N
1
+ N
2
= N, K
1
+ K
2
= K. 3.1.10
3.2 Ekuilibrium Sistem Dinamik
Sekarang akan dikaitkan syarat bagi keberadaan ekuilibrium dari sistem dinamik, yakni persamaan diferensial 3.1.8 dan 3.1.6. Saat ekuilibrium
j j
dk k
dt dan
dZ dt
, sehingga dari 3.1.8 dan 3.1.6 didapatkan
,
j j
j
k
1 2
1 1 2
2
,
z
F F
Z Z
Z
j = 1, 2. 3.2.1
Dengan mensubstitusikan
j j
j
k
dari persamaan 3.2.1 ke persamaan 3.1.5 menghasilkan
, .
j j
j j
j j
k c
s k
3.2.2 Persamaan tersebut menjelaskan bahwa saat ekuilibrium, tingkat konsumsi per
kapita di daerah ke-j adalah proporsional dengan tingkat cadangan modal per kapita. Persamaan 3.2.2 merupakan koreksi dari solusi yang diberikan oleh
Zhang 2005 yang menyatakan bahwa
j j
s dk
dengan 1
.
k
d Untuk
selanjutnya bagian yang dikoreksi tidak akan disebutkan dalam bab ini, akan tetapi dapat dilihat pada Lampiran 6.
Dengan mensubstitusikan persamaan 3.2.2 ke dalam fungsi utilitas 3.1.4 dan kemudian menggunakan persamaan 3.1.7 diperoleh
2 1
1 2
2 1
2 1
2 1
. k
A A
k A
3.2.3
Keseimbangan balance dari permintaan demand dan penawaran supply diberikan oleh
1 1
1 2
2 2
k N k N =
1 2
F F
3.2.4 dengan
, 1, 2.
j j
k j
j
Dari
j j
j
k
dalam persamaan 3.2.1 dan 3.1.3 dan definisi
j
, diperoleh
.
, 1, 2.
j j
j
w r k
j
3.2.5 Oleh persamaan 3.1.1 dan 3.1.2 didapatkan
1 2
1 2
1 2
, ,
Z .
Z Z
j j
j
m j
j m
m m
j j
m j
K K
K r
w N Z
N Z N
K N
Jika dinotasikan Z
j
j m
j
K N
maka persamaan di atas dapat ditulis
, .
j
m j
r w
Z
3.2.6 Dengan
mensubstitusikan
j j
j
rK K
F ke
persamaan 3.2.4
menghasilkan
1 1
1 2
2 2
k N k N =
K
3.2.7 dengan K = K
1
+ K
2
. Dengan mensubstitusikan persamaan 3.1.9 dan 3.2.3 ke persamaan 3.2.7 menghasilkan
1 2
2 1
1 .
1 N
N A
dengan mendefinisikan
2 1
N N
maka
2 1
1 1
A 3.2.8
dan karena
1 2
N N
N maka dapat ditulis
1 2
, .
1 1
N N
N N
3.2.9 Dengan membagi persamaan pertama dalam persamaan 3.2.5 oleh
persamaan kedua kemudian menggunakan persamaan 3.2.3 dan persamaan 3.2.6 ditemukan:
1 2
m
Z A
3.2.10 di mana
1 2
. m
m m
Dari persamaan pertama pada persamaan 3.2.6 dan
j j
K F
, diperoleh ,
.
j j
m m
j j
j j
K N Z
F N Z
3.2.11 Dengan mensubstitusikan F
j
dalam persamaan 3.2.11 ke persamaan kedua dalam persamaan 3.2.1 didapatkan
1 2
1 2
1 1
1 2
0. 1
1
m m
z
N Z NZ
3.2.12 Dalam persamaan 3.2.12,
dan Z adalah fungsi dari yang masing-masing
didefinisikan oleh persamaan 3.2.8 dan persamaan 3.2.10, oleh karena itu bisa dinotasikan
1
1 1
1
x
N Z ,
2
2 2
1
x
NZ dan
1 2
z
dengan 1,
1, 2,
j j
j
m x
j sehingga untuk selanjutnya persamaan
3.2.12 di atas ditulis
1 2
0.
z
3.2.13
Syarat Fisibilitas
Agar solusi model di atas fisibel saat ekuilibrium, maka: 1 w
j
1 2
maks ,
3.2.14
2
1 2
N N
1 2
1 2
1 1
untuk kasus
atau
1 2
1 2
1 1
untuk kasus
3.2.15 3
Z , telah dijamin oleh syarat 3.2.14.
lihat Lampiran 3.
Dalam tulisan ini akan dibahas untuk kasus
1 2
untuk kasus
1 2
, tinggal dibalik daerah ke-2 dijadikan daerah ke-1, sehingga syarat fisibilitasnya
menjadi:
1 2
2
maks ,
dan
1 2
1 1
,
sehingga ada dua kemungkinan, yakni:
1
2 1
2
1 1
yang berarti bahwa
2 2
1
3.2.16
2
1 2
2
1 1
yang berarti bahwa
2 2
1
3.2.17 Dengan memperhatikan syarat 3.2.16, persamaan 3.2.13, 3.2.8 dan
3.2.10, fungsi mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
2
1 2
2 1
2 2
1 ,
x m
z
A N
1 1
1
1 1
1 1
1 tak terdefinisi, lim
lim ,
1
x z
N Z
1 1
2 2
1 2
1 2
, 1
x x
d dZ
d d
Z d
d
dengan
2 1
2 1
1 2
2 1
0, 0.
1 1
dZ Z
m d
d d
Sebagaimana sulit untuk menilai secara eksplisit tanda dari
1 1
1
lim ,
1 2
1 dan
d d
, juga sulit untuk menilai apakah persamaan = 0
mempunyai solusi. Oleh karena itu terlebih dahulu harus diselesaikan dengan nilai
spesifik dari beberapa parameter. Sebagai contoh, jika
1 2
1 0 yang dijamin,
misalnya jika
2
besar,
1 1
1
lim 0 yang dijamin, misalnya jika
1
kecil,
dan
d d
0 misalnya jika m 0, x
1
0 dan x
2
0, maka sistem dinamik mempunyai sebuah ekuilibrium.
Dari pembahasan di atas didapatkan proposisi berikut:
Proposisi 1 . Asumsikan
m dan
2 2
1
. Jika persamaan 3.2.13 mempunyai solusi untuk
1 2
1 1
maka sistem dinamik mempunyai solusi ekuilibrium. Banyaknya economic equilibrium sama dengan banyaknya solusi dari
persamaan 3.2.13. Dengan cara yang serupa didapatkan proposisi berikut
Proposisi 2. Asumsikan
m dan
2 2
1
. Jika persamaan 3.2.13 mempunyai solusi untuk
2 2
1
maka sistem dinamik mempunyai solusi ekuilibrium. Banyaknya economic equilibrium sama dengan banyaknya solusi dari
persamaan 3.2.13. Karena sulitnya menentukan kondisi bahwa persamaan 3.2.13 mempunyai
solusi yang bermakna, sebagai ilustrasi akan dianalisis kasus m = 0 dan
2 2
1
. Dari persamaan 3.2.10, diperoleh
1 2
1 .
A A
3.2.18 Solusi tunggal
adalah positif dan memenuhi 3.2.16 jika
2 1
2 1
1 2
min ,
1. A
3.2.19 Di bawah syarat 3.2.19, diselesaikan
dengan persamaan 3.2.18. Dengan persamaan 3.2.8 dapat ditentukan
. Perlu dicatat bahwa untuk kasus
m = 0, nilai dan
bebas terhadap Z. Cara yang sama dengan persamaan 3.2.13, diperoleh
01 02
0,
z
Z Z
Z Z
3.2.20 di mana
1 2
1 2
01 02
, .
1 1
x x
N Z NZ
Z Z
Perlu dicatat bahwa dalam
01
Z dan
02
, Z
dan diperlakukan
sebagai parameter, sehingga persamaan 3.2.20 memuat satu variabel, yakni Z.
Akibat 1 Jika m = 0,
2 2
1
dan 3.2.19 terpenuhi, maka: 1
jika x
j
0, j = 1, 2, sistem memiliki ekuilibrium tunggal; 2
jika x
j
0, j =1, 2 sistem memiliki ekuilibrium tunggal; 3
jika x
j
, j =1, 2 berbeda tanda, sistem memiliki satu titik ekuilibrium, atau dua titik ekuilibrium atau tidak memiliki
titik ekuilibrium. Bukti:
Persamaan 3.2.20 jika didiferensialkan terhadap Z diperoleh
1 2
1 1
1 1 2 2
1 1
x x
d x
N Z x
NZ dZ
. 1 Kasus x
j
1 2
1 2
lim lim
1 1
x x
z Z
Z
N Z NZ
Z
1 2
1 2
lim 0.
1 1
z x
x Z
N N
Z Z
3.2.21
1 2
1 2
lim lim
1 1
x x
z Z
Z
N Z NZ
Z
1 2
1 2
lim 0.
1 1
z x
x Z
N N
Z Z
3.2.22
0. d
dZ
3.2.23
Dari pertidaksamaan 3.2.21, 3.2.22, dan 3.2.23 dapat disimpulkan bahwa fungsi
Z adalah fungsi turun pada 0
Z yang memotong sumbu
Z tepat satu kali, sehingga ada satu titik ekuilibrium. 2 Kasus x
j
Dengan cara yang serupa dengan kasus 1, diperoleh
lim
Z
Z
0,
lim 0,
0,
Z
d Z
Z dZ
, sehingga bisa disimpulkan bahwa fungsi Z
adalah fungsi naik pada 0 Z
yang memotong sumbu Z tepat satu kali, sehingga ada satu titik ekuilibrium.
3 Kasus x
j
berbeda tanda, yakni x
1
0 dan x
2
0 atau x
1
0 dan x
2
Dengan cara yang serupa dengan kasus 1, diperoleh
lim
Z
Z
0,
lim 0,
Z
Z d
dZ
bisa positif, negatif atau 0, dan
d dZ
memiliki solusi tunggal pada
, Z
yakni
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 1
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
1 1
1 1 2 2
1 1 1
2 2 1
2 2 1 1
1 2 2
1 1
1 1
.
x x
x x
x x
x x
x x
x x
d dZ
x N Z
x NZ
N x
Z x
Z x
Z x
Z x
Z x
Z x
Z x
x Z
x Dengan demikian tidak dapat ditentukan keberadaan titik ekuilibrium sistem
dinamik untuk kasus x
j
berbeda tanda, yakni bisa terdapat satu titik ekuilibrium, dua titik ekuilibrium atau tidak terdapat titik ekuilibrium, bergantung kepada
jumlah titik potong fungsi Z terhadap sumbu Z.
Gambar 1, 2, dan 3 berikut memberikan ilustrasi banyaknya titik ekuilibrium dari sistem dinamik sesuai dengan Akibat 1.
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.005 0.005
Gambar 1 Keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk x
j
negatif.
0.5 1.0
1.5 2.0
2.5
0.015 0.010
0.005 0.005
0.010 0.015
Gambar 2 Keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk x
j
positif.
satu titik ekuilibrium x
1
0, x
2
Z
Z
satu titik ekuilibrium x
1
0, x
2
Z
Z
0.002 0.004
0.006 0.008
0.010 0.012
0.014 Z
0.1 0.2
0.3 0.4
0 Z
0.002 0.004
0.006 0.008
0.010 0.012
0.014 Z
0.05 0.05
0.10 0.15
0.20 0 Z
0.002 0.004
0.006 0.008
0.010 0.012
0.014 Z
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0 Z
Gambar 3 Keberadaan titik ekuilibrium sistem dinamik untuk x
j
berbeda tanda; a memiliki satu titik ekuilibrium, b memiliki dua titik
ekuilibrium, c tidak memiliki titik ekuilibrium.
Dalam kasus m = 0,
2 2
1
, dan 3.2.19 terpenuhi, nilai ekuilibrium dari peubah-peubah sistem dinamik diberikan melalui langkah berikut:
1 diselesaikan dengan persamaan 3.2.18;
2 diselesaikan dengan persamaan 3.2.8;
3
, 1, 2
j
N j
diselesaikan dengan persamaan 3.2.9; 4
Z
diselesaikan dengan persamaan 3.2.20; 5 r, w
j
dan K
j
diselesaikan dengan persamaan 3.2.6; 6 K diselesaikan dengan persamaan 3.1.10;
7 k
j
diselesaikan dengan persamaan 3.2.5; b
a
c
8 c
j
dan s
j
diselesaikan dengan persamaan 3.2.2; 9 F
j
diselesaikan dengan persamaan 3.1.1; 10 y
j
diselesaikan dengan persamaan 3.2.3; 11 U
j
diselesaikan dengan persamaan 3.1.4. Persyaratan m = 0, berarti bahwa kedua daerah memiliki tingkat penggunaan
knowledge yang sama. Syarat
2 1
yakni
2 1
berarti bahwa kecenderungan daerah kedua untuk mendapatkan kekayaan lebih tinggi dibandingkan dengan
daerah pertama. Syarat
2 2
1
mengakibatkan bahwa perbedaan prioritas antara dua daerah tidaklah besar. Karena m
j
adalah efisiensi penggunaan knowledge daerah ke-j dan
j
menyatakan return terhadap pengaruh skala dari knowledge dalam akumulasi knowledge, x
j
bisa diinterpretasikan sebagai ukuran return terhadap pengaruh skala dari knowledge di daerah ke-j. Syarat x
j
0, j = 1, 2, bisa diinterpretasikan bahwa dua daerah menunjukkan kelemahan return
terhadap pengaruh skala dari knowledge. Syarat x
j
0, j = 1, 2, menyatakan bahwa kedua daerah memperlihatkan kekuatan return terhadap pengaruh skala
dari knowledge.
3.3 Efek Perubahan Beberapa Parameter dalam Struktur Ekonomi
Kategori