̂
̂
̂
̂
Sehingga diperoleh ̂
̂
̂
̂ ̂
̂
F. Metode Kemungkinan Maksimum
Dalam membuktikan penduga Kaplan Meier dibutuhkan Metode Kemungkinan Maksimum. Oleh karena itu perlu dipahami mengenai Metode
Kemungkinan Maksimum. Misalkan terdapat sebuah kotak yang berisi tiga bola dengan kemungkinan warna dari setiap bola adalah putih atau merah, tetapi
jumlah bola yang berwarna putih dan jumlah bola yang berwarna merah tidak diketahui. Pengambilan dua bola secara acak tanpa pengembalian dilakukan. Jika
hasil dari pengambilan tersebut adalah dua bolah merah, maka apakah yang akan menjadi dugaan terbaik tentang jumlah bola merah di dalam kotak? Jelas bahwa
jumlah bola merah yang ada di dalam kotak harus ada dua bola atau tiga bola. Kasus 1: Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih di dalam kotak, maka
probabilitas mengambil dua bola merah secara acak adalah
Kasus 2: Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, maka probabilitas mengambil dua bola merah secara acak adalah
Dari dua kasus di atas dapat disimpulkan bahwa dugaan terbaik tentang jumlah bola merah di dalam kotak adalah terdapat tiga bola merah di dalam kotak
karena kemungkinan mendapatkan dua bola merah lebih tinggi probabilitasnya pada kasus 2 dari pada kasus 1. Dugaan ini memaksimumkan probabilitas
pengamatan sampel. Contoh di atas mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah
penduga yang dapat digunakan dalam situasi apapun. Teknik untuk menemukan PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
sebuah penduga disebut Metode Kemungkinan Maksimum Maximum Likelihood.
Definisi 2.28 Fungsi Kemungkinan Likelihood dari Sampel Misalkan
sampel yang
diambil dari
pengamatan yang
berkorespodensi dengan variabel yang distribusinya bergantung pada
parameter .
merupakan variabel acak diskrit maka Likelihood dari sampel adalah
| | atau
| |
|
.
Definisi 2.29 Metode Kemungkinan Maksimum
Maximum Likelihood Method
Misalkan fungsi Likelihood bergantung pada buah parameter
. Metode kemungkinan maksimum memilih penduga nilai-nilai dari parameter-
parameter sedemikian
sehingga memaksimalkan
fungsi kemungkinan
| .
Contoh 2.26 Sebuah percobaan Binomial terdiri dari
ulangan menghasilkan dengan
berarti ulangan ke- sukses dan berarti ulangan ke- gagal.
Temukan penduga kemungkinan maksimum bagi .
Jawab: Fungsi Kemungkinan dari sampel adalah probabilitas dari
, sehingga |
dengan ∑
Jika maka
dan akan maksimum ketika Jika
maka dan
akan maksimum ketika Sekarang akan dicari penduga kemungkinan maksimum bagi
jika dengan . Agar mempermudah perhitungan maka dilakukan transformasi ln pada
kedua sisi pada persamaan likelihood sehingga diperoleh: [ ] [
] PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Pembuat nol dari persamaan adalah , sehingga diperoleh:
Jadi penduga bagi adalah ̂
G. Metode Delta