C. Fungsi Hazard
Suatu kuantitas dasar yang merupakan dasar dalam analisis ketahanan hidup adalah fungsi
hazard
. Fungsi
hazard
juga dikenal dengan
hazard rate
.
Definisi 3.2 Fungsi
hazard
atau
hazard rate
didefinisikan sebagai probabilitas kegagalan selama interval waktu yang kecil dengan asumsi individu masih bertahan pada
awal interval atau limit dari probabilitas individu gagal pada interval waktu yang kecil
dengan individu masih bertahan sampai waktu . Secara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut:
|
D. Distribusi Waktu Hidup Model Kontinu
Misalkan adalah fungsi probabilitas dan adalah variabel acak kontinu,
maka dapat diperoleh |
� �
�
Dari persamaan diketahui bahwa � dan
� �
Dari persamaan dan , diperoleh
� PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
� �
� �
� �
� �
� Dari persamaan
diperoleh ∫
∫ �
∫ ∫
�
∫ � |
∫ � �
Karena � maka � , sehingga diperoleh
∫ �
�
∫
Persamaan , , dan menunjukkan bahwa apabila fungsi
hazard
diketahui maka fungsi densitas dan fungsi ketahanan hidup � dapat dicari,
begitu pula apabila ataupun � yang diketahui maka fungsi
hazard
dapat dicari. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
E. Distribusi Waktu Hidup Model Diskrit
Misalkan adalah fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas, adalah
banyaknya pengamatan, dan adalah variabel acak diskrit dengan
, ,
, adalah nilai dari
. Fungsi
hazard
untuk variabel acak diskrit adalah |
� dengan
� Dari persamaan
diketahui � berarti �
� atau
� �
Berdasarkan persamaan maka diperoleh
� �
� �
� �
Fungsi ketahanan hidup dapat ditulis sebagai perkalian dari probabilitas bersyarat ketahanan hidup, yaitu
� ∏ �
� Jadi, hubungan antara fungsi ketahanan hidup pada persamaan
dan fungsi
hazard
pada persamaan , yaitu
� ∏[ ]
F. Data Tersensor
Dalam perhitungan menggunakan metode-metode analisis ketahanan hidup diperlukan data atau yang biasa disebut dengan data ketahanan hidup. Bentuk
umum dari data ketahanan hidup adalah mendeskripsikan proses waktu terjadinya suatu kejadian. Bentuk utama dari struktur data ketahanan hidup adalah
penyensoran. Biasanya suatu pengamatan ketahanan hidup mempunyai waktu awal mulai pengamatan dan waktu terakhir pengamatan, sehingga pengamat
hanya dapat mengamati semua kejadian dan mencatat waktu kejadian selama waktu yang sudah ditentukan. Penyensoran terjadi ketika terdapat individu yang
tetap bertahan hidup sampai akhir pengamatan, individu yang hilang dari pengamatan dengan berbagai alasan, atau individu mengikuti pengamatan tidak
dari waktu awal. Penyensoran dibagi menjadi beberapa tipe. Tipe-tipe penyensoran dapat dilihat pada diagram dibawah ini.
Misalkan merupakan banyaknya individu yang akan mengikuti suatu percobaan
dan ,
, ,
merupakan waktu hidup yang dimiliki setiap individu. Penyensoran
Penyensoran Kanan
Penyesoran Tipe I
Penyensoran Acak
Penyensoran Tipe II
Penyensoran Kiri
Penyensoran Interval
1. Penyensoran Kanan
Penyensoran kanan terjadi apabila individu telah memasuki proses pengamatan tetapi hilang dari pengamatan. Waktu kejadian sesungguhnya
terletak di sebelah kanan dari waktu penyensoran sepanjang sumbu waktu. Penyensoran kanan terbagi menjadi tiga tipe, yaitu penyensoran tipe I,
penyensoran acak, dan penyensoran tipe II. a.
Penyensoran Tipe I Penyensoran ini biasanya terjadi dalam aplikasi yang berkaitan dengan mesin.
Setiap individu mulai diamati pada waktu dan mencacat waktu
ketahanan hidup setiap individu sampai mengalami kegagalan. Tidak semua individu akan mempunyai waktu kegagalan yang cepat. Terdapat beberapa
individu yang membutuhkan waktu yang lama agar individu tersebut mengalami kegagalan. Suatu percobaan biasanya memiliki batas waktu untuk
mengamati setiap kejadian yang terjadi pada individu. Hingga batas waktu pengamatan berakhir biasanya ada individu yang belum mengalami
kegagalan dan peneliti tidak ingin menambah waktu pengamatan. Waktu terakhir pengamatan dinotasikan dengan
yang disebut juga waktu penyensoran. Jika banyaknya individu yang masuk dalam percobaan adalah
, maka waktu kegagalan yang harus diamati adalah . Sebagai pengganti dari waktu
yang diamati, akan diobservasi dimana
{ .
b. Penyensoran Acak
Penyensoran acak sering terjadi pada percobaan-percobaan kesehatan. Individu masuk dalam sebuah percobaan pada waktu yang berbeda.
Kemudian masing-masing individu diperlakukan dengan percobaan yang sudah ditetapkan. Setiap individu yang masuk dalam pengamatan akan
diamati waktu kegagalan tetapi penyensoran dapat terjadi selama pengamatan. Kejadian-kejadian yang menyebabkan terjadinya penyensoran
adalah sebagai berikut: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1 Hilang dari pemeriksaan
Loss to Follow Up
Individu meninggalkan pengamatan tanpa diketahui alasannya. Waktu ketahanan hidup individu yang sebenarnya tidak diketahui, yang diketahui
hanya individu bertahan hidup dari tanggal individu masuk dalam pengamatan sampai individu meninggalkan pengamatan.
2 Keluar
Efek buruk yang terjadi dari sebuah percobaan memaksa pemberhentian percobaan atau individu yang menolak untuk melanjutkan percobaan dengan
alasan apapun. 3
Penghentian Pengamatan Penghentian pengamatan terjadi karena individu yang tetap hidup pada akhir
dari pengamatan. Setiap individu yang masuk dalam percobaan mempunyai waktu hidup
dan waktu sensor
. Pada setiap individu didapat pasangan pengamatan dimana
dan {
. Gambar berikut akan memperjelas pemahaman mengenai penyensoran tipe I
dan penyensoran acak. Pada gambar terdapat enam individu yang masuk ke dalam pengamatan. Tanda “x” berarti kegagalan yang terjadi adalah
kematian. Tanda “+” berarti penyensoran kanan.
6 5
4 3
2 1
x
x +
+ +
+ Waktu Awal
Pengamatan Waktu Terakhir
Pengamatan
Angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 menyatakan individu. Dua garis tegak menyatakan waktu awal pengamatan dan waktu terakhir pengamatan. Individu 1 masuk ke
dalam pengamatan mulai dari waktu awal pengamatan dan meninggal sebelum waktu terakhir pengamatan. Jadi waktu hidup untuk individu 1, yaitu
dihitung dari waktu awal pengamatan sampai waktu individu meninggal. Individu 2 masuk ke dalam pengamatan mulai dari waktu awal pengamatan
dan individu belum meninggal sampai akhir pengamatan. Dalam kasus ini, individu 2 termasuk ke dalam penyensoran tipe I. Jadi waktu sensor individu
2, yaitu adalah waktu terakhir pengamatan. Individu 3 masuk ke dalam
percobaan tidak mulai dari waktu awal dan meninggal sebelum pengamatan berakhir. Dalam kasus ini, individu 3 termasuk dalam penyensoran acak. Jadi
waktu sensor individu 3, yaitu adalah jarak waktu dari individu masuk ke
dalam pengamatan sampai individu meninggal. Sama halnya dengan individu 3, individu 4 masuk ke dalam percobaan tidak mulai dari waktu awal
pengamatan. Namun, individu 4 belum meninggal sampai waktu terakhir pengamatan. Dalam kasus ini, individu 4 termasuk dalam penyensoran acak.
Jadi, waktu sensor individu 4, yaitu adalah jarak waktu dari individu
masuk ke dalam pengamatan sampai waktu terakhir pengamatan. Individu 5 dan individu 6 memiliki kasus yang sama, yaitu hilang dari pengamatan.
Perbedaannya adalah individu 5 masuk ke dalam pengamatan mulai dari awal pengamatan, sedangkan individu 6 tidak masuk ke dalam pengamatan mulai
dari awal. Dalam kasus ini, individu 5 dan individu 6 termasuk dalam penyensoran acak. Waktu sensor individu 5, yaitu
adalah jarak waktu dari awal pengamatan sampai individu hilang dari pengamatan. Waktu sensor
individu 6, yaitu adalah jarak waktu dari individu masuk dalam
pengamatan sampai individu hilang dari pengamatan.
c. Penyensoran Tipe II
Sama seperti penyensoran Tipe I, pengamatan dimulai pada waktu .
Misalkan menunjukkan nilai yang telah diurut dari sampel
acak . Pengamatan akan berakhir sesudah kegagalan ke-
terjadi. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Misalnya dipilih , sehingga pada umumnya akan terdapat
waktu kegagalan. Namun pada penyensoran ini, pengamatan berkahir pada saat waktu kegagalan dari kegagalan ke-
terjadi. Jadi, pada percobaan hanya akan diamati
pengamatan dalam sampel acak dari item. Pada penyensoran ini pengamatan mungkin saja akan membutuhkan waktu yang
lama karena harus menunggu sampai kegagalan ke- terjadi. Namun
pengamatan juga dapat berakhir cepat apabila kegagalan ke- terjadi sangat
cepat. Misalkan adalah waktu pengamatan berakhir pada saat kegagalan
ke- terjadi. Semua individu yang masih bertahan sampai waktu
memiliki waktu sensor yaitu . Secara umum penyensoran ini
diilustrasikan sebagai berikut:
2. Penyensoran Kiri
Penyensoran kiri sering terjadi sering terjadi pada pengamatan yang melibatkan dua tahap pengamatan yang berbeda. Individu yang masuk pada
proses pengamatan pertama tetapi tidak memenuhi syarat untuk masuk ke tahap kedua dipandang sebagai tersensor kiri. Misalkan sebuah pengamatan
berjudul “Inisiasi Penggunaan Alat Kontrasepsi Pertama Kali Sesudah Menikah”. Pasangan yang mengikuti pengamatan tetapi telah menggunakan
alat kontrasepsi sebelum menikah maka data dari pasangan tersebut tersensor kiri. Contoh lainnya adalah misalkan pengamatan dilakukan pada sebuah
Sekolah Menengah Atas yang berjudul “Pemakaian Ganja Pertama Kali Selama Masa Sekolah Menengah Atas”. Seorang anak SMA yang mengikuti
pengamatan telah memakai ganja tetapi anak tersebut tidak mengingat waktu pertama memakai ganja maka data dari anak tersebut tersensor kiri.
3. Penyensoran Interval
Pada penyensoran interval waktu hidup hanya terjadi pada suatu interval.
Setiap waktu hidup individu, yaitu jatuh dalam interval
] yang merepresentasikan interval waktu dengan
merupakan batas bawah waktu penyensoran dan
merupakan batas atas waktu penyensoran. Misalkan individu ke-
memperlihatkan gejala kegagalan pada waktu pemeriksaan pertama maka
dan adalah waktu pemeriksaan selanjutnya. Jika
individu tidak memperlihatkan gejala kegagalan sampai waktu pemeriksaan ke-
tetapi menunjukkan gejala kegagalan pada waktu ke- maka adalah waktu pemeriksaan ke-
dan adalah waktu pemeriksaan ke-
. Jika individu tidak menunjukkan gejala kegagalan sampai waktu pemeriksaan
terakhir maka adalah waktu pemeriksaan terakhir dan
. Waktu ketahanan hidup pada penyensoran interval biasa ditetapkan, misalnya waktu
tengah dari interval waktu.
G. Penduga Fungsi Ketahanan Hidup dengan Metode Kaplan Meier
Kategori