Penyelesian analitis model matematika adalah penyelesian yang didapat dari manipulasi aljabar terhadap persamaan dasar sehingga didapat suatu penyelesaian yang berlaku
untuk setiap titik dalam domain yang menjadi perhatian.
Namun, tidak semua masalah fisis dalam model matematis dapat diselesaikan secara analistis. Untuk menyelesaikan permasalahan ini biasanya digunakan penyelesaian
numeris, di mana persamaan dasar diubah menjadi persamaan yang hanya berlaku pada titik-titik tertentu di dalam domain penyelesaian. Pengubahan persamaan tersebut dapat
menggunakan metode elemen hingga ataupun metode beda hingga. Untuk permasalahan satu dimensi, metode yang umum digunakan adalah metode beda hingga karena mudah
digunakan dan lebih dahulu dikenal sehingga sifat-sifatnya sudah difahami Luknanto, 2003.
2.4 Metode Beda Hingga
2.4.1 Dasar Metode
Metode beda hingga adalah metode numerik yang umum digunakan untuk menyelesaikan persoalan teknis dan problem matematis dari suatu gejala fisis. Secara umum metode
beda hingga adalah metode yang mudah digunakan dalam penyelesaian problem fisis yang mempunyai bentuk geometri yang teratur, seperti interval dalam 1D satu dimensi,
domain kotak dalam dua dimensi, dan kubik dalam ruang tiga dimensi Li, 2010.
Aplikasi penting dari metode beda hingga adalah dalam analisis numerik, khususnya pada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Prinsipnya adalah mengganti turunan yang ada pada persamaan diferensial dengan diskritisasi beda hingga berdasarkan deret Taylor. Secara fisis, deret Taylor dapat
diartikan sebagai besaran tinjauan pada suatu ruang dan waktu ruang dan waktu tinjauan dapat dihitung dari besaran itu sendiri pada ruang dan waktu tertentu yang
mempunyai perbedaan yang kecil dengan ruang dan waktu tinjauan Anderson, 1984. Atau secara matematis dapat dituliskan sebagai:
Universitas Sumatera Utara
……..
2.10
Dengan h adalah Δx , subskrip i merupakan titik grid, superskrip n menunjukkan
time step dan adalah reminder atau biasa disebut truncation error yang merupakan
suku selanjutnya dari deret tersebut yang dapat dinyatakan sebagai berikut,
, dimana x
o
x
o
+ Δx
2.11
Metode ini akan membuat pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui pada setiap titik secara diskrit. Dimulai dengan pemodelan dari suatu benda dengan
membagi-bagi dalam grid atau kotak-kotak hitungan kecil yang secara keseluruhan masih memiliki sifat yang sama dengan benda utuh sebelum terbagi menjadi bagian-bagian
yang kecil. Penerapan metode ini pada persamaan adveksi adalah memperkirakan persamaan differensial yang bersangkutan beserta syarat-syarat batasnya dengan
seperangkat persamaan aljabar. Dengan mengganti daerah yang kontinu dengan suatu pola titik-titik tersebut. Sistem dibagi menjadi sejumlah subluas yang kecil dan memberi
nomor acuan kepada setiap subluas.
Metode beda hingga bersifat eksplisit, artinya keadaan suatu sistem atau solusi variabel pada suatu saat dapat digunakan untuk menentukan keadaan sistem pada waktu
beriukutnya. Berbeda dengan metode implisit, yang mana penentuan solusi sistem harus dengan memecahkan sistem pada kedua keadaan, sekarang dan yang akan datang.
Berdasarkan ekspansi Taylor di atas persamaan 2.10, terdapat tiga skema beda hingga yang biasa digunakan dalam diskritisasi PDP, yaitu skema maju, skema mundur,
dan skema tengah. 1.
Skema maju
2.12
Universitas Sumatera Utara
Pada skema maju, informasi pada titik hitung i dihubungkan dengan titik hitung i+1 yang berada di depannya.
Gambar 2.3 Skema maju ruang dengan h=x
i+1
– x
i
dan Δt = t
n+1
– t
n
.
Dengan menggunakan kisi beda hingga, maka skema maju biasa ditulis sebagai berikut,
Skema maju-ruang:
atau 2.13
Skema maju-waktu:
atau 2.14
2. Skema mundur
2.15 Pada skema mundur, informasi pada titik hitung i dihubungkan dengan titik hitung i-
1 yang berada di belakangnya.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.4 Kisi beda hingga skema mundur
Dengan menggunakan kisi beda hingga, maka skema mundur biasa ditulis sebagai berikut,
Skema mundur-ruang:
atau 2.16
Skema mundur-waktu:
atau 2.17
3. Skema tengah
Gambar 2.5 Kisi beda hingga skema tengah-ruang
atau 2.18
Universitas Sumatera Utara
Beda hingga terhadap ruang derivasi kedua: 2.19
Untuk t
n
, 2.20
Dan untuk t
n+1
, 2.21
Sedangkan untuk beda hingga skema tengah terhadap waktu
,
2.22a
,
2.22b 2.22c
2.4.2 Diskritisasi
