Selain metode maksimum likelihood terdapat metode bayes. Metode bayes memperkenalkan suatu metode perlu mengetahui bentuk distribusi awal prior.
Sebelum menarik sampel dari suatu populasi terkadang peroleh informasi mengenai parameter yang akan diestimasi. Informasi ini kemudian digabungkan dengan
informasi dari sampel untuk digunakan dalam mengestimasi parameter populasi. Pada metode Bayes, karena nilai parameternya berasal dari suatu distribusi,
maka kesulitan pertama yang dijumpai adalah bagaimana bentuk distribusi parameter tersebut. Walaupun untuk menentukan distribusi prior dari parameter adalah sulit,
tetapi kelebihan estimasi parameter dengan metode bayes mudah untuk dipahami hanya memerlukan pengkodean yang sederhana, lebih cepat dalam penghitungan dan
tampaknya lebih menjanjikan karena ada informasi tambahan untuk menyimpulkan karakteristik populasi.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, permasalahan yang diajukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana mencari estimator parameter µ dan
2
σ dari distribusi normal menggunakan metode Bayes dan Maksimum Likelihood.
2. Bagaimana perbandingan hasil estimator antara metode Bayes dan metode Maksimum Likelihood.
1.3 Tinjauan Pustaka
1. Metode Bayes HoggTans, 1997 Misalkan suatu kasus kontinu dari fungsi padat Y, dikatakan
:
θ
y g
, dapat diperoleh dari syarat fungsi kepadatan dari Y atas θ dan dapat
ditulis
:
θ
y g
=gy
θ , sehingga gy θ hθ =ky, θ sebagai gabungan fungsi
padat dari statistik Y dan parameter. Fungsi padat marginalnya adalah:
∫
∞ ∞
−
=
1
θ h
y k
gy
θ dθ 1.1
Sehinggga
,
1 1
y k
y k
h y
g y
k y
k
θ θ
θ θ
= =
1.2 Keterangan:
y k
θ = distribusi posterior
1
y k
= distribusi marginal ,
θ y
k = distribusi bersyarat
Ronald Raymond, 1995 Distribusi gabungan sampel
n
x x
x ...,
, ,
2 1
dan parameter
θ adalah: f
n
x x
x ...,
, ,
2 1
: θ = f
n
x x
x ...,
, ,
2 1
: θ fθ . Sehingga distribusi marginalnya
sebagai berikut :
gx
1,
x
2, …,
x
n
=
∫ ∑
∞ ∞
−
kontinu bila
d ;
x ,...
x ,
x f
diskrit bila
; x
,... x
, x
f
n 2
1 n
2 1
θ θ
θ
θ
1.3
jadi distribusi posteriornya dapat ditulis sebagai berikut: x
, ,
x ,
gx θ
, x
, …
, x
, fx
x x
f
n 2
1 n
2 1
n
… =
,... ,
x |
2 1
θ 1.4
Keterangan: f
θ = distribusi awal prior
,... ,
x |
2 1
n
x x
f θ
= distribusi pasca posterior f
n
x x
x ...,
, ,
2 1
: θ = distribusi gabungan sampel
gx
1,
x
2, …,
x
n
= distribusi marginal
2. Maksimum Likelihood
Ronald Raymond, 1995 Bila diketahui pengamatan bebas
n
x x
x ...,
, ,
2 1
dari fungsi padat peluang kasus kontinu atau fungsi massa peluang kasus diskrit
,
θ
x f
, maka penaksir kemungkinan maksimum θ adalah memaksimumkan
fungsi kemungkinan
, x
f ,...
, x
f ,
, x
f L
n 2
1
θ θ
θ θ =
=
∏
= n
i i
x f
1
,
θ =L
..., ,
,
2 1
n
x x
x θ
1.5 Taksiran maksimum likelihood untuk
θ adalah nilai θ yang memaksimumkan L. Nilai
θ yang memaksimumkan L adalah sama dengan nilai θ yang memaksimumkan ln L .
HoggTans, 1997 Fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui
θ . Untuk memudahkan dalam menganalisis maka fungsi likelihood
L
θ diberi ln. Penaksir maksimum likelihood dari θ adalah nilai θ yang memaksimumkan fungsi likelihood
L
θ . maka persamaan maksimum likelihoodnya adalah.
= ∂
∂ θ
θ L
1.6
dengan ketentuan jika ln
L
θ maksimum maka
L
θ juga maksimum, sehingga persamaan logaritma natural likelihoodnya adalah
ln =
∂ ∂
θ θ
L 1.7
1.4 Tujuan Penelitian
