26
ada lagi yang bernilai negatif untuk kasus minimasi berarti sudah optimal. Jika kriteria belum terpenuhi, diulangi dari langkah 3.
2.5 Algoritma Titik Interior
Titik interior merupakan titik-titik yang beradadi dalam daerah layak. ada dua langkah yang diperlukan dari metode titik interior, yaitu mencarik arah layak yang
memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi dan menentukan besar langkah yang menghasilkan titik baru yang berada pada daerah
layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran. Algoritma titik interior di bagi dalam empat kelas utama yaitu, affine scaling methods, metode proyektif atau
dikenal dengan metode Karmarkar, path following methods dan potential reduction methods.
Algoritma titik interior pertama kali diperkenalkan oleh Narendra Karmarkar 1984 dari Laboratorium AT T mengenai algoritma baru untuk
menyelesaikan masalah-masalah pemrograman linier yang besar. Algoritma titik interior merupakan metode untuk menyelesaikan masalah pemrograman linier
yang memotong atau menembus interior dari daerah fisibel untuk mencapai suatu solusi optimal. Titik interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah
fisibel Hillier Lieberman, 1990. Dasar teori algoritma ini menggunakan konsep gradien dan proyeksi.
Algoritma titik interior dalam menyelesaikan persoalan program linier secara fundamental berbeda dari metode simpleks. Langkah awal dalam algoritma
titik interior yaitu menentukan titik awal pemecahan masalah. Titik awal algoritma titik interior dari dalam himpunan fisibel dan bergerak menuju verteks optimal.
Algoritma titik interior berhenti menemukan solusi yang memiliki nilai fungsi tujuan lebih kecil atau sama dengan nilai berhenti yang telah ditentukan pertama
kali. Gagasan dasar dari algoritma titik interior dapat dilihat dalam permasalahan program linier berikut:
Maksimumkan dengan kendala
Universitas Sumatera Utara
27
Agar masalah program linier menjadi bentuk standar, maka ditambahkan variabel pengetat pada masalah program linier di atas, sehingga menjadi:
Maksimumkan dengan kendala
dengan adalah variabel slack.
Gambar 3.1 Permasalahan untuk Memaksimalkan Nilai Gambar 3.1 menggambarkan permasalahan untuk memaksimalkan nilai
. Ruang pemecahan diketahui dengan ruas
dan arah kenaikan adalah arah postif
. Iterasi dimulai dari titik interior C dalam ruang penyelesaian garis AB. gradien fungsi tujuan
di C adalah arah yang membuat fungsi tujan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang
gradien itu dan kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian garis
, maka diperoleh titik baru . Dari sudut pandang nilai , titik yang baru ini lebih baik dari titik awal .
Perbaikan seperti ini diperoleh dengan bergerak dalam arah yang
merupakan gradien garis hasil proyeksi atau disebut sebagai gradien terproyeksi. Jika prosedur yang sama ini diulang di , maka akan ditemukan satu titik baru di
Universitas Sumatera Utara
28
yang lebih dekat dengan titik optimum. Dapat diperkirakan jika bergerak dengan sangat hati-hati dalam arah gradien terproyeksikan, maka akan dicapai
titik optimum . Langkah-langkah yang dihasilkan di sepanjang gradien
terproyeksi tidak akan meleset dari titik optimum di dan dalam kasus dimensi pada umumnya. Arah yang diciptakan oleh gradien terproyeksi tidak akan
menyebabkan terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum. Prosedur gradien yang diproyeksikan akan menjauh dari titik ke arah optimum
di Penggunaan algoritma titik interior untuk menyelesaikan masalah program
linier harus diubah terlebih dahulu kedalam bentuk kanonik karmarkar dan memenuhi beberapa asumsi metode karmarkar Bazaraa, 2010. Bentuk kanonik
dari karmarkar adalah: Minimumkan
2.4 Kendala
2.5 Keterangan:
= variabel keputusan
= matriks m x n
= koefisien variabel fungsi tujuan
= vector kolom berukuran m dari 0
Semua batasan kendala merupakan persamaan homogen kecuali untuk kendala
1 yang merupakan kendala untuk mendefinisikan sebuah simpleks n dimensi. Algoritma titik interior memiliki konsep atau pemikiran dasar
sebagai berikut: 1.
Bergerak melalui daerah fisibel menuju suatu penyelesaian optimal.
2. Bergerak dalam arah yang meningkatkan nilai fungsi tujuan dengan tingkat
kecepatan yang paling tinggi.
Universitas Sumatera Utara
29
3. Mengubah daerah layak tersebut untuk menempatkan penyelesaian percobaan
yang sedekat mungkin pada titik pusatnya dan dengan demikian memungkunkan peningkatan yang besar bilamana melaksanakan konsep yang
pertama.
2.6 Langkah-langkah Algoritma Titik Interior
