Nilai adalah 2, 3, atau 4.
B. Distribusi Probabilitas
1. Distribusi Probabilitas Diskrit
Definisi 2.6 Himpunan pasangan terurut
adalah fungsi probabilitas atau distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit jika untuk setiap kemungkinan nilai
: 1.
2. ∑
Contoh 2.4 Sebuah sekolah mempunyai lima pemain basket putri dan lima pemain basket
putra. Sekolah harus memilih dua orang secara acak yang akan dikirim untuk mengikuti pelatihan khusus di tingkat provinsi.
adalah banyaknya pemain basket putri yang terpilih. Tentukan distribusi probabilitas dari
. Jawab:
: banyaknya pemain basket putri yang terpilih. Sekolah hanya akan memilih dua orang, sehingga kemungkinan nilai
adalah 0 , 1, atau 2.
�
{ } { }
{ } { }
3 4
Definisi 2.7 Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak
yang fungsi probabilitasnya adalah
∑ , untuk
. Contoh 2.5
Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak pada Contoh 2.4.
Jawab: Dari Contoh 2.4
diperoleh ,
, . Selanjutnya akan
dicari , , .
, ,
, sehingga
{
Contoh-contoh distribusi probabilitas diskrit adalah Distribusi Binomial, Distribusi Geometrik, Distribusi Hipergeometrik, dan Distribusi Poisson.
Selanjutnya akan dibahas mengenai Distribusi Binomial. Definisi 2.8
Proses percobaan Binomial memiliki sifat sebagai berikut:
1. Percobaan terdiri dari ulangan yang identik.
2. Setiap ulangan menghasilkan satu dari dua hasil, yaitu sukses S atau gagal
G. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3. Probabilitas sukses pada sebuah ulangan adalah dan tetap sama untuk
ulangan-ulangan lainnya. Probabilitas gagal dari ulangan tersebut adalah .
4. Ulangan-ulangan bersifat saling bebas.
5. Variabel acak adalah banyaknya ulangan sukses yang teramati selama
ulangan. Contoh 2.6
Sistem deteksi peringatan dini untuk pesawat terdiri dari 4 unit radar identik yang
beroperasi secara independen saling bebas satu sama lain. Setiap unit radar memiliki peluang
untuk mendeteksi adanya ganguan pada pesawat. Ketika pesawat beroperasi, variabel acak
adalah banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi gangguan. Apakah ini termasuk percobaan binomial?
Jawab: Apabila soal di atas termasuk percobaan binomial maka percobaan harus
memenuhi sifat-sifat yang ada pada Definisi 2.8. Lebih lanjut, karena variabel acak
adalah banyaknya unit radar yang tidak mendeteksi gangguan maka pada kasus ini percobaan dikatakan sukses apabila radar tidak dapat mendeteksi.
Sifat 1 : Jelas bahwa percobaan terdiri dari 4 ulangan yang identik. Sifat 2 : Setiap ulangan hanya akan menghasilkan satu dari hasil, yaitu radar tidak
dapat mendeteksi atau radar dapat mendeteksi. Sifat 3 : Setiap ulangan memiliki peluang sukses yang sama, yaitu
. Sifat 4 : Ulangan-ulangan bersifat saling bebas karena setiap unit bekerja secara
independen satu sama lain. Sifat 5 : Variabel acak
adalah banyaknya sukses dalam 4 ulangan.
Definisi 2.9 Variabel acak
dikatakan berdistribusi Binomial pada ulangan dengan probabilitas sukses
jika dan hanya jika PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Contoh 2.7 Terdapat 5000 bola lampu yang
diantaranya cacat. Jika diambil sampel sebanyak 5 bola lampu untuk di tes. Tentukan probabilitas banyaknya bola lampu
yang rusak paling sedikit satu. Jawab:
: banyaknya bola lampu yang rusak. Dari soal diketahui bahwa dari bola lampu rusak, berarti terdapat 250 bola lampu yang rusak.
dan . .
2. Distribusi Probabilitas Kontinu
Definisi 2.10 Fungsi
adalah fungsi probabilitas densitas untuk variabel acak kontinu , jika
1. , untuk semua .
2. ∫
. Contoh 2.8
Misalkan kesalahan dalam pengiriman pada suatu perusahaan pengiriman adalah
variabel acak kontinu yang memiliki fungsi probabilitas densitas
{
Buktikan adalah fungsi probabilitas densitas.
Jawab: Akan dibuktikan
memenuhi Definisi 2.10 1.
jelas terlihat dari definisi . 2.
∫ ∫
| Jadi, terbukti
adalah fungsi probabilitas densitas. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.11 Fungsi distribusi kumulatif
dari variabel acak kontinu dengan fungsi densitas
adalah ∫
, untuk . Akibat dari Definisi 2.11
dan jika turunannya ada.
Contoh 2.9 Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari Contoh 2.8 dan tentukan
Untuk ∫
Untuk ∫
∫ Untuk
∫ ∫
∫ Jadi,
{
Sekarang .
Contoh distribusi probabilitas kontinu adalah Distribusi Normal, Distribusi Gamma, Distribusi Eksponensial, dan Distribusi Chi-square. Selanjutnya akan
dibahas mengenai Distribusi Normal. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Definisi 2.12 Variabel acak
dikatakan berdistribusi normal jika dan hanya jika untuk dan
, fungsi densitas dari adalah √
3. Nilai Harapan
Definisi 2.13 Misalkan
adalah variabel acak. Nilai harapan dari , dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai
{ ∑
∫
Contoh 2.10 Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.4
Jawab: .
Contoh 2.11 Tentukan nilai harapan dari Contoh 2.8
∫ ∫
Teorema 2.1 Jika
adalah variabel acak diskrit dengan distribusi probabilitas dan ,
, , adalah fungsi dari maka
[ ] [
] [ ] [
]. Bukti:
[ ] ∑
∑[
] ∑
∑ ∑
[ ] [
] [ ]
Teorema 2.2 Jika
adalah variabel acak kontinu dengan distribusi probabilitas dan ,
, , adalah fungsi dari maka
[ ] [
] [ ] [
]. Bukti:
[ ] ∫
∫[ ]
∫ ∫
∫ [
] [ ] [
] Teorema 2.3
Diberikan suatu konstanta tak nol , maka
Bukti: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Kasus 1: untuk variabel acak diskrit ∑
∑ Kasus 2: untuk variabel acak kontinu
∫ ∫
Jadi terbukti .
Teorema 2.4 Diberikan suatu konstanta tak nol
, maka . Bukti:
Kasus 1: untuk variabel acak diskrit ∑
∑ Kasus 2: untuk variabel acak kontinu
∫ ∫
Jadi terbukti .
Teorema 2.5 Diberikan konstanta tak nol
dan , maka . Bukti:
Kasus 1: untuk variabel acak diskrit ∑
∑
∑ ∑
∑ ∑
Kasus 2: untuk variabel acak kontinu ∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
Jadi terbukti .
Teorema 2.6 Jika
adalah variabel acak binomial pada ulangan dan adalah probabilitas sukses, maka
Bukti: Akan dibuktikan
Dari Definisi 2.13 ∑
Karena jumlahan pertama adalah 0 dan menurut Definisi 2.9 diperoleh ∑
∑
∑
∑ PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Misal , sehingga
∑
∑ Karena
∑ , maka
4. Variansi
Definisi 2.14 Misalkan
adalah variabel acak dengan . Variansi dari variabel acak didefinisikan sebagai nilai harapan dari
, yaitu [
] Standar deviasi dari
, dinotasikan adalah akar kuadrat positif dari . Teorema 2.7
Jika adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas dan rata-rata
maka [
] .
Bukti: [
] [
] [
] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
Contoh 2.12 Tentukan standar deviasi dari Contoh 2.4
Jawab: Diketahui dari Contoh 2.10 bahwa
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
[ ]
√ . Contoh 2.13
Tentukan variansi dari Contoh 2.8
Jawab: Dari Contoh 2.11 diketahui
∫ ∫
[ ] Teorema 2.8
Diberikan konstanta tak nol , maka
. Bukti:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [
] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Teorema 2.9 Diberikan konstanta tak nol
, maka . PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti: [
] [
] [
] [
] [
]
Teorema 2.10 Jika
adalah variabel acak binomial pada percobaan dan adalah probabilitas sukses, maka
Akan dibuktikan Diketahui dari Teorema 2.7 bahwa
Selanjutnya akan dicari , yaitu
∑
∑
∑
Dari bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa mencari adalah sulit karena
bukanlah faktor dari . Oleh karena itu
dapat diperoleh dari [ ]
Langkah selanjutnya akan dicari [ ].
[ ] ∑
∑
∑
Jumlahan saat dan adalah nol, sehingga diperoleh
[ ] ∑
∑
∑ Misal
, diperoleh [ ]
∑
Karena ∑
, maka [ ]
Sehingga diperoleh [ ]
Jadi diperoleh PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5. Momen dan Fungsi Pembangkit Momen
Definisi 2.15
Momen ke- dari variabel acak di sekitar titik asal didefinisikan
dan dinotasikan dengan
. Definisi 2.16
Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak didefinisikan
. Fungsi pembangkit momen dikatakan ada jika ada sebuah konstanta positif
sehingga berhingga untuk | | . Teorema 2.11
Jika ada, maka untuk setiap bilangan bulat positif ,
| Bukti:
atau adalah turunan ke- dari terhadap . Karena
Sehingga
Secara umum,
Saat , maka
dan , sehingga secara umum
Contoh 2.14 Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Binomial.
Jawab: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∑ ∑
∑ ∑
. Jadi, fungsi pembangkit momen bagi Distribusi Binomial adalah
.
Contoh 2.15 Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal.
Jawab: ∫
√ Misal
maka dan , sehingga diperoleh ∫
√ ∫
√ ∫
√ ∫
√
Karena maka
∫ √
[ ]
∫ √
[ ]
∫ √
Karena ∫
√
dengan variansi dan rata-rata
, maka
Teorema 2.12 Jika
berdistribusi normal dengan parameter dan maka dan
. Bukti:
Pembuktian nilai harapan dan variansi dari Distribusi Normal dibuktikan menggunakan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal.
Dari Definisi 2.15 dan Teorema 2.11, diperoleh
|
|
Akan dibuktikan . Diketahui dari Teorema 2.7
| PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
| |
Sehingga diperoleh
Contoh 2.16 Misalkan
dengan adalah variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata
dan variansi . Tentukan fungsi pembangkit momen bagi
. Jawab:
Misal maka
[ ]
[ ]
∫ √
Misal maka dan , sehingga
∫ √
∫ √
∫ √
Menambahkan pada pangkat dari eksponen, sehingga
∫ √
∫ √
∫ √
∫ √
Karena ∫
√
dengan variansi dan rata-rata
, maka
6. Metode Fungsi Pembangkit Momen
Metode fungsi pembangkit momen dapat digunakan untuk menentukan fungsi probabilitas.
Teorema 2.13 Teorema Ketunggalan Misalkan
dan adalah fungsi pembangkit momen dari variabel acak
dan . Jika kedua fungsi pembangkit momen ada dan untuk
semua nilai dari , maka dan mempunyai distribusi probabilitas sama.
Bukti: Julie, H. 1999.
Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya
. Skripsi Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan
menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu dengan
adalah bilangan kompleks. Perhatikan bahwa fungsi pembangkit momen FPM adalah bentuk khusus dari
fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukkan bahwa bila dan
adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama, yaitu PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
∫ ∫
Maka Skripsi halaman 54.
Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
Contoh 2.17 Misalkan
adalah variabel yang berdistribusi normal dengan rata-rata dan variansi
. Buktikan bahwa berdistribusi normal standar, yaitu
berdistribusi normal dengan dan
. Jawab:
Misal dan berdistribusi normal maka
[ ]
[ ]
[ ]
akan sama dengan fungsi pembangkit momen dari Distribusi Normal apabila
dan , sehingga menurut Teorema 2.13 berdistribusi normal
standar dengan dan
. Teorema 2.14
Misalkan adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi
pembangkit momen . Jika
, maka
Bukti: PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
C. Distribusi Probabilitas Multivariat
Kategori