nonstasioner tak homogen. Runtun waktu nonstasioner yang homogen ditunjukkan oleh selisih perubahan nilai-nilai yang berurutan secara stasioner. Proses runtun waktu ARIMA
1,1,0 Box-Jenkins klasik ditulis dalam bentuk:
1- φ B{1-B Z
t
- µ } =
t
α
Selanjutnya misalkan Z
1
,Z
2
,…,Z
n
adalah sekumpulan observasi dan telah diidentifikasikan suatu model yang diperkirakan telah menghasilkan observasi itu dengan
memandang observasi itu sebagai variabel random yang diambil dari distribusi bersama pW
φ , µ ,
σ
2 a
, dengan φ , µ dan
σ
2 a
adalah parameter-parameter yang tidak diketahui, sedangkan W menunjukkan barisan atau vector yang stasioner dan merupakan selisih
observasi di atas. Dari fungsi bersama tersebut dapat ditentukan estimasi maksimum Lielihoodnya.
1.2 Perumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah menentukan nilai-nilai parameter pada model ARIMA 1,1,0 Box-Jenkins dengan mengegunakan metode
maksimum likelihood.
1.3 Tinjauan Pustaka
Dalam penelitian ini penulis menggunakan buku-buku berikut sebagai sumber utama, diantaranya:
1. Bain dan Engelhardt: Bentuk umum proses runtun waktu Arima 1,1,0 Box-
Jenkins adalah:
Φ B
{ }
µ −
− Zt
B 1
=
t
α
Universitas Sumatera Utara
Dimana: Φ
= Fungsi autokorelasi parsial fkp B
= Operator autoregresif stasioner Zt
= Runtun waktu stasioner µ
= Rata-rata populasi
t
= Garisan variabel random yang independent 2. Arthanari, T. S dan Dodge, Y : Fungsi Likelihood untuk model ARIMA 1,1,0
Box-Jenkins dapatt dikontruksikan melalui asumsi kenormalan dan independensi dari
t
dengan distribusi probabilitas bersamanya pa
1
, a
2
,...,
t
|
2
,
a
σ φ
, dan fungsi densitas bersama W
n
adalah pW
n
|
2
,
a
σ φ
dan fungsi likelihood untuk parameter- parameternya adalah:
Dimana: L
= Fungsi Likelihood φˆ
= Estimator untuk parameter
φ
2 a
σ = Estimator untuk parameter
σ W
n
= Runtun waktu stasioner setelah dilakukan differensi π
= Nilai konstan 3,14 n
= Banyak data sampel Mn
= Matriks simetri ukuran nxn exp
= Eksponensial bilangan konstan 2,7183 S
φ = Fungsi jumlah kuadrat untuk
φ P
= Fungsi densitas probabilitas
Dalam proses maksimum likelihood, bentuk |M
, 1
n
| untuk ukuran sampel kecil atau sedang dapat diabaikan karena tidak berpengaruh terhadap hasil yang diperoleh.
Sedangkan parameter-parameter yang diestimasi masuk pada
Universitas Sumatera Utara
bentuk jumlah kuadrat S
φ
dan mendominasi log fungsi likelihood sehingga langkah untuk memperoleh estimatornya yaitu dengan cara meminimumkan S
φ
dengan metode kuadrat terkecil sehingga diperoleh:
Dimana: φˆ
= Estimator untuk parameter φ
D = Matriks simetri ukuran p+1xp+1
W = Runtun waktu stasioner setelah dilakukan differensi
2 a
σ = Estimator untuk parameter
σ S
φ = Fungsi jumlah kuadrat untuk
φ n
= Banyak data sampel
1.4 Tujuan Penelitian
