Gambar 2.9 menunjukkan pola ACF dan PACF model AR2. Terlihat pada gambar bahwa ACF turun perlahan mendekati nol
dan PACF signifikan pada lag pertama dan kedua.
2. Model Moving Average MA
Moving average atau rata-rata bergerak berarti bahwa nilai
runtun waktu pada waktu � dipengaruhi oleh unsur galat pada saat ini
dan mungkin unsur galat pada masa lalu. Suatu runtun waktu dikatakan mengikuti proses MA, jika lag-lag pada grafik PACF
menurun secara eksponensial dan banyaknya lag yang signifikan berbeda dengan nol pada grafik ACF digunakan sebagai indikasi
besarnya parameter .
Definisi 2.9 Model Moving Average MA
Bentuk umum model moving average orde , disimbolkan
dengan MA atau ARIMA 0,0, dapat ditulis sebagai berikut Makridakis, 1990: 388:
�
= � +
�
− �
1 �−1
− �
2 �−2
− ⋯ − �
�−
2-28 dengan
� : nilai konstan � : parameter moving average ke-
�−
: galat pada saat � −
Dua kasus yang paling sering muncul adalah untuk = 1 dan
= 2, yaitu berturut-turut model MA1 dan MA2. Dua kasus tersebut dapat ditulis persamaannya sebagai berikut:
a. MA atau ARIMA�, �,
�
= � +
�
− �
1 �−1
2-29 Dengan menggunakan simbol operator backshift, persamaan 2-29
dapat ditulis kembali menjadi:
�
= � + 1 − �
1
�
�
2-30 Berikut adalah bentuk grafik ACF dan PACF dari model MA1
Wei, 1990: 48
Gambar 2.10
Grafik ACF dan PACF Model MA1 Gambar 2.10 menunjukkan pola ACF dan PACF model MA1.
Terlihat pada gambar bahwa ACF signifikan pada lag pertama dan PACF perlahan mendekati nol.
b. MA atau ARIMA�, �,
�
= � +
�
− �
1 �−1
− �
2 �−2
2-31 Dengan menggunakan simbol operator backshift, persamaan 2-31
dapat ditulis kembali menjadi:
�
= � + 1 − �
1
� − �
2
�
2 �
2-32 Berikut adalah bentuk grafik ACF dan PACF dari model MA2
Wei, 1990: 52
Gambar 2.11 Grafik ACF dan PACF Model MA2
Gambar 2.11 menunjukkan pola ACF dan PACF model MA2. Terlihat pada gambar bahwa ACF signifikan pada lag pertama dan
kedua, sedangkan PACF perlahan mendekati nol.
3. Model Campuran Autoregressive Moving Average ARMA
Suatu perluasan yang diperoleh dari model AR dan MA adalah model campuran ARMA. Bentuk umum untuk model campuran
ARMA , dapat ditulis sebagai berikut:
�
= �
′
+ �
1 �−1
+ ⋯ + �
�−
+
�
− �
1 �−1
− ⋯ − �
�− �
− �
1 �−1
− ⋯ − �
�−
= �
′
+
�
− �
1 �−1
− ⋯ − �
�−
1 − �
1
� − ⋯ − � �
�
= �
′
+ 1 − �
1
� − ⋯ − � �
�
Definisi 2.10 Model Autoregressive Moving Average ARMA
Model ARMA dapat ditulis sebagai berikut: � �
�
= �
′
+ � �
�
2-33 dengan
� � = 1 − �
1
� − ⋯ − � � � � = 1 − �
1
� − ⋯ − � � Persamaan untuk kasus yang paling sederhana proses AR1 dan
proses MA1 adalah sebagai berikut:
ARMA , atau ARIMA ,
�,
�
= �
′
+ �
1 �−1
+
�
− �
1 �−1
2-34 Dengan menggunakan simbol operator backshift, persamaan 2-34
dapat ditulis kembali menjadi:
�
− �
1 �−1
= �
′
+
�
− �
1 �−1
2-35 atau
1 − �
1
�
�
= �
′
+ 1 − �
1
�
�
2-36 Berikut adalah bentuk grafik ACF dan PACF dari model ARMA1, 1
Wei, 1990: 60-61
Gambar 2.12
Grafik ACF dan PACF Model ARMA1,1
Gambar 2.12
lanjutan Apabila data tidak stasioner maka perlu dilakukan proses
differencing . Oleh sebab itu proses ARMA akan berubah menjadi model
umum ARIMA , , . Jika dilakukan proses differencing dengan orde ke- seperti pada persamaan 2-19, sehingga
1
,
2
, … menjadi data
runtun waktu yang stasioner, maka model ARMA , pada
�
dinamakan model ARIMA , , .
Definisi 2.11 Model ARIMA
, �,
Bentuk umum model ARIMA , , adalah sebagai berikut: � � 1 − �
�
= �
′
+ � �
�
2-37 dengan operator AR dinyatakan dalam bentuk polinomial sebagai
berikut: � � = 1 − �
1
� − �
2
�
2
− ⋯ − � � 2-38
dan operator MA adalah sebagai berikut: � � = 1 − �
1
� − �
2
�
2
− ⋯ − � � 2-39
Parameter menunjukkan bahwa proses tidak stasioner. Jadi apabila parameter
= 0 maka proses telah stasioner. Namun dalam prakteknya jarang diperlukan pemakaian nilai , , yang lebih dari 2. Persamaan
untuk kasus yang paling sederhana ARIMA1, 1, 1 adalah sebagai berikut:
1 − �
1
� 1 − �
�
= �
′
+ 1 − �
1
�
�
2-40
J. Langkah-langkah Pemodelan ARIMA
