Pendugaan Parameter Model Fungsi Transfer

untuk deret gangguan � dapat diperoleh untuk mendapatkan persamaan � � � = � � � 3-12

2. Pendugaan Parameter Model Fungsi Transfer

Langkah berikutnya setelah mengidentifikasi bentuk model adalah pendugaan parameter-parameter model fungsi transfer. Model fungsi transfer yang sementara ini didapatkan adalah seperti pada persamaan 3-5. Model tersebut perlu dilakukan pendugaan untuk parameter � = � 1 � 2 � , � = � � 1 � , � = � 1 � 2 � , � = � 1 � 2 � . Ada dua tahapan utama dalam proses pendugaan parameter model fungsi transfer.

a. Pendugaan Awal Parameter Model

Parameter model fungsi transfer akan diduga menggunakan metode Levenberg-Marquardt. Oleh sebab itu, perlu dilakukan penentuan nilai awal terlebih dahulu sebelum metode Levenberg- Marquardt diterapkan. Pendugaan awal parameter model fungsi transfer merupakan tahap untuk menentukan nilai awal. � dan � adalah parameter-parameter dari deret gangguan. Pada tahap penetapan model ARIMA untuk deret gangguan telah dilakukan pendugaan untuk parameter � dan � . Nilai dugaan pada tahap tersebut dijadikan sebagai nilai awal dari parameter � dan � untuk selanjutnya dilakukan pendugaan lagi menggunakan metode Levenberg-Marquardt pada tahap pendugaan akhir parameter. Penentuan nilai awal untuk parameter � dan � berkaitan dengan persamaan fungsi transfer berikut ini: � � = ��� � �� 3-13 Persamaan 3-13 di atas dapat ditulis kembali menjadi seperti berikut: �� � � = ��� � 1 − � 1 � − ⋯ − � � � + � 1 � + � 2 � 2 + ⋯ = � − � 1 � − ⋯ − � � � � Dari persamaan di atas, maka diperoleh: � = 0 untuk � 3-14 � = � 1 � −1 + � 2 � −2 + ⋯ + � � − + � untuk = � 3-15 � = � 1 � −1 + � 2 � −2 + ⋯ + � � − − � −� untuk = � + 1, � + 2, … , � + 3-16 � = � 1 � −1 + � 2 � −2 + ⋯ + � � − untuk � + 3-17 Persamaan 3-14, 3-15, 3-16, dan 3-17 adalah persamaan yang akan membantu dalam tahap pendugaan awal parameter. Dengan menerapkan empat persamaan tersebut pada data yang dimiliki, maka dapat ditentukan nilai awal untuk parameter � dan �.

b. Pendugaan Akhir Parameter Model

Persamaan 3-5 dapat ditulis kembali dalam bentuk sebagai berikut: � � � � � = � � � � �−� + � � �� � 3-18 atau ekuivalen dengan: � � = � �−� + � � 3-19 dengan � = � � � � = 1 − � 1 � − � 2 � 2 − ⋯ − � � 1 − � 1 � − � 2 � 2 − ⋯ − � � = 1 − 1 � − 2 � 2 − ⋯ − + � + � = � � � � = 1 − � 1 � − � 2 � 2 − ⋯ − � � � − � 1 � − � 2 � 2 − ⋯ − � � = − 1 � − 2 � 2 − ⋯ − + � + � = � � �� = 1 − � 1 � − � 2 � 2 − ⋯ − � � 1 − � 1 � − � 2 � 2 − ⋯ − � � = 1 − 1 � − 2 � 2 − ⋯ − + � + Jadi diperoleh � = 1 �−1 + ⋯ + + �− − + �−� − 1 �−�−1 − ⋯ − + �−�− − − � − 1 �−1 − ⋯ − + �− − 3-20 di mana , , dan adalah fungsi transfer dari � , � , � , dan � . Persamaan 3-20 di atas merupakan model untuk menduga nilai � , oleh sebab itu simbol dari � dapat ditulis menjadi � , dan persamaan 3-20 dapat ditulis kembali menjadi: � = 1 �−1 + ⋯ + + �− − + �−� − 1 �−�−1 − ⋯ − + �−�− − − � − 1 �−1 − ⋯ − + �− − 3-21 Dengan menggunakan persamaan 3-21, maka diperoleh persamaan jumlah kuadrat galatnya adalah sebagai berikut: �, �, �, � = � �, �, �, � 2 �=� = � − � 2 �=� 3-22 dengan � = max + + 1, � + + + 1 Tujuan metode Levenberg-Marquardt pada kasus ini adalah untuk menentukan �, �, �, dan � sedemikian sehingga jumlah kuadrat galat pada persamaan 3-22 minimal. Nilai awal untuk masing-masing parameter telah ditentukan pada tahap pendugaan awal. Setelah nilai awal ditentukan, maka langkah selanjutnya pada tahap ini adalah membentuk matriks Jacobian. Matriks Jacobian untuk kasus ini adalah sebagai berikut: �, �, �, � = � � �� 1 ⋯ � � �� ⋱ � �� 1 ⋯ � �� � � �� ⋯ � � �� ⋱ � �� ⋯ � �� � � �� 1 ⋯ � � �� ⋱ � �� 1 ⋯ � �� � � �� 1 ⋯ � � �� ⋱ � �� 1 ⋯ � �� 3-23 Dengan menggunakan persamaan matriks Jacobian pada persamaan 3-23, maka dapat dihitung � dengan rumus sebagai berikut: � = �, �, �, � �, �, �, � 3-24 Langkah selanjutnya adalah dengan menghitung �, �, �, � = � − � � +1 − � +1 − 3-25 Dengan menggunakan persamaan 3-25, maka dapat dihitung = �, �, �, � �, �, �, � 3-26 Setelah � dan dihitung, maka langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan berikut: � + � = − 3-27 � merupakan parameter damping dengan � 0 untuk menjamin bahwa adalah arah turun descent direction dan adalah matriks identitas. Persamaan 3-27 di atas diselesaikan dengan tujuan untuk menentukan . Apabila sudah ditentukan, maka dapat dihitung nilai- nilai parameter yang baru untuk melanjutkan iterasi. Kriteria penghentian iterasi yang digunakan adalah jika perubahan dalam nilai parameter kecil. Misal � merupakan vektor dari parameter-parameter model fungsi tranfer, � baru adalah vektor dari parameter-parameter model fungsi transfer pada iterasi berikutnya, iterasi akan berhenti jika: � baru − � � � + � 3-28 dengan � adalah suatu bilangan positif yang kecil.

3. Pemeriksaan Diagnostik Model Fungsi Transfer