BAB 3
PEMBAHASAN
Pada tulisan ini distribusi populasi data diambil berbentuk normal. Hal ini adalah untuk memenuhi syarat dalam penaksiran bayes dan maksimum likelihood dan
juga untuk memudahkan penurunan formula-formula matematikanya. Akan tetapi pada situasi yang sebenarnya kalau distribusi data tidak diketahui maka bentuk
distribusi ini haruslah ditaksir.
3.1 Penaksiran Parameter
µ
Dan
2
σ Pada Distribusi Normal Menggunakan Metode Bayes
Bila
x
rataan sampel acak berukuran n dari suatu populasi normal dengan variansi
2
σ yang diketahui , dan distribusi awal dari rataan populasi adalah suatu distribusi normal dengan rataan
µ dan variansi
2
σ , maka distribusi prior dari rataan populasi juga berdistribusi normal
Ronald Raymond, 1995
.
Misalkan X adalah variabel acak yang berdistribusi normal dengan mean yang tidak diketahui, dengan variansi
2
σ ∞. Bentuk fungsi kepadatan dari distribusi ini adalah:
2
x 2
1
e 2
1 x
f
−
−
=
σ µ
π σ
3.1
Andaikan
n
x x
x ...,
, ,
2 1
adalah sampel berukuran n yang diambil dari populasi normal, maka fungsi padat dari sampel adalah:
fx
1,
x
2, …,
x
n
| µ =
−
−
∑
= n
i i
n n
x
1 2
2
2 1
exp 2
1 σ
µ σ
π
3.2
untuk - ∞ x
i
∞ dan i = 1,2,...,n
Karena dalam hal ini distribusi yang diselidiki adalah distribusi normal, maka parameter
θ yang akan ditaksir dianggap juga mempunyai distribusi normal. Fungsi padat awal prior bentuknya adalah:
2
2 1
2 1
−
−
=
σ µ
µ
π σ
µ e
f , -
∞ µ ∞ 3.3
Maka dapat diperoleh fungsi padat gabungan dari sampel acak dan rataan populasi asal sampel yaitu :
fx
1,
x
2, …,
x
n
, µ = fx
1,
x
2, …,
x
n
| µ f µ
=
−
−
∑
= n
i i
n n
x
1 2
2
2 1
exp 2
1
σ µ
σ π
.
−
−
2
2 1
e 2
1
σ µ
µ
π σ
=
− +
−
−
∑
= +
2 1
2 2
1
2 1
exp 2
1
n i
i n
n
x σ
µ µ
σ µ
σ σ
π
3.4
Identitas
∑ ∑
= =
− −
− +
− =
−
n 1
i n
1 i
2 i
2 i
x n
x x
x
µ µ
Sehingga dapat ditulis : fx
1,
x
2, …,
x
n
| µ =
−
+
−
−
−
−
∑
= −
+ 2
2 2
2 1
2 2
1
2 1
exp 2
1 exp
2 1
σ µ
µ σ
µ σ
σ σ
π
x n
x x
n i
i n
n
3.5
Dari fx
1,
x
2, …,
x
n
| µ dapat diturunkan f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
. Menurut HoggTans1997 distribusi posteriornya adalah:
f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
=
−
+
−
−
−
−
∑
= −
+
2 2
2 2
1 2
2 1
exp 2
1 exp
2 1
2 1
σ µ
µ σ
µ σ
σ σ
π
x n
x x
n i
i n
n
3.6
Dapat disederhanakan dari pangkat eksponennya sebagai berikut: f
µ |x
1,
x
2, …,
x
n
≈
− +
−
−
2 2
2 2
2 1
exp
σ µ
µ σ
µ
x n
f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
≈
− −
− −
2 2
2 2
2 2
exp σ
µ µ
σ µ
x n
f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
≈
+
− −
+ −
−
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
exp
σ µ
µµ µ
σ µ
µ
x x
n
f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
≈
+
− −
+ −
−
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
exp σ
µ µµ
µ σ
µ µ
n n
x x
n
f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
≈
+
− −
+ −
− 4
2 2
2 2
exp
2 2
2 2
2 2
2 2
σ σ
µ µµ
µ σ
µ µ
σ
n n
x x
n
3.7 Dengan mengeliminasi semua faktor konstanta maka didapat sebagai berikut:
f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
≈
+
− −
+ −
− 2
2 2
exp
2 2
2 2
2 2
2 2
σ σ
µ µµ
µ σ
µ µ
σ
n n
x x
n
f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
≈
+ −
− +
− −
2 2
2 exp
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
σ σ
σ µ
σ µµ
σ µ
σ σ
µ σ
µ σ
σ n
n x
x n
f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
≈
+
− +
− 2
2 exp
2 2
2 2
2 2
2
σ σ
µ σ
µ σ
µ σ
σ
n x
n
f µ |x
1,
x
2, …,
x
n
≈
+
+
+ −
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 exp
σ σ
σ σ
σ σ
σ µ
σ µ
n n
n x
3.8
Dengan demikian didapat penaksir rata-rata dan variansinya adalah sebagai berikut:
2 2
2 2
n x
n σ
σ σ
µ σ
µ +
+ =
−
=
x
,dan 3.9
2 2
2 2
2 2
s n
= +
= σ
σ σ
σ σ
3.10
Bila bentuk kuadrat pada eksponen yang kedua dilengkapi pada persamaan 3.6 maka fungsi padat gabungan dari sampel acak dan rataan populasi dapat ditulis dalam
bentuk fx
1,
x
2, …,
x
n
, µ =
−
−
2
2 1
exp σ
µ µ
K 3.11
dan K suatu fungsi dari nilai sampel dan parameter yang diketahui. Distribusi marginal dari sampel menjadi :
gx
1,
x
2, …,
x
n
, µ = K
2 1
2
σ π
σ π
∫
∞ ∞
−
−
−
2
2 1
exp σ
µ µ
=K 2
σ π
3.12
Jadi distribusi posteriornya adalah : f
µ |x
1,
x
2, …,
x
n
= x
, ,
x ,
gx μ
, x
, …
, x
, fx
n 2
1 n
2 1
…
=
2 K
2 1
exp
2
σ π
σ µ
µ
−
−
K
= 2
1 σ
π
−
−
2
2 1
exp
σ µ
µ
, untuk - ∞ θ ∞ 3.13
2.5.2 Penaksiran Parameter
µ
Dan
2
σ
Pada Distribusi Normal Menggunakan Metode Maximum Likelihood
Maksimum likelihood adalah metode yang dapat digunakan untuk menaksir parameter distribusi normal.
Misalkan
n
x x
x ...,
, ,
2 1
adalah sampel acak dari distribusi normal pada persamaan 2.3 sebagai berikut
2
2 1
2 1
−
−
=
σ µ
π σ
x
e x
f Fungsi kemungkinan sebuah sampel yang besarnya n untuk distribusi normal
berbentuk :
∏ ∑
= =
−
− =
n i
n i
i n
x x
x x
L
1 1
2 2
2 1
2 1
exp 2
1 ,
, ,...
, σ
µ π
σ σ
µ
=
−
−
∑
= n
i i
n
x
1 2
2 2
2
2 1
exp 2
1 σ
µ πσ
=
−
−
∑
= n
i i
n n
x
1 2
2 2
2 2
2 1
exp 2
1 µ
σ σ
π 3.14
Ambil log kedua belah pihak
∑
= −
− −
− −
=
n i
i n
x n
n x
x x
L
1 2
1 2
2 2
2 1
2 ln
2 2
ln 2
, ,
,... ,
ln
µ σ
σ π
σ µ
3.15 Turunan parsial dari
, ,
,..., ,
2 2
1
σ µ
n
x x
x L
untuk mencari µ dan
2
σ
, Maka untuk mencaari
µ adalah :
∑
= −
− =
∂ ∂
n 1
i i
1 2
n 2
1
x ,
x ...
x ,
x L
ln
µ σ
µ θ
=
∑
=
−
n i
i
x
1 2
1
µ σ
3.16 Dengan menyamakan turunannya dengan nol pada persamaan 3.16, maka diperoleh:
∑
=
= −
n 1
i i
n x
µ
∑
=
=
n i
i
n x
1
µ
∑
=
=
n 1
i i
x n
1
µ = x
3.17
Dan untuk mencai
2
σ
adalah :
∑
=
− +
− =
∂ ∂
n 1
i 2
i 4
2 2
n 2
1
x 2
1 2
n ,
x ...
x ,
x L
ln
µ σ
σ σ
θ 3.18
Persamaan 3.18, dan mensubstitusi µ=
x
maka diperoleh:
∑
=
= −
+ −
n i
i
x x
n
1 2
4 2
2 1
2 σ
σ
∑
=
= −
n i
i
n x
x
1 2
2 4
2 2
1
σ σ
2 2
4
2 2
1 x
x n
i
− =
σ σ
2 2
4
2 2
1 σ
σ x
x n
i
− =
4 2
2
2 .
2 σ
σ n
x x
i
= −
3.19
Dengan mengeliminasi faktor konstanta pada persamaan 3.19 maka di dapat sebagai berikut:
n x
x
i 2
2 4
σ σ
− =
n x
x
i 2
2
− =
σ 3.20
atau
2
σ
=
∑
=
−
n 1
i 2
_ i
x x
n 1
=
2
s
3.21
3.3 Contoh Kasus
