D. Probabilitas Tidak Saling Bebas
Dua peristiwa atau lebih dikatakan peristiwa tidak saling bebas apabila terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau dipengaruhi terjadinya peristiwa yang
lainnya.Untuk dua peristiwa A dan B yang tidak saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
Pr .
Pr Pr
A B
A B
A =
∩
Sedangkan untuk tiga peristiwa yang saling bebas, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
Pr Pr
. Pr
Pr B
A C
A B
A C
B A
∩ =
∩ ∩
E. Probabilitas Bersyarat
Peristiwa bersyarat merupakan suatu peristiwa yang akan terjadi dengan syarat peristiwa lain telah terjadi. Jika peristiwa B bersyarat terhadap peristiwa A, maka
probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah :
Pr Pr
Pr
A A
B A
B ∩
=
F. Probabilitas Komplementer
Peristiwa komplementer adalah peristiwa yang saling melengkapi. Jika peristiwa A komplementer terhadap peristiwa B, maka probabilitas peristiwa tersebut
adalah :
1 =
+
Pr Pr
B A
Universitas Sumatera Utara
Yang juga berarti bahwa :
Pr Pr
B A
− = 1
Pr 1
Pr A
B −
= .
2.5 Teorema Bayes
Misalkan S adalah Ruang sampel dari kejadian.
n
B B
B ,...,
,
2 1
adalah kejadian didalam S dimana
n
B B
B ,...,
,
2 1
adalah kejadian saling lepas dan membentuk partisi didalam S
Jika
n
B B
B ,...,
,
2 1
membentuk partisi dalam S dan A adalah peristiwa lain dalam S maka
n
B A
B A
B A
B A
∩ ∩
∩ ∩
,..., ,
,
3 2
1
akan membentuk partisi sehingga :
n
B A
B A
B A
B A
A ∩
∩ ∪
∩ ∪
∩ =
,...,
3 2
1
2.2 Karena kejadian-kejadian secara eksklusif secara bersama-sama maka :
n
B A
P B
A P
B A
P B
A P
A P
∩ +
+ ∩
+ ∩
+ ∩
= ...
3 2
1 n
n
B A
P B
P B
A P
B P
B A
P B
P A
P ...
2 2
1 1
+ +
+ =
j n
i j
j
B A
P B
P A
P
∑
=
=
2.3 Dengan demikian akan didapat :
A P
B A
P A
B P
i i
∩ =
A P
B P
B A
P
i i
=
Universitas Sumatera Utara
n n
i i
B A
P B
P B
A P
B P
B a
P B
P B
P B
A P
....
2 2
1 1
+ +
=
Sehingga :
∑
=
=
n j
j j
i i
i
B A
P B
P B
P B
A P
A B
P
1
2.4
Jika ,
i
A i = 1,2,...,n maka peluang kondisional
n
A dengan syarat
1 2
1
,..., ,
− n
A A
A telah terjadi sebelumnya ialah :
1 2
1 2
1 1
2 1
,...., ,
... ,...,
,
− −
∩ ∩
=
n n
n n
A A
A P
A A
A P
A A
A A
P
atau dapat ditulis juga :
1 2
1 2
1 3
1 2
1 2
1
... ...
,...,
−
∩ ∩
∩ =
∩ ∩
n n
n
A A
A A
P A
A A
P A
A P
A P
A A
A P
2.5 Sifat yang paling mendasar adalah bahwa tiap-tiap barisan kejadian merupakan
kejadian yang hanya tergantung pada kejadian sebelumnya yaitu
1 +
j
A
tergantung pada
j
A akan tetapi
1 +
j
A tidak tergantung pada
1 2
1
,..., ,
A A
A
j j
− −
maka persamaan ini dengan asumsi diatas dapat disederhanakan menjadi
1 2
3 1
2 1
2 1
.... ,...,
−
= ∩
∩
n n
n
A A
P A
A P
A A
P A
P A
A A
P 2.6
Universitas Sumatera Utara
2.6 Rantai Markov
2.6.1 Definisi Rantai Markov
Rantai Markov sebenarnya merupakan bentuk khusus dari model probabilitas yang melibatkan waktu dan lebih dikenal sebagai proses Stokastik. Rantai
Markov merupakan proses Stokastik dari variabel-variabel acak
{ }
... ,
, ,
; 3
2 1
= t
X
t
yang membentuk suatu deret dan memenuhi sifat Markov.
2.6.2 Sifat Markov
Dalam sifat Markov, jika diberikan kejadian - kejadian yang telah berlalu past states
1 2
1 −
t
X X
X X
,..., ,
, dan kejadian yang sedang berlangsung present state
t
X , maka kejadian yang akan datang future state
1 +
t
X bersifat bebas
independen dari kejadian-kejadian yang telah berlalu past state
1 2
1 −
t
X X
X X
,..., ,
, . Artinya kejadian yang akan datang future state
1 +
t
X hanya
bergantung pada kejadian yang sedang berlangsung present state
t
X . Untuk suatu pengamatan yang prosesnya sampai waktu ke t, maka
distribusi nilai proses dari waktu ke 1
+ t
hanya bergantung pada nilai dari proses pada waktu t.
Secara umum dapat dituliskan :
Pr ,
,..., ,
Pr j
X i
X j
X j
X j
X j
X i
X
t t
t t
t t
t
= =
= =
= =
= =
+ −
− +
1 1
1 1
1 1
2.7
2.6.3 Asumsi – asumsi Dasar Rantai Markov
Penggunaan rantai Markov terhadap suatu masalah memerlukan pemahaman tentang tiga keadaan yaitu keadaan awal, keadaan transisi dan keadaan
setimbangnya. Dari tiga keadaan di atas, keadaan transisi merupakan yang
Universitas Sumatera Utara
Kategori