bilangan fuzzy triangular ditunjukkan dengan ,
, ~
A A
A
m A
β α
= dan FR adalah
himpunan dari bilangan fuzzy triangular.
Definisi 2.5:
Sebuah bilangan fuzzy
{ }
R x
x x
A
A
∈ =
, ~
~
µ adalah non negatif jika
dan hanya jika
~
= x
A
µ untuk semua
x . Jadi sebuah bilangan
fuzzy triangular ,
, ~
A A
A
m A
β α
= adalah non negatif jika
≥ −
A A
m α
.
Definisi 2.6: Dua buah bilangan fuzzy triangular
, ,
~
A A
A
m A
β α
= dan
, ,
~
B B
B
m B
β α
= dikatakan sama jika dan hanya jika
B A
m m
= ,
B A
α α =
, dan
B A
β β =
.
Definisi 2.7: Sebuah bilangan fuzzy
, ,
~
A A
A
m A
β α
= dikatakan simetris jika
A A
β α =
.
2.4 Aritmatika pada Bilangan Fuzzy Triangular
Asumsikan ,
, ~
A A
A
m A
β α
= dan
, ,
~
B B
B
m B
β α
= adalah dua buah bilangan fuzzy
triangular, aritmatika pada pada kedua bilangan fuzzy tersebut adalah sebagai berikut: S.H. Nasseri, 2008, hal: 2475
a. Penjumlahan : B
A ~
~ +
= ,
,
B A
B A
B A
m m
β β
α α
+ +
+
b. Perkalian skalar: A
~ λ
=
≤ ≥
= ,
, ,
, ,
, ,
, λ
λα λβ
λ λ
λβ λα
λ β
α λ
jika m
jika m
m
A A
A A
A A
A A
A
c. Pengurangan : B
A ~
~ −
= ,
,
B A
B A
B A
m m
α β
β α
+ +
−
Universitas Sumatera Utara
2.5 Matriks Non Negatif dan Vektor Fuzzy Non Negatif Definisi 2.8:
Sebuah matriks A disebut non negatif dan dinotasikan ≥
A jika setiap
elemen dari A adalah bilangan non negatif.
Definisi 2.9: Sebuah vektor fuzzy
1
~ ~
×
=
m i
b b
disebut non negatif dan dinotasikan ~
≥ b
jika setiap elemen dari b ~
adalah fuzzy non negatif, dengan kata lain
~ ≥
i
b .
2.6 Sistem Persamaan Linear Fuzzy
Sistem persamaan linear n variabel dan n persamaan ditulis dalam bentuk matriks: y
Ax =
1 dengan A matriks persegi yang entri-entrinya merupakan bilangan real dan x, y adalah
vektor – vektor di dalam
n
R . Diberikan
F v
v v
u u
u
n n
∈ ,
, ,
, ,
, ,
2 1
2 1
L L
dan R
a
j i
∈
,
untuk i
≤ 1
, n
j ≤
, maka sistem persamaan linear fuzzy:
n n
n n
n n
n n
n n
v u
a u
a u
a v
u a
u a
u a
v u
a u
a u
a
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
, 2
2 ,
1 1
, 2
, 2
2 2
, 2
1 1
, 2
1 ,
1 2
2 ,
1 1
1 ,
1
L M
M M
M L
L 2
Sistem persamaan 2 dapat ditulis dalam bentuk matriks V
AU =
dengan
=
n n
n n
n n
a a
a a
a a
a a
a A
, 2
, 1
, ,
2 2
, 2
1 ,
2 ,
1 2
, 1
1 ,
1
L M
O M
M L
L ,
,
2 1
=
n
u u
u U
M dan
=
n
v v
v V
M
2 1
Universitas Sumatera Utara
Model sistem persamaan linear 2 mempunyai solusi fuzzy jika terdapat
vektor
=
n
x x
x X
M
2 1
di dalam
n
F sedemikian hingga
j j
k j
n k
v x
a =
∑
= ,
1
dan
j j
k j
n k
v x
a =
∑
= ,
1
,
untuk setiap n
j ,
, 2
, 1
L =
.
Mengingat Definisi 2.6 dan aritmatika pada bilangan fuzzy, fungsi-fungsi
j
v dan
j
v dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari
j
x dan
j
x . Sistem persamaan 2 diubah ke bentuk
n 2 variabel dan n
2 persamaan menjadi:
∗ ∗
= V
BX 3
dengan
=
n n
n n
n n
b b
b b
b b
b b
b B
2 ,
2 2
, 2
1 ,
2 2
, 2
2 ,
2 1
, 2
2 ,
1 2
, 1
1 ,
1
L M
O M
M L
L ,
[ ]
T n
n
x x
x x
X −
− =
∗
, ,
, ,
,
1 1
L L
dan
[ ]
T n
n
v v
v v
V −
− =
∗
, ,
, ,
,
1 1
L L
.
Entri-entri
j i
b
,
ditentukan sebagai berikut: 1. jika
j i
a
,
≥ 0, maka
j i
b
,
=
j i
a
,
dan
j i
n j
n i
a b
, ,
=
+ +
2. jika
j i
a
,
0, maka
j i
n j
i
a b
, ,
− =
+
dan
j i
j n
i
a b
, ,
− =
+
3.
j i
b
,
= 0, untuk yang lainnya.
Persamaan 3 bukan sistem persamaan linear fuzzy. Persamaan 3 merupakan persamaan linear biasa yang nilai variabelnya berada dalam ruang fungsi. Dengan
menggunakan persamaan 3, dimungkinkan sistem persamaan linear fuzzy dapat diselesaikan melalui penyelesaian sistem persamaan linear biasa. Lebih lanjut, matriks
B pada persamaan 3 dapat ditulis dalam bentuk matriks blok
=
1 2
2 1
B B
B B
B ,
sehingga matriks koefesien A pada persamaan 2 adalah
2 1
B B
A −
= .
Universitas Sumatera Utara
Contoh 1:
Diberikan sistem persamaan linear fuzzy:
2 2
1 1
2 1
v x
x v
x x
= +
= −
Matriks A seperti dalam persamaan 2 adalah
− 1
1 1
1 . Oleh karena itu, diperoleh
matriks B dengan persamaan 3 adalah
= 1
1 1
1 1
1 1
1 B
.
Contoh 2 :
Diberikan sistem persamaan linear fuzzy:
2 2
1 1
2 1
3 v
x x
v x
x =
+ =
−
Jika sistem persamaan ini diubah menjadi persamaan 3, maka:
2 2
1 1
1 2
2 2
1 1
2 1
3 3
v x
x v
x x
v x
x v
x x
− =
− +
− −
= −
+ =
+ =
− +
Teorema 2.1: Diberikan
=
1 2
2 1
B B
B B
B adalah matriks koefesien pada persamaan 3.
Matriks B non singular jika dan hanya jika matriks-matriks
2 1
B B
A −
= dan
2 1
B B
+ keduanya non singular.
Bukti :
⇒ Dengan menggunakan operasi elementer baris kolom pada matriks
=
1 2
2 1
B B
B B
B , didapat matriks
+ +
=
1 2
2 1
2 1
B B
B B
B B
C . Jika matriks C dikenai
operasi elementer jumlahan dua kolom, didapat
−
+ =
2 1
2 2
1
B B
B B
B D
. Matriks C
Universitas Sumatera Utara
adalah matriks yang dihasilkan dari operasi elementer jumlahan dua baris kolom dari matriks B. Sedangkan matriks D adalah matriks yang dihasilkan dari operasi
elementer jumlahan dua baris kolom dari matriks C. Hal ini berakibat:
detB = detC = detD, sehingga detB = detD
= detB
1
+ B
2
· detB
1
B
2
Karena B non singular maka detB ≠
0 dan detB
1
+ B
2
· detB
1
B
2
= detB ≠
0. Hal ini mengakibatkan detB
1
+ B
2
≠ 0 dan det B
1
B
2
≠ 0. Jadi matriks
2 1
B B
A −
= dan
2 1
B B
+ keduanya non singular.
⇐ Diketahui matriks
2 1
B B
A −
= dan
2 1
B B
+ keduanya non singular. Jadi detB
1
+ B
2
≠ 0 dan detB
1
B
2
≠ 0.
Dengan cara yang sama seperti pada bagian sebelumnya, didapat: detB = detC = detD
dengan
+
+ =
1 2
2 1
2 1
B B
B B
B B
C dan
− +
=
2 1
2 2
1
B B
B B
B D
. Hal ini berakibat:
detB= detD = detB
1
+ B
2
· detB
1
B
2
≠ Karena nilai detB
1
+ B
2
≠ 0 dan nilai detB
1
B
2
≠ 0. Sehingga B adalah matriks non
singular.
Teorema 2.2:
Diberikan
=
1 2
2 1
B B
B B
B adalah matriks koefisien pada persamaan 3.
Jika invers matriks B ada, maka inversnya berbentuk
=
−
M N
N M
B
1
.
Bukti :
Misalkan
j i
b
,
dan
j i
b
, ∗
berturut-turut menyatakan entri matriks B dan
1 −
B pada baris ke-i dan kolom ke-j. Karena
det 1
1
B adj
B B
=
−
, maka:
Universitas Sumatera Utara
j i
b
, ∗
= det
det 1
,
B B
i j
j i
+
− 4
dengan
i j
B
,
sub matriks yang diperoleh dengan cara mengeliminasi baris ke-j dan kolom ke-i dari matriks B .
Perhatikan sub matriks
i n
j
B
, +
dan
n i
j
B
+ ,
. Matriks
i n
j
B
, +
dapat diperoleh melalui operasi elementer pertukaran baris dan kolom dari
n i
j
B
+ ,
sebanyak p kali, dengan p bilangan genap. Oleh karenanya, det
i n
j
B
, +
= -1
p
det
n i
j
B
+ ,
= det
n i
j
B
+ ,
.
Dari persamaan 4 dan mengingat det
i n
j
B
, +
= det
n i
j
B
+ ,
, maka:
j n
i
b
, +
∗
= det
det 1
,
B B
n i
j j
n i
+ +
+
−
= det
det 1
,
B B
i n
j j
n i
+ +
+
− =
n j
i
b
+ ∗
,
untuk setiap n
j i
≤ ≤
, 1
. Sampai di sini, didapat
∗
∗ =
−
N N
B
1
Perhatikan juga sub matriks
i j
B
,
dan
n i
n j
B
+ +
,
, untuk n
j i
≤ ≤
, 1
. Karena
=
1 2
2 1
B B
B B
B maka
n i
n j
B
+ +
,
dapat diperoleh menggunakan operasi elementer pertukaran baris dan kolom dari
i j
B
,
sebanyak q kali, dengan q bilangan genap. Oleh karenanya,
det
i j
B
,
= -1
q
det
n i
n j
B
+ +
,
= det
n i
n j
B
+ +
,
. Hal ini berakibat:
j i
b
, ∗
= det
det 1
,
B B
i j
j i
+
−
= det
det 1
1
, 2
B B
n i
n j
n j
i +
+ +
− −
Universitas Sumatera Utara
= det
det 1
,
B B
n i
n j
n j
n i
+ +
+ +
+
−
=
n j
n i
b
+ +
∗ ,
untuk setiap n
j i
≤ ≤
, 1
. Terbukti bahwa
=
−
M N
N M
B
1
.
Persamaan 3 merupakan perubahan bentuk dari sistem persamaan linear fuzzy. Walaupun persamaan 3 mempunyai solusi tunggal, tidak berarti sistem
persamaan linear fuzzy langsung diperoleh solusinya. Jika B dalam 3 non singular, tidak ada jaminan bahwa
F V
B X
∈ =
− 1
, untuk setiap V ∈
F.
Contoh berikut memperlihatkan bahwa persamaan 3 mempunyai solusi tunggal tetapi permasalahan sistem persamaan linear fuzzy tidak mempunyai solusi
tunggal.
Contoh 3:
Diberikan permasalahan sistem persamaan linear fuzzy: 2
,
3 2
1
r r
x x
x −
= −
+ 3
, 2
2
3 2
1
r x
x x
+ =
+ −
1 ,
2 3
2
3 2
1
r x
x x
− −
− =
+ +
Jika diubah dalam bentuk persamaan 3, maka diperoleh matriks-matriks :
=
3 1
2 1
1 2
1 1
1 3
1 2
2 1
1 1
1 1
A ,
+ −
− −
+ =
r r
r r
X
1 3
2 2
2 , dan
Universitas Sumatera Utara
=
3 1
2 1
1 2
1 1
1 3
1 2
2 1
1 1
1 1
B mempunyai invers, sehingga solusi persamaan 3 adalah:
T
r r
r r
r r
X ]
85 .
1 92
. 2
, 32
. 62
. 1
, 38
. 3
69 .
4 ,
15 .
2 08
. 1
, 77
. 62
. ,
62 .
3 31
. 2
[ −
− +
− −
− −
+ −
= Misalkan:
[ ]
T
r r
x 38
. 3
69 .
4 ,
62 .
3 31
. 2
1
− +
− =
,
[ ]
T
r r
x 23
. 62
. 1
, 77
. 62
.
2
+ −
− −
=
[ ]
3
1.08 2.15 , 2.92 1.85
T
x r
r =
− −
+ Vektor
3 2
1
, ,
x x
x bukan solusi sistem persamaan linear fuzzy ini, karena
1
x dan
2
x bukan bilangan fuzzy.
Teorema berikut memperlihatkan syarat cukup dan syarat perlu agar solusi persamaan 3 juga menjadi solusi untuk sistem persamaan linear fuzzy semula.
Sebelumnya, didefinisikan pengertian sifat non negatif yang dimiliki suatu matriks. Matriks
[ ]
j i
q Q
,
= dikatakan non negatif jika untuk setiap i dan setiap j berlaku
,
≥
j i
q . Sebagai contoh, matriks koefisien pada persamaan 3 di atas adalah matriks
non negatif.
Teorema 2.3: Diberikan sistem persamaan linear fuzzy
V AU
= dengan n variabel
dan n persamaan. Persamaan
∗ ∗
= V
BX seperti persamaan 3, dengan
B non singular. Solusi
∗ ∗
= V
BX menjadi solusi sistem persamaan
linear fuzzy V
AU =
jika dan hanya jika matriks
1 −
B non negatif.
Bukti :
⇒ Misalkan
1 −
B = [
j i
b
, ∗
] dan
[ ]
T n
n
x x
x x
X −
− =
∗
, ,
, ,
,
1 1
L L
. Karena
∗ −
∗
= V
B X
1
, maka diperoleh:
Universitas Sumatera Utara
− =
∗ =
∑
i j
i n
j i
v b
x
, 1
i n
j i
n j
v b
+ ∗
=
∑
, 1
5 −
= −
+ ∗
=
∑
i j
n i
n j
i
v b
x
, 1
i n
j n
i n
j
v b
+ +
∗ =
∑
, 1
6 untuk
n j
i ≤
≤ ,
1 .
Selanjutnya karena
=
−
M N
N M
B
1
maka persamaan 6 menjadi: −
= −
+ ∗
=
∑
i n
j i
n j
i
v b
x
, 1
i j
i n
j
v b
, 1
∗ =
∑
, sehingga =
i
x
i j
i n
j
v b
, 1
∗ =
∑
i n
j i
n j
v b
+ ∗
=
∑
−
, 1
7
Jika persamaan 7 dikurangi dengan persamaan 5, maka diperoleh: =
−
i i
x x
i j
i n
j
v b
, 1
∗ =
∑
i n
j i
n j
v b
+ ∗
=
∑
−
, 1
− −
∗ =
∑
i j
i n
j
v b
, 1
i n
j i
n j
v b
+ ∗
=
∑
, 1
=
i j
i n
j
v b
, 1
∗ =
∑
− −
∗ =
∑
i j
i n
j
v b
, 1
+
i n
j i
n j
v b
+ ∗
=
∑
, 1
i n
j i
n j
v b
+ ∗
=
∑
−
, 1
=
, 1
i i
j i
n j
v v
b −
∗ =
∑
+
, 1
i i
n j
i n
j
v v
b −
+ ∗
=
∑
8
Diketahui V ∈
F
n
maka
1 2
, ,
,
n
v v v
F ∈
L , sehingga
i i
v v
− ≥
0 untuk setiap n
i ≤
≤ 1
.
Diketahui pula bahwa
i i
x x
− ≥
0. Hal ini berakibat
j i
b
, ∗
≥ 0 untuk setiap i dan
j. Dengan kata lain matriks
1 −
B = [
j i
b
, ∗
] non negatif. ⇐
Misalkan
1 −
B = [
j i
b
, ∗
] matriks non negatif. Jadi
j i
b
, ∗
≥ 0 untuk setiap i dan j.
Dengan cara yang sama seperti pada bagian sebelumnya, didapat persamaan 8: =
−
i i
x x
, 1
i i
j i
n j
v v
b −
∗ =
∑
+
, 1
i i
n j
i n
j
v v
b −
+ ∗
=
∑
.
Selain itu, diketahui pula
[ ]
T n
n
v v
v v
V −
− =
∗
, ,
, ,
,
1 1
L L
solusi persamaan 3 dan
1 2
, ,
,
n
v v v
F ∈
L , maka
i i
v v
− ≥
0 untuk setiap n
i ≤
≤ 1
. Akibatnya:
Universitas Sumatera Utara
= −
i i
x x
, 1
i i
j i
n j
v v
b −
∗ =
∑
+
, 1
i i
n j
i n
j
v v
b −
+ ∗
=
∑
≥ 0, untuk
n i
≤ ≤
1 sehingga
1 2
, ,
,
n
x x x
F ∈
L atau
1 2
[ , ,
, ]
n n
x x x
F ∈
L . Dengan demikian, solusi ini menjadi solusi
sistem persamaan linear fuzzy.
Dalam Contoh 3, matriks B adalah matriks non negatif. Tetapi invers matriks B, yakni
1
B
−
adalah: 2.7692 -0.8462 -0.4615
2.2308 -1.1538 -0.5385
-0.4615 0.3077 0.0769
-0.5385 0.6923 -0.0769
-1.6923 0.4615 0.6154 -1.3077 0.5385 0.3846
2.2308 -1.1538 -0.5385 2.7692
-0.8462 -0.4615 -0.5385 0.6923 -0.0769 -0.4615
0.3077 0.0769 -1.3077 0.5385
0.3846 -1.6923
0.4615 0.6154
jelas bukan matriks non-negatif. Sebab terdapat entri matriks
1
B
−
yang bernilai negatif.
Mengingat Teorema 2.3, solusi persamaan linearnya tidak langsung menjadi solusi
persamaan linear fuzzy. Sebuah sistem persamaan linear fuzzy dapat diubah menjadi bentuk sistem persamaan
linear biasa. Dari sistem n variabel dan n persamaan diubah menjadi sistem 2n variabel dan 2n persamaan. Solusi sistem persamaan baru tidak secara langsung
menjadi solusi sistem persamaan semula. Contoh 3 memperlihatkan bahwa solusi
sistem persamaan baru tidak menjadi sistem persamaan semula. Jika matriks koefisien dari sistem persamaan bersifat non negatif, maka solusinya menjadi sistem persamaan
semula. Hal ini ditulis dalam Teorema 2.2. Definisi 2.10:
Tinjau sistem persamaan linear n
m ×
sebagai berikut: b
x A
~ ~
= 9
di mana A adalah sebuah matriks crisp non negatif dan ~
~
j
x x
= ,
~ ~
i
b b
= adalah vektor – vektor fuzzy non negatif dan
~ ,
~ R
F b
x
i j
∈ untuk semua
n j
≤ ≤
1 ,
m i
≤ ≤
1 , disebut sebagai sebuah sistem
persamaan linear fuzzy dengan bilangan triangular non negatif.
Universitas Sumatera Utara
Definisi 2.11: Sebuah vektor fuzzy non negatif x
~ merupakan solusi dari b
x A
~ ~
= jika
x ~ memenuhi sistem persamaan tersebut, di mana A dan b~ seperti yang
didefinisikan pada 9.
Adapun karena ~
R F
x
n
∈ dan
~ R
F b
m
∈ , dapat diasumsikan
, ,
~
β α
x x
x x
m
= dan
, ,
~
β α
b b
b b
m
= di mana
n m
R x
x x
∈
β α
, ,
dan
m m
R b
b b
∈
β α
, ,
. Maka, sistem
b x
A ~
~ =
dapat ditulis sebagai berikut: ,
, ,
, ,
≥ −
=
α β
α β
α
x x
b b
b x
x x
A
m m
m
10 Di samping itu, b
~ dan x
~ adalah dua buah vektor fuzzy non negatif, maka dengan
menggunakan Definisi 2.6 dan aritmatika pada bilangan fuzzy triangular non negatif,
dapat diselesaikan sistem crisp berikut:
m m
b Ax
= ,
α α
b Ax
= ,
β β
b Ax
= 11
Ingat bahwa jika menggunakan bilangan fuzzy triangular yang simetris Definisi 2.7,
maka sistem
β β
b Ax
= tidak perlu diselesaikan karena sama dengan sistem
α α
b Ax
= .
2.7 Metode Penyelesaian Program Linear
