Stabilitas Metode FTCS pada Persamaan Adveksi

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Distribusi Konsentrasi dan Stabilitas

Hasil dari penelitian ini berupa grafik distribusi konsentrasi dari persamaan adveksi dengan metode FTCS dan Lax-Wendroff dalam beberapa time step. Selain itu, juga dibuat program yang menunjukkan pergerakan gelombang. Karena proses adveksi murni, maka distribusi polutan hanya bergerak oleh pengaruh kecepatan aliran sebesar v, sehingga bentuk gelombang distribusi konsentrasinya harus tetap sepanjang daerah tinjauan. Dengan kata lain, gelombang awal harus sama dengan gelombang akhir sepanjang daerah tinjauan. Keadaan inilah yang dikatakan stabil dan diperoleh jika syarat kestabilan von Neumann yaitu terpenuhi. Simulasi dilakukan pada kecepatan v = 1, panjang daerah tinjauan L = 1, dan nilai awal adalah fungsi Gaussian dengan lebar pulsa = 0.1. Gelombang yang dihasilkan tergantung pada time step dan grid yang diberikan. Hasil eksekusi program berupa gelombang distribusi konsentrasi yang ditampilkan dalam 2 dimensi plot amplitudo vs jarak dan 3 dimensi plot amplitudo vs jarak dan waktu.

4.1.1 Stabilitas Metode FTCS pada Persamaan Adveksi

Berikut ini grafik distribusi konsentrasi yang dihasilkan dengan metode FTCS pada time step maksimum. Time step maksimum diperoleh dari: 4.1 Untuk memperoleh akurasi, grid ditetapkan sebanyak 50 sel sehingga time step maksimum diperoleh 0.02 dengan siklus gelombang sebanyak 500 dari nStep = Lv. . Universitas Sumatera Utara Maka hasil eksekusi program adalah sebagai berikut: Keluarannya adalah: Gambar 4.1 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 2D metode FTCS. jumlah titik coba: 50 waktu untuk gelombang bergerak satu sel adalah 0.02 masukkan time step: 0.02 siklus gelombang dalam 50 step masukkan jumlah langkah: 50 Universitas Sumatera Utara Gambar 4.2 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.02 dalam 3D metode FTCS. Berdasarkan gambar di atas gambar 4.1 dan gambar 4.2 dapat dilihat distribusi konsentrasi awal dan akhir pada dearah tinjauan untuk kasus sungai, pada hulu dan hilir. Pada gambar 4.1, terlihat bahwa komputasi tidak dapat mempertahankan bentuk gelombang awal datar, sedangkan gelombang akhir yang ditampilkan mengalami osilasi yang sangat tinggi. Amplitudo gelombang mencapai orde 10 5 . Pada gambar 4.2 juga terlihat bahwa FTCS gagal karena tidak mampu mengatur bentuk gelombang. Hal ini menunjukkan ketidakstabilan numerik. Tetapi, hal ini dapat diatasi jika nilai time step yang diberikan jauh lebih kecil dari maksimum, misalnya 0.002 dengan grid tetap 50 dan hasil eksekusinya adalah sebagai berikut: jumlah titik coba: 50 waktu untuk gelombang bergerak satu sel adalah 0.02 masukkan time step: 0.002 siklus gelombang dalam 500 step masukkan jumlah langkah: 500 Universitas Sumatera Utara Gambar 4.3 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar dengan titik coba 50 dan time step 0.002 dalam 2D dengan metode FTCS. Gambar 4.4 Bentuk gelombang awal dan akhir distribusi konsentrasi pencemar titik coba 50 dan time step 0.002 dalam 3D dengan metode FTCS. Universitas Sumatera Utara Gambar di atas gambar 4.3 dan 4.4 merupakan hasil eksekusi program dengan metode FTCS dengan time step 0.002. Gambar-gambar tersebut menampilkan bentuk gelombang akhir yang mengalami peningkatan osilasi jika dibandingkan dengan gelombang awalnya tetapi masih dapat diterima walaupun belum mencapai stabil. . Terbukti bahwa metode FTCS yang diterapkan pada persamaan adveksi pada dasarnya tidak stabil, kecuali digunakan time-step yang sangat kecil h . Untuk menganalisis stabilitas pada persamaan iterasi dari metode numerik dapat digunakan persamaan 2.43 yang dapat dituliskan kembali pada persamaan 4.2 sebagai berikut: 4.2 Solusi ini adalah suatu gelombang dengan angka gelombang wave-number k, adalah faktor penguatan amplification factor gelombang. Sesuai dengan syarat kestabilan von Neumann, komputasi tidak stabil apabila ternyata . Berdasarkan persamaan 2.44, maka persamaan 3.5 dapat ditulis menjadi: 4.3 Persamaan 4.3 dibagi dengan menjadi persamaan 4.4 = 4.4 Sehingga besaran magnitude faktor penguatan ini adalah: 4.5 Universitas Sumatera Utara Pada persamaan di atas menunjukkan ketidakstabilan mutlak skema FTCS. Di mana jelas bahwa sehingga solusi FTCS dari persamaan adveksi tidak stabil menurut syarat von Neumann. Solusi numerik akan dirusak oleh error numerik yang dihasilkan dan tumbuh seraca eksponensial. Hal ini disebabkan diskritisasi FTCS hanya mempertahankan ekspansi Taylor orde satu, yaitu . Berikut diperlihatkan pergerakan gelombang persamaan adveki yang diselesaikan dengan metode Lax-Wendroff dan program dibuat dengan Mathematica 6. Gambar 4.5. Prgerakan gelombang persamaan adveksi dengan metode FTCS.

4.1.2 Stabilitas Metode