pengamatan telah memakai ganja tetapi anak tersebut tidak mengingat waktu pertama memakai ganja maka data dari anak tersebut tersensor kiri.
3. Penyensoran Interval
Pada penyensoran interval waktu hidup hanya terjadi pada suatu interval.
Setiap waktu hidup individu, yaitu jatuh dalam interval
] yang merepresentasikan interval waktu dengan
merupakan batas bawah waktu penyensoran dan
merupakan batas atas waktu penyensoran. Misalkan individu ke-
memperlihatkan gejala kegagalan pada waktu pemeriksaan pertama maka
dan adalah waktu pemeriksaan selanjutnya. Jika
individu tidak memperlihatkan gejala kegagalan sampai waktu pemeriksaan ke-
tetapi menunjukkan gejala kegagalan pada waktu ke- maka adalah waktu pemeriksaan ke-
dan adalah waktu pemeriksaan ke-
. Jika individu tidak menunjukkan gejala kegagalan sampai waktu pemeriksaan
terakhir maka adalah waktu pemeriksaan terakhir dan
. Waktu ketahanan hidup pada penyensoran interval biasa ditetapkan, misalnya waktu
tengah dari interval waktu.
G. Penduga Fungsi Ketahanan Hidup dengan Metode Kaplan Meier
Penduga Kaplan Meier dikenal juga dengan sebutan penduga
product limit
. Penduga Kaplan Meier pertama kali diperkenalkan oleh Kaplan dan Meier pada
tahun 1958. Penduga Kaplan Meier banyak digunakan dalam dunia medis untuk menduga fungsi ketahanan hidup. Diketahui fungsi ketahanan hidup
� adalah � . Ketika tidak ada data tersensor maka penduga Kaplan Meier
adalah �̂ . Penduga Kaplan Meier untuk kasus penyensoran kanan
yang tunggal sama dengan penduga Kaplan Meier untuk kasus tidak ada penyensoran, yaitu
�̂ untuk setiap ,
merupakan waktu sensor. Semua kasus penyensoran yang disensor pada waktu yang sama disebut
kasus penyensoran kanan tunggal. Dalam kasus ini, untuk �̂ tidak
terdefinisi. Hal yang berbeda muncul apabila beberapa waktu penyensoran lebih kecil dari pada beberapa waktu kegagalan.
akan menjadi bias karena PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
kasus yang disensor sebelum pada kenyataannya bisa saja termasuk dalam
kegagalan tanpa diketahui. Solusi untuk masalah tersebut adalah sebagai berikut: Misalkan terdapat
waktu yang berbeda dengan . Untuk setiap
, ada individu yang dikatakan berada pada risiko kegagalan. Risiko berarti
individu-individu tersebut tidak mengalami kegagalan dan juga belum disensor sebelum waktu ke-
. Jika terdapat individu yang tersensor tepat pada waktu ke- maka individu tersebut termasuk dalam risiko pada waktu ke-
. Misalkan adalah banyaknya individu yang meninggal pada waktu ke-
.
Teorema 3.1 Penduga fungsi ketahanan hidup dengan Metode Kaplan Meier adalah
�̂ ∏ untuk
. Bukti:
Fungsi likelihood untuk dengan
merupakan fungsi
hazard
saat waktu ke- adalah
[ ] ∏
[ ]
dengan adalah banyaknya kegagalan yang terjadi waktu ke-
dan adalah
banyaknya individu yang berisiko gagal pada waktu ke- .
Selanjutnya akan dicari penduga untuk fungsi hazard dengan mengambil turunan pertama dari
[ ] terhadap
sama dengan nol dan menyelesaikan persamaan tersebut untuk
. Langkah 1: Tentunya akan sulit apabila persamaan di atas langsung diturunkan
terhadap , sehingga diperlukan cara untuk mengubah persamaan tersebut
menjadi persamaan yang lebih sederhana dengan transformasi logaritma. [
] ∏ [
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑ [ ]
Langkah 2: Mengambil turunan pertama dari [
] terhadap , yaitu:
[ [ ]]
Langkah 3: mencari penyelesaian untuk , yaitu
Sehingga pembuat nol dari persamaan di atas adalah , maka
diperoleh Jadi diperoleh
̂ atau biasa ditulis dengan
̂ . Persamaan
menyatakan bahwa � ∏ sehingga
�̂ ∏ ̂
atau �̂ ∏
Teorema 3.2 Penduga variansi untuk penduga Kaplan Meier adalah
̂[�̂ ] [�̂ ] ∑
Standar error dari penduga Kaplan Meier adalah akar kuadrat dari penduga variansi untuk penduga Kaplan Meier.
Bukti: Teorema
menyatakan bahwa �̂ ∏ dengan menambahkan
fungsi ln pada kedua ruas diperoleh: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[�̂ ] ∑ ∑ [ ̂
]
dengan ̂
adalah probabilitas bersyarat dari ketahanan hidup dalam interval ̂
dapat dinyatakan sebagai sebuah penduga dari proporsi. Penduga variansi untuk
̂ adalah ̂[ ̂
]
̂ [ ̂
]
Selanjutnya menggunakan Metode Delta persamaan diperoleh
̂[ ̂ ] [
̂ ]
̂ [ ̂
] [ ̂
] ̂
Pembilang dan penyebut dari persamaan di atas dikalikan dengan sehingga
̂[ ̂ ]
[ ̂ ]
̂ Karena
̂ maka
̂ . Jadi
̂[ ̂ ]
̂
Penduga variansi �̂ dapat diperoleh dengan menjumlahkan variansi dari ln
̂ dengan
, yaitu ̂[ �̂ ] ∑
Selanjutnya digunakan Metode Delta dengan �̂ , sehingga
diperoleh penduga variansi dari penduga Kaplan Meier yaitu ̂[�̂ ] [�̂ ]
∑ Rumus dari penduga variansi untuk penduga Kaplan Meier sering disebut dengan
formula Greenwood.
Selang kepercayaan bagi �̂ diperoleh dengan mengasumsikan bahwa nilai
penduga dari fungsi ketahanan hidup pada berdistribusi normal dengan rata-rata
� dan standar eror √ ̂[�̂ ] . Dengan demikian diperoleh kuantitas pivot
̂ √ ̂[ ̂ ]
berdistribusi Normal Standar, sehingga menurut persamaan selang kepercayaan untuk
� yang memiliki koefisien kepercayaan sama dengan , yaitu
�̂ � √ ̂[�̂ ]
√ ̂[�̂ ] �̂ � √ ̂[�̂ ]
�̂ √ ̂[�̂ ] � �̂
√ ̂[�̂ ] Jadi, selang kepercayaan
untuk � adalah �̂
√ ̂[�̂ ] � �̂ √ ̂[�̂ ]
Contoh 3.1 Terdapat dua kelompok pasien penderita leukemia di suatu rumah sakit. Setiap
kelompok terdiri dari 21 orang. Kelompok 1 adalah kelompok yang tidak diberi pengobatan sedangkan kelompok 2 adalah kelompok yang diberi pengobatan.
Pengamat ingin mengetahui apakah obat yang diberikan kepada penderita leukema dapat memperlambat kematian dengan melihat ketahanan hidup setelah
23 minggu. Berikut adalah data dari setiap pasien dengan tanda + berarti pasien tersebut tersensor.
Waktu kegagalan kelompok 1 secara berurut adalah 1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 8, 8, 8, 8, 11, 11, 12, 12, 15, 17, 22, 23. Waktu kegagalan pada kelompok 2 secara berurut
adalah 6, 6, 6, 6+, 7, 9+, 10, 10+, 11+, 13, 16, 17+, 19+, 22, 23, 25+, 32+, 32+, 34+, 35+.
Menggunakan rumus penduga Kaplan Meier, yaitu �̂ . Hasil untuk
kelompok 1 dapat dilihat dalam tabel di bawah ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Tabel 3.1 Hasil Perhitungan untuk Kelompok 1
�̂ 21
1 1
21 2
2 19
2 3
17 1
4 16
2 5
14 2
8 12
4 11
8 2
12 6
2 15
4 1
17 3
1 22
2 1
23 1
1
Sedangkan untuk kelompok 2 menggunakan rumus �̂ ∏
. Hasil perhitungan dapat dilihat pada tabel di bawah ini.
Tabel 3.2 Hasil Perhitungan untuk Kelompok 2 �̂
21 1
6 3
21 7
1 17
10 1
15 13
1 12
16 1
11 22
1 7
23 1
6 Dari Tabel 3.1 diketahui bahwa ketahanan hidup penderita leukimia setelah 23
minggu adalah 0, ini artinya adalah kelompok 1 yaitu kelompok yang tidak diberi pengobatan tidak dapat bertahan hidup setelah 23 minggu. Dari Tabel 3.2
diketahui bahwa ketahanan hidup penderita leukimia setelah 23 minggu adalah 0.4482, ini artinya bahwa kelompok 2 yaitu kelompok yang diberi pengobatan
dapat bertahan hidup setelah 23 minggu dengan peluang 0.4482. Kesimpulan yang diperoleh dari hasil perhitungan adalah obat yang diberikan kepada penderita
leukima dapat memperlambat kematian penderita leukemia.
Contoh 3.2 Tentukan selang kepercayaan
bagi � untuk kelompok 1 pada Contoh 3.1 Jawab:
Sebelum mencari selang kepercayaan akan dicari ̂[�̂ ].
Menurut Teorema 3.2, yaitu ̂[�̂ ] [�̂ ]
∑ , maka
̂[�̂ ] [�̂ ] ∑
[ ]
Dari persamaan dapat diperoleh selang kepercayaan bagi � adalah
�̂ √ � �̂ √ �
� Artinya, dengan tingkat kepercayaan
ketahanan hidup pasien penderita leukimia yang tidak diberi pengobatan lebih dari 8 minggu berada pada selang
[ ]. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 3.3 Tentukan selang kepercayaan
bagi � untuk kelompok 2 pada Contoh 3.1
Jawab: Sebelum mencari selang kepercayaan akan dicari
̂[�̂ ]. Menurut Teorema 3.2, yaitu
̂[�̂ ] [�̂ ] ∑
, maka ̂[�̂ ] [�̂ ]
∑
[ ]
Dari persamaan dapat diperoleh selang kepercayaan bagi �
adalah �̂ √ � �̂ √
� �
Artinya, dengan tingkat kepercayaan ketahanan hidup pasien penderita
leukimia yang diberi pengobatan lebih dari 23 minggu berada pada selang [ ].
H. Kurva Ketahanan Hidup Kaplan Meier dengan program R
