2.26
Atau, 2.27
dengan Dan untuk sistem dengan persamaan linear hiperbolik
2.28
2.6 Metode Lax-Wendroff
Lax-Wendroff diambil dari nama Peter Lax dan Burton Wendroff. Metode ini juga merupakan metode numerik untuk penyelesaian persamaan diferensial parsial hiperbolik
berdasarkan beda hingga dengan akurasi orde dua bergantung ruang dan waktu. Berbeda dengan metode FTCS, metode ini memiliki dua langkah penyelesaian. Pada langkah
pertama, nilai fx,t dihitung pada setengah time step t
n+½
dan setengah grid poin, x
i+½.
Rezzolla, 2010.
Yang mendasari metode ini adalah mengekspansikan ux,t ke dalam deret Taylor untuk x tetap dan t berada pada orde dua menggunakan PDP untuk menggantikan turunan
waktu dengan turunan ruang, dan menggunakan beda tengah untuk mengaproksimasikan turunan ruang pada orde dua. Persamaan beda hingga kemudian menghasilkan akurasi
orde dua.
Skema Lax-Wendroff merupakan kombinasi dari skema Lax-Friederichs dan Leapfrog loncat katak.
2.6.1 Skema Lax-Friederichs
Universitas Sumatera Utara
Ide dasar skema Lax-Friederichs sangat sederhana dan didasarkan pada menggantikan pada persamaan 2.27 dengan
, sehingga penyelesaian persamaan adveksi menjadi,
2.29
Untuk sistem persamaan hiperbolik linear:
2.30
Walaupun tidak nyata, skema Lax-Friedrichs memperkenalkan disipasi numerik. Agar lebih jelas, maka persamaan ini dapat ditulis kembali ke dalam bentuk persamaan adveksi
awal.
2.31
Persamaan 2.29 merupakan bentuk eksak representasi beda hingga dari persamaan:
2.32
Dimana suku difusi ~ terdapat pada sisi kanan. Untuk membuktikannya,
diperoleh dengan menjumlahkan kedua deret Taylor pada persamaan 2.23 dan 2.24, di sekitar x
i
untuk mengeliminasi turunan orde pertama dan didapatkan persamaan 2.33 berikut:
2.33
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.9 Skema Lax-Friedrichs
2.6.2 Skema Leapfrog
Skema FTCS dan Lax-Friedrichs adalah skema level satu dengan pendekatan orde-satu untuk waktu dan orde-dua untuk ruang. Pada keadaan ini, v
Δt harus diambil lebih kecil daripada
Δx untuk mencapai akurasi yang diinginkan.
Gambar 2.10 Skema Leaprog loncat katak
Akurasi orde-dua dapat diperoleh dengan memasukkan 2.34
ke dalam skema FTCS, untuk mendapatkan skema Leapfrog 2.35
Faktor 2 pada h dihapuskan, ekuivalen faktor 2 pada Δt.
Universitas Sumatera Utara
2.6.3 Tahapan Skema Lax-Wendroff
Secara partikuler, tahap pemecahan skema Lax-Wendroff adalah sebagai berikut:
1. Skema Lax-Friedrichs sebagai setengah tahap
2.36a
2.36b
Δt2h diperoleh dengan mengambil time step Δt2.
2.
Evaluasi fluks dari nilai
.
3.
Setengah tahap Leapfrog. 2.37
Gambar 2.11 Skema Lax-Wendroff
Universitas Sumatera Utara
Nilai setengah tahap dapat dihitung lebih spesifik sebagai berikut:
2.38
Sehingga, solusi pada level waktu baru akan menjadi
=
2.39
Persamaan ini diperoleh dengan mensubstitusi persamaan 2.37 ke dalam persamaan 2.38.
2.7 Konvergensi, Stabilitas
Kategori