2.2 Persamaan Adveksi
PDP hiperbolik dapat diformulasikan ke dalam hukum konservasi yang menyatakan bahwa kuantitas “u” dialirkan dalam ruang dan waktu, dan kemudian “dikekalkan” secara
lokal. Hukum kontinuitas mengantarkan pada persamaan yang disebut persamaan konservatif kekekalan yang dinyatakan dengan:
2.6
dengan ux,t merupakan kerapatan besaran atau konsentrasi, F adalah rapat fluks, dan x
adalah vector dari koordinat ruang. Dalam kebanyakan problema fisika, rapat fluks F sering tidak bergantung secara eksplisit terhadap x dan y, tetapi bergantung secara
implisit melalui kerapatan ux,t, misalnya F = F ux,t.
Bentuk awal dari persamaan di atas adalah:
2.7
Dengan SU adalah istilah umum untuk sumber yang mengindikasikan asal dan tujuan dari vektor U. Jika dimisalkan SU = 0, maka persamaan menjadi homogen. Sifat umum
dari persamaan homogen adalah vektor Ux,t yang diberikan pada titik x dan waktu t
dapat menetukan laju aliran, atau fluks, dari setiap variabel pada keadaan x,t. Hukum kekekalan yang diberikan persamaan 2.6 dapat pula dituliskan menjadi:
2.8
Dimana AU ≡ dan merupakan Jacobian dari FU.
Persamaan 2.8 identik dengan persamaan gelombang linear orde satu:
2.9
Universitas Sumatera Utara
Persamaan tersebut merupakan persamaan diferensial parsial linear orde satu- dimensi satu dalam koordinat Cartesian. Persamaan ini juga biasa disebut dengan
persamaan adveksi yang umumnya diterapkan pada permasalahan transport polutan menggambarkan gradient konsentrasi. Persamaan adveksi menggambarkan mekanisme
transportasi suatu substansi yang mengalir bersama fluida dalam arah tertentu dengan v menyatakan laju aliran fluida dan u adalah konsentrasi substansi yang dibawa bersama
aliran fluida. Adveksi murni dipahami sebagai gerakan horizontal substansi tersebut tanpa terjadi proses pencampuran dan hanya dipengaruhi oleh kecepatan aliran sehingga
bentuk gelombangnya diharapkan sama sepanjang daerah aliran. Secara matematis, gerakan fluida dinyatakan dalam medan vektor dan material yang diangkut merupakan
besaran skalar.
Berikut ini adalah contoh penerapan persamaan adveksi pada analisis pencemaran minyak di sungai Donan, Kabupaten Dati II Cilacap, Jawa Tengah yang
dibuat oleh R. Soedradjat dari Laboratorium Ekologi Tanaman Fakultas Pertanian, Universitas Jember.
Sungai Donan memiliki ciri yang khas yaitu merupakan lingkungan estuari dengan kadar salinitas antara 26,8 – 32,1 ‰, lebih banyak dipengaruhi oleh pasang surut
daripada angin. Asumsi yang digunakan untuk membangun model transport yang disimulasi adalah sebagai berikut:
1. Termasuk perairan dangkal, panjang sungai yang ditinjau 6500 m, kedalaman
konstan 9,23 m , lebar sungai konstan 150 m,dan debit sungai konstan pada 613,287 m
3
detik.
2. Termasuk estuari yang pergerakannya dipengaruhi oleh pasang surut tanpa
gesekan.
3. Variasi komponen aliran utamanya adalah komponen horizontal yang digerakkan
oleh mekanisme adveksi sehingga suku persamaan transport yang ditinjau hanya suku adveksi.
4. Air sungai dianggap tidak mampat dan kemiringan sungai dianggap kecil.
Universitas Sumatera Utara
5. Tekanan yang bekerja pada potongan melintang sungai adalah tekanan hidrostatis,
artinya komponen gerak arah vertical tidak mempengaruhi distribusi tekanan.
6. Konsentrasi awal yang digunakan untuk simulasi adalah konsentrasi campuran.
Untuk memperoleh penyelesaian numerik persamaan transport ditentukan syarat batas dan nilai awal, yaitu:
1. Syarat batas terbuka diberikan pada sisi hilir dan hulu sungai yaitu
kecuali pada titik sumber, konsentrasi untuk minyak 4,2135 mgL saat pasang dan 6,2539
mgL saat surut. Konsentrasi fenol saat pasang 0,2258 mgL dan 0,2710 mgL saat surut.
2. Syarat batas tertutup
diberikan yang menyatakan bahwa konsentrasi
pencemar pada sel reflektif sama dengan konsentrasi pencemar di sebelah dalamnya.
3. Syarat awal diberikan dengan asumsi konsentrasi pencemar telah tersebar merata
sedangkan konsentrasi pada semua grid selain grid sumber adalah nol Soedradjat, 2003.
Simulasi dilakukan dalam waktu 24 jam 82400 detik, langkah waktu 50 detik dan daerah model sepanjang 6500 dibagi ke dalam 13 grid. Debit sungai konstan sebesar
613,287 m
3
detik, kecepatan aliran rerata saat surut menuju pasang 0,4430 mdetik dan ssat pasang menuju surut sebesar 0,5155 mdetik. Hasil simulasi sungai Donan saat surut
menuju pasang adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.1 Simulasi konsentrasi minyak saat surut menuju pasang selama 14400 detik dt=500 detik, i = 288, C
awal
= 4,2135 mgL, kecepatan v = 0,5155 mdetik.
Hasil simulasi sungai Donan saat pasang menuju surut,
Gambar 2.2 Simulasi konsentrasi minyak saat pasang menuju surut selama 14400 detik dt=500 detik, i = 288, C
awal
= 6,5239 mgL, kecepatan v = 0,4430 mdetik.
2.3. Metode Analitik dan Numerik
Kategori