 n 2 1 n 1 … = ,... , 2 θ 2.12 Distribusi posterior f θ |x 1, x 2, …, x n dinyatakan dengan θ , disebut penaksiran bayes untuk θ Ronald Raymond, 1995.

2.5.3 Menentukan Selang Taksiran Bayes

Selang atau interval bayes 1- α 100 untuk parameter θ dapat dibuat dengan menghitung selang yang titik tengahnya berada pada rataan distribusi pasca yang mengandung 1- α 100 peluang pasca. Sehingga selang aθ b akan disebut selang bayes 1- α 100 untuk θ bila ∫ b θ f θ |x 1, x 2, …, x n : θ d θ = ∫ a θ f θ |x 1, x 2, …, x n : θ dθ = 2 1 α − 2.13 Rataan Posterior µ adalah estimasi bayes dari rataan populasi µ , dan selang bayes 1- α100 untuk µ dapat dibuat dengan menghitung selang µ - Z α2 σ µ µ + Z α2 σ 2.14

2.6 Batas Toleransi

Selang kepercayaan untuk parameter θ , yaitu selang yang berbentuk 2 1 ˆ ˆ θ θ θ , bila 1 ˆ θ dan 2 ˆ θ tergantung pada nilai statistik Θˆ untuk sebuah sampel tertentu dan juga pada distribusi sampel dari Θˆ . Ini berarti batas kepercayaan dihitung sedemikian rupa sehingga proporsi tertentu dari selang yang dihitung dari seluruh sampel yang dapat dibuat dengan ukuran yang sama mengandung parameter populasi θ . Untuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval atau selang taksiran disertai nilai koefisien kepercayaan yang dikehendaki. Jika simpangan baku diketahui dan populasinya berdistribusi normal , maka interval taksirannya adalah: 1 2 2 α σ µ σ α α − =       + − n z x n z x p 2.15 Keterangan α = adalah koefisien kepercayaan 2 α z = bilangan z didapat dari table normal baku untuk peluang 2 α Persamaan 2.1 di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain, adalah untuk memperoleh 1- α 100 interval kepercayaan parameter µ dapat menggunakan persamaan berikut: n z x n z x σ µ σ α α 2 2 + − 2.16 Bila 2 α z menyatakan nilai z sehingga daerah di sebelah kanannya mempunyai luas 2 α maka didapat dua batas kepercayaan sebagai berikut: n z x σ θ α 2 − = dan n z x σ θ α 2 + = Gbr 2.5 Batas keprcayaan pada distribusi normal Jika dipakai sebagai taksiran untuk μ, maka kita bisa yakin confident dengan tingkat keyakinan confidence level 1001- α bahwa error E= x-μ yg terjadi tidak akan lebih besar dari seperti pada gambar 2.6 di bawah ini: Gambar 2.6 Interval kepercayaan rata-rata populasi Sebagai contoh, bila semua sampel dengan ukuran n yang sama diambil dari suatu distribusi normal, 95 dari semua selang yang ditentukan oleh batas kepercayaan n x σ 96 , 1 ± akan mengandung parameter µ . Karena itu dengan x n z σ α 2 kepercayaan 95 selang n x σ 96 , 1 ± , yang dihitung dari suatu sampel tertentu, akan mengandung parameter µ . Suatu cara untuk menetapkan batas untuk nilai tunggal dalam populasi ialah dengan menentukan suatu selang kepercayaan untuk suatu proporsi tertentu dari pengukuran. Ini paling baik dijelaskan dengan membayangkan suatu keadaan yang menyangkut pengambilan sampel acak dari suatu keadaan yang menyangkut pengambilan sampel acak dari suatu distribusi normal dengan rataan µ dan variansi 2 σ yang diketahui. Jelas suatu batas mencakup bagian tengah 95 dari populasi pengamatan adalah ± µ 1,96σ 2.17 Ini disebut selang toleransi, dan memang cakupan 95 dari pengamatan yang diukur adalah tepat. Akan tetapi, dalam praktek µ dan σ jarang diketahui, jadi pengguna terpaksa menggunakan , ks x ± 2.18 Dan sekarang, selang berbentuk peubah acak dan karena itu cakupan dari proporsi populasi yang dipenuhi selang tadi tidak lagi tepat. Akhibatnya selang kepercayaan 1 100 γ − berlaku untuk pernyataan tersebut karena ks x ± tidak dapat diharapkan selalu mencakup setiap proporsi tertentu. Batas toleransi untuk pengukuran yang berdistribusi normal dengan rataan µ dan simpangan baku σ yang keduanya tidak diketahui, batas toleransi diberikan oleh ks x ± , k ditentukan sedemikian rupa sehingga dapat ditegaskan dengan 1 100 γ − kepercayaan bahwa batas tersebut mengandung paling sedikit α − 1 proporsi pengukuran. BAB 3 PEMBAHASAN Pada tulisan ini distribusi populasi data diambil berbentuk normal. Hal ini adalah untuk memenuhi syarat dalam penaksiran bayes dan maksimum likelihood dan juga untuk memudahkan penurunan formula-formula matematikanya. Akan tetapi pada situasi yang sebenarnya kalau distribusi data tidak diketahui maka bentuk distribusi ini haruslah ditaksir.

3.1 Penaksiran Parameter