kestabilan proses terbatas pada time step yang sangat kecil, sehingga diperlukan metode lain yang mampu memberikan penyelesaian yang lebih baik. Untuk itu dipergunakan juga
metode Lax-Wendroff untuk menganalisis persamaan adveksi sampai time step maksimumnya. Kedua metode ini didasarkan pada ekspansi deret Taylor. Adapun bahasa
pemrograman yang dipergunakan adalah MATLAB R2009b versi 7.9.0.529 yang merupakan bahasa pemrograman teknik berkualitas tinggi.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah: 1.
Menggunakan metode FTCS dan metode Lax-Wendroff untuk menyelesaikan persamaan adveksi.
2. Membuat program bantu untuk mensimulasikan solusi persamaan adveksi
dengan menggunakan perangkat lunak bahasa pemrograman MATLAB R2009b versi 7.9.0.529.
3. Membandingkan kestabilan metode FTCS dan metode Lax-Wendroff
dalam penyelesaian persamaan adveksi berdasarkan hasil simulasi dan syarat kestabilan von Neumann.
1.3 Batasan Masalah
Penelitian dengan simulasi dinamika molekul pada penelitian ini dibatasi pada:
1. Syarat batas dan nilai awal dari persamaan adveksi, yaitu:
a Syarat batas pada waktu t 0 dan
dan
b Nilai awal :
dan adalah fungsi Gauss
termodulasi cosinus, ux,t=0 = cos [ kx - x
o
] exp [ -x – x
o 2
2
2
]
Universitas Sumatera Utara
2. Karakteristik persamaan adveksi yang akan dianalisis yaitu distribusi
konsentrasi dengan memvariasikan time step dan grid.
3. Simulasi penyelesaian persamaan adveksi dilakukan dengan menggunakan
program MATLAB R2009b versi 7.9.0.259.
1.4 Sistematika Pembahasan
Laporan tugas akhir ini disusun dalam lima bab yaitu sebagai berikut:
Bab I Pendahuluan
Bab ini menjelaskan latar belakang penelitian, tujuan penelitian, batasan masalah, dan sistematika pembahasan.
Bab II Tinjauan Pustaka
Bab ini menjelaskan landasan teori yang digunakan dalam penelitian, yaitu persamaan diferensial parsial hiperbolik, persamaan adveksi, implementasi
metode beda hingga -khususnya metode FTCS dan Lax-Wendroff dalam dalam penyelesaian persamaan diferensial hiperbolik, serta stabilitas von Neumann
digunakan untuk mengolah informasi yang diimplementasikan dalam simulasi.
Bab III Perancangan Simulasi Penyelesaian Persamaan Adveksi
Bab ini membahas tentang implementasi fisis yang telah diperoleh ke dalam perangkat lunak. Perancangan perangkat lunak ini menggunakan bahasa
pemrograman MATLAB R2009b.
Bab IV Hasil dan Pembahasan
Bab ini memberikan hasil uji coba simulasi penyelesaian persamaan adveksi yang telah dilakukan pada bab III untuk melihat kesesuaian spesifikasi metode yang
digunakan sehingga dapat dianalisa hasil yang telah diperoleh. Serta analisis kestabilan metode yang digunakan.
Bab V Kesimpulan dan saran
Universitas Sumatera Utara
Bab ini memberikan kesimpulan dari hasil perancangan program yang telah dilakukan dan juga memberikan saran-saran untuk penelitian selanjutnya.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Dasar Persamaan Diferensial Parsial
Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas disebut persamaan diferensial. Jika turunan fungsi
itu hanya tergantung pada satu variable bebas maka disebut persamaan diferensial biasa PDB dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan
diferensial parsial PDP. Pada PDP, variabel bebas dapat berupa waktu dan satu atau lebih koordinat ruang. Bentuk umum persamaan diferensial adalah:
F x,y, 2.1
Orde dari persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan dalam persamaan.
Persamaan diferensial parsial menempati bagian utama fisika komputasi karena berbagai gejala penting dalam fisika dapat dinyatakan dalam bentuk PDP. Bentuk umum
persamaan diferensial parsial yang sering ditemukan dalam problema fisika adalah PDP orde dua, yaitu:
2.2
di mana a
11
, a
12
, a
22
: koefisien
u : variabel tak bebas
x, y : variabel bebas berupa koordinat ruang dalam sistem
koordinat Cartesian
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan nilai koefisien-koefisiennya, bentuk umum ini dapat dibedakan atas beberapa bentuk khusus, yang kemudian dikenal sebagai bentuk PDP parabolik,
hiperbolik, dan eliptik. Persamaan-persamaan ini banyak ditemui pada persamaan transport polutan. Pembagian persamaan diferensial menjadi tiga jenis di atas harus
memenuhi syarat-syarat berikut:
1. Jika
maka persamaan disebut PDP eliptik. Contohnya adalah persamaan Laplace:
2.3
Dengan V menyatakan potensial pada lokasi x dan waktu t.
2. Jika,
, maka disebut PDP parabolik. Contohnya adalah persamaan difusi panas:
2.4
Dengan D menyatakan koefisien difusi dan Q menyatakan suhu pada lokasi x dan waktu t.
3. Jika,
maka persamaan disebut PDP hiperbolik. Contohnya adalah persamaan gelombang:
2.5
Dengan A menyatakan amplitudo gelombang dan c adalah laju gelombang.
Universitas Sumatera Utara
2.2 Persamaan Adveksi
