Pada persamaan di atas menunjukkan ketidakstabilan mutlak skema FTCS. Di mana jelas bahwa
sehingga solusi FTCS dari persamaan adveksi tidak stabil menurut syarat von Neumann. Solusi numerik akan dirusak oleh error numerik yang
dihasilkan dan tumbuh seraca eksponensial. Hal ini disebabkan diskritisasi FTCS hanya mempertahankan ekspansi Taylor orde satu, yaitu
.
Berikut diperlihatkan pergerakan gelombang persamaan adveki yang diselesaikan dengan metode Lax-Wendroff dan program dibuat dengan Mathematica 6.
Gambar 4.5. Prgerakan gelombang persamaan adveksi dengan metode FTCS.
4.1.2 Stabilitas Metode
Lax-Wendroff
Parameter-parameter yang digunakan untuk membangun simulasi dengan metode Lax- Wendroff sama seperti pada metode FTCS, hanya saja diskritisasinya berbeda. Karena
menggunakan suku tambahan dari deret Taylor, yaitu
,
skema
Universitas Sumatera Utara
Lax-Wendroff diharapkan lebih akurat dibandingkan dengan skema FTCS. Hasil eksekusi program adalah sebagai berikut:
Gambar 4.6 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 2D metode Lax-Wendroff.
jumlah titik coba: 50 waktu yang diperlukan gelombang untuk bergerak satu sel
0.02 masukkan time step: 0.02
siklus gelombang dalam 50 step masukkan jumlah langkah: 50
Universitas Sumatera Utara
Gambar 4.7 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 3D dengan metode Lax-Wendroff.
Gambar 4.6 dan 4.7 menunjukkan bentuk gelombang simulasi pada time step maksimumnya yaitu 0.02 dan grid 50. Gambat 4.5 menunjukkan bahwa gelombang awal
berimpit dengan gelombang akhir di mana puncak gelombang berada pada 1 saat x = 0. Hal ini menandakan kestabilan numerik yang juga ditunjukkan pada gambar 4.7 bahwa
bentuk gelombang awal dan gelombang akhir simulasi adalah sama. Untuk membandingkannya dengan skema FTCS, dapat diberikan time step yang jauh lebih kecil
dari nilai maksimumnya, misalnya 0.005. Hasil eksekusi programnya adalah:
jumlah titik coba: 50 waktu yang diperlukan gelombang untuk bergerak satu
sel 0.02 masukkan time step: 0.005
siklus gelombang dalam 200 step masukkan jumlah step: 200
Universitas Sumatera Utara
Gambar 4.8 Bentuk gelombang awal dan akhir gradient konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.005 dalam 2D dengan metode Lax-Wendroff.
Gambar 4.9 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.005 dalam 3D dengan metode Lax-Wendroff.
Universitas Sumatera Utara
Pada gambar 4.10 berikut diperlihatkan pergerakan gelombang persamaan adveki yang diselesaikan dengan metode Lax-Wendroff dan program dibuat dengan Mathematica 6.
Gambar 4.10. Pergerakan gelombang persamaan adveksi dengan metode Lax- Wendroff.
Gambar 4.8 dan 4.9 memperlihatkan gelombang persamaan adveksi yang diselesaiakan dengan metode Lax-Wendroff pada grid 50 dan time step 0.005. Pada
gambar tersebut dapat dilihat bahwa gelombang awal yang terbentuk sama pada time step 0.005 tetapi gelombang akhir berosilasi lebih tinggi dibandingkan gelombang awal.
Terbukti bahwa jika digunakan time step yang jauh lebih kecil dari time step maksimum, gelombang yang dihasilkan menunjukkan ketidakstabilan tetapi masih dapat diterima.
Skema Lax-Wendroff menunjukkan adanya disipasi amplitudo. Hal ini disebabkan diskritisasi Lax-Wendroff mempertahankan ekspansi Taylor sampai orde dua yang
ditunjukkan persamaan 2.37.
Sesuai dengan syarat kestabilan von Neumann, untuk skema Lax-Wendroff faktor penguatannya dinyatakan pada persamaan berikut:
Universitas Sumatera Utara
…………….4.7 Misalkan
α = , 4.8
sehingga kuadrat besaran faktor penguatan menjadi:
4.9 Hasilnya, kriteria stabilitas von Neumann
dipenuhi selama α
2
≤ 1.
BAB 5
Universitas Sumatera Utara
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
